高考理科数学第二轮总复习专题导练

1、 5 “” 5|0,1,2,3,4 1.(2011) . 20111 33 01234 “”“0 ” . kkk nk nk abab Z Z Z 在整数集 中，被 除所得余数为 的所有整数组成一个 类 ，记为，即 ，给出如下四个结论： ； ； 整数 ， 属于同一 类 的充要条件是 其中正确的命题是 福建卷 201120101402511 3522 5|5 5500 ab abknk nank bmknmabnm Z ，正确； 由可知不正确；根据题意 信息可知正确；若整数 ， 属于同一类， 不妨设 ，则， ， ， 为整数， 正确，故 解析： 正确 +() . ABCDEFPCDE APABAF

2、 R 如图正六边形中， 是内 包括边界 的动点，设、，则的取 值范围是 2.2. 1(03) 3313 1,0()(13)() 2222 330 32 30 3 33 ()() 2222 ABE BCDF xy CDExy y APABAFPM : 如图，建系设，则， ， ， ， 区域 方 ， 解析：法 ， 1 ，区域 3 30 22 30 33 32 302 22 2 3 3 2 3,4 ，解得， 故ab M 3 (1) = =1(2) = =(3) = =2 2 ( 2 ) 图；图；图 选 点的三个特 方 ： 殊位置 法 P ()3,4是内 包括边界 的动点，故PCDE 3. 331051

3、2 34212 n nn n nN nn NNSNN NNNNS 当 为正整数时，函数表示 的最大奇因数， 如， ，设 ，则 1 1 1210 1 221 211 352124 62 4(1) 1144441 42 . 3 n n nn nn nn n n nNnN nNn nSNN NNSSn SNS 因为 为正整数时， ，所以 ，所以 又 解 ，所以 析： * * * * * 2 .1,2,3 0,1,21. 4.(20 1) 0 m n nn n manm a nnn ana N N 若数列满足：对任意的，只有 有限个正整数 使得 成立，记这样的 的个数 为，则得到一个新数列例如，若数列

4、是， ， ，则数列是， ， 已知对任意的， ，则 湖南卷 * 12345 * 678910 * 1112131415 * * 16123 * * 2 4 01112 22223 33333 3149 16. n aaaaa aaaaa aaaaa aaaa aan 因为；，；， ，；， ， ；所以， ，猜想 解 ， ： ， 析 () 5.(2011) () xy xy kbykxb 在平面直角坐标系中，如果 与 都是整数，就称点 ，为整点，下列命题中 正确的是 写出所有正确命题的编号 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过 任何整点 如果 安 与 都是无 徽卷 理数，则直线不经过 任何整点

5、ll ykxb kb 直线 经过无穷多个整点，当且仅当 经过两个 不同的整点 直线经过无穷多个整点的充要条件是： 与 都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 1 2 2 () 2221 1,0 yxx yxy kbyx l l 正确，设，当 是整数时， 是无理数，必不是整点不正确， 设，则直线过 整点正确，直线 经过无穷多个整点， 则直线 必然经过两个不同整点，显 解析： 然成立； 111 222211 211121 211 () () () lP xy P xylxxyy yyxxxxk xxk xyk yyyl Z Z 反之成立，设直线 经过两个整点， ，则 的方程为 ，令， 则，且也是整数

6、，故 经 过无穷多个整点 111 222211 211 211 22 1 12 2121 () () l P xy P xylxxyy yyxxykxb yyy xy x xxyxk xxxx 不正确，由知直线经过无穷多个整点的充要 条件是直线经过两个不同的整点，设为， ， ，则的方程为 ，因为直线方程为的形式， 所以，所以，所以 ， 113 3 344 3 3 4 21 1,0. byxxy yxyk by kx byx Q ZZQ ，反之不成立，如，则， 若，则，即，得不到 经过无穷个整点正确，直线 只过整点故填 11 310032 1 (2010 2 520 ) 10 n n nn ad

7、 bq bnSabd Sabq 已知数列是以 为公差 的等差数列，数列是以 为公比的等比数列 若 例1盐城一模 数列的前 项和为 ，且， ，求整数的值； 123 21 (2) 3( () () n kk rsrt n n b bbp p N p babaabatsr s rt rb a 在 的条件下，试问数列中是否存在一 项 ，使得 恰好可以表示为该数列中连续 ，项的和？请说明理由； 若，其中， 且是的约数，求证：数列中每 一项都是数列中的项 2 3 n 对于，由特殊到一般，探究数不具备此 性质利用反证法证明；对于，巧妙逆用等比数 列 分 ： 的前 析 项和 310032 12310032 1

8、232 221 52010 52010 42006 201043 0 13.2. nnn an bq Sab bbbab bbbqq qqq 由题意知，所以由 ， 得 ， 解得又 为整数，所以 解析： (2)假设数列bn中存在一项bk， 满足bk=bm+bm+1+bm+2+bm+p-1， 因为bn=2n，所以bkbm+p-1 2k2m+p-1km+p-1km+p.() 又bk=2k=bm+bm+1+bm+2+bm+p-1 =2m+2m+1+2m+p-1= =2m+p-2m2m+p， 所以ksr，且(s-r)是(t-r)的约数，所以q是整数，且 q2； 对于数列bn中任一项bi(不妨设i3)，

9、有 b i = a r q i - 1 = a r + a r ( q i - 1 - 1 ) = a r + a r ( q - 1)(1+q+q2+qi-2) =a r +d(s- r)(1+q+q2+qi-2) 由于(s-r)(1+q+q2+qi-2)是正整数， 所以bi一定是数列an中的项 变式1 从数列an中取出部分项，并将它们按 原来的顺序组成一个数列，称之为数列an的 一个子数列设数列an是一个首项为a1、公 差为d(d0)的无穷等差数列 (1)若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q. (2)若a1=7d，从数列an中取出第2项、第6 项作 一个等比数列的第1项、第2项，试问该

10、数列是 否为an的无穷等比子数列，请说明理由 (3)若a 1=1，从数列an中取出第1项、第 m(m2)项(设am=t)作为一个等比数列的第1项、 第2项求证：当t为大于1的正整数时，该数 列为an的无穷等比子数列 2 2 215111 2 1 2 1 1 4 2.023 1 . aa aada ad da ddd a q a a 由题设，得，即， 得又，于是，故其 解析： 公比 6 2 11 2 1 3 2 3 8( ) 2 6. 2 1 m mm m n mn a bq a ba qd aandnd ba 设等比数列为，其公比， ， 由题设 假设数列为的无穷等比子数列， * 11 5 1*

11、 (3) 33 68( )8 ( )6 22 369 58 ( )6 22 nm mm n mmna nd m a b dn n N N 则对任意自然数，都存在，使， 即，得， 当时，与假设矛盾 故该数列不为的无 ， 穷等比子数列 1 1 1 23 11 11 111 1 11 1 1 1 11(1)11 3 1 1 本题即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项 在等比数列中， 在等差数列中， 若 为数列中的第 项，则由，得， 整理得， 由 ，均为正整数，得 也 故无穷等比数 为正整数， 列 rn r rr m nn r rnrk r rr r ba bbt aatt adan mmm t

12、bakbatk m t kmtttm t tm b k 中的每一项均为数列中的项，得证 n a 1 sin (0) 2ln () abcf xf a f bf cf x f xxg xx x h xx xM M 如果对任意一个三角形，只要它的 三边长 ， ， 都在函数的定义域内，就有， ，也是某个三角形的三边长，则称为 “保三角形函数” 判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明 你的结论：；， 若函数，是保三角形函数， 求的 例2 最小值 (2010(2010 江江苏苏南南通通) ) 22 “” (1) ( )=( )=sin (0 ) . ()22(). . f xxg xx x f xx

13、 a b c ab c bc a ca b f aaf bb f cc abaabb cabcacc bcacab f af bf c 从 保三角形函数 入手，推导证明 是保三角形函数，不是保三角形函数 是保三角形函数 对任意一个三角形的三边长 ， ， ， 则 ， ， ， 因为，所以 同理可以证明：， 所以、也 解析： 是某个三角 f xx故是保三 形的三边长， 角形函数 sin (0) 5 5 (0) 266 51 sin1sin 262 sin (0) ，不是保三角形函数 取 ， ， ，显然这三个数能作为 一个三角形的三条边的长而， 不能作为一个三角形的三边长 ，不是保三角形函数所 以.g

14、 xx g xx x x 2. ( )2ln () ) lnlnln . 22111 lnlnln 2 lnln . lnlnlnl 1 n M Mh xx xM abcM abcbcacab h aah bbh cc ababcab ababcabcabc bcac 方法 ：的最小值为 首先证明当时，函数， 是保三角形函数 对任意一个三角形三边长 ， ， 且 ， ， ， 则， 因为， ，所以， 所以 ，所以，即 同理可证明， lnln . lnlnln ln ()2)h xx xMM ab abc 所以，是一个三角形的三边长 故函数，是保三角形函数 2 2 2 2 2 02 ln () 02

15、) 022 lnln2lnln lnln ( ln ln 2ln () ) 其次证明当 时， ，不是保三角形函数 当 时，取三个数， 因为 ，所以， 所以，是某个三角形的三条边长， 而， 所以，不能为某个三角形的三边长， 所以不是保三角形函数 所以，当 时，不是 保三角形 M h xx xM MMMMM MMMMM MMM MMMM MMM h xx Mh xx xM . 2 函数 综上所述：的最小值为M . lnlnl 2 nln lnlnln .ln01 112l . n xbcMxbc xbc f xxxbc xbxbc xbcx ccb cx bb Mf xx 不妨设三角形的三边为 ，

16、 ， ，其中， 则有 若是保三角形函数，则，是某 个三角形的三边长， 且有，有 因所以有当时是 保三角形函数 为， 方方法法2 2： 2 2 2 2 2 02 ) 022 lnln2lnln 2. lnlnln ln M MMMM MMMMM MMM MMMM MMM h x M x 下面考虑的情况， 取三个数， 因为 ，所以， 所以，是某个三角形的三条边长， 而， 所以，不能为某个三角形的三边长， 所以不是保三角形函数 的最小以综上有值为 所 变式2.定义：如果数列an的任意连续三项均能构成 一 个三角形的三边长，则称an为“三角形”数列对 于 “三角形”数列an，如果函数y=f(x)使得b

17、n=f(an)仍 为一 个“三角形”数列，则称y=f(x)是数列an的“保三 角形函 数”(nN*) (1)已知a n是首项为2，公差为1的等差数列，若 f(x)=kx(k1)是数列an的“保三角形函数”，求k 的取值范围； (2)已知数列cn的首项为2010，Sn是数列cn的前n 项和，且满足4Sn+1-3Sn=8040，证明cn是“三角 形”数列； (3)若g(x)=lgx是(2)中数列cn的“保三角形函数”， 问数列cn最多有多少项 12 12 12 12 1 1 1 15 . 2 5 1 2 1 () x nnnn n nnn nnn nnn n anaaa a kf af af a

18、f af af k f xk ak k a kk 显然，对任意正整数 都成立，即是三角形数列 因为，显然有， 由 所以当，时， 是数列的“保三 得， 解 角形 析 得 解： 函数” 11 1 1 1 12 1 12 1 438040438040 3 4302010( ). 4 438040. . 33 2010( )2010( ) 44 213 2010( ) 164 2 “” 由，得， 两式相减得，所以， 经检验，此通项公式满足 显然 因为 ， 所以是 三角数列形 nnnn n nnn nn nnn nn n n n n n SSSS ccc SS ccc cc c c 12 lglglg

19、333 lg20102 lglg20101 lglg20103 lg 444 3 lg2010lg26 3 . 26 4 4 n nnn n g c ccc nnn nn b 因为是单调递减函数， 所以，由， 得 ， 化简得，解得， 即数列最多有项 定义信息型创新题对定义进行提取和化归 转化 是解题的关键；探究性创新题解答时应抓住有 限 的或隐含的题设条件，通过联想创造性的知识， 设计解决问题的方法，化归与转化思想是解决 探 究性创新题的常用方法；拓展推广型创新题应 根 据题目的特点确定推广的方向，然后将已知条 件 中的数学对象推广为所要拓展的对象 (2010湖南卷) (本小题满分14分) 为

20、了考察冰川的融化状况，一支科考队在某 冰川 上相距8 km的A，B两点各建一个考察基地视 冰 川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线 段 AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如 图)考察范围为到A，B两点的距离之和不超过 10 km的区域. (1)求考察区域边界曲线的方程； (2)如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线 (不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与 其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km，以后每年移动的距离为前一年的2 倍问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线 上？ 22 () 10 21 (4) 1.(6) 2 0 52423. () 1 5

21、9 Pxy PAPBPA a y B x b 设边界曲线上点 的坐标为 ， ， 则由知，点 在以 ， 为焦点， 长轴长为的椭圆上 此时短半轴长 所以考察区域边界曲线 如图 的方 分 程为 解： 分 析 12 12 2 (8) (9) (13) 43470. | 1647|31. 5 423 0.2 2131 5. 2 15 ( 2 514) 易知过点 ， 的直线方程为 因此点 到直线的距离为 设经过 年， 分 分 分 经过 年，点 恰好在冰川边界线上 分 点 恰好在冰川边界线上， 则利用等比数列求和公式可得，解得 即 n PPxy APPd n A A n 此题立意新颖，但只要熟练的掌握椭圆的

22、定义，点到直线的距离公式， 利用等比数列求和公式，本题很容易求解 . 1 1 1210 1 221 211 352124 62 4(1) 1144441 42 . 3 n n nn nn nn n n nNnN nNn nSNN NNSSn SNS 因为 为正整数时， ，所以 ，所以 又 解 ，所以 析： * * * * * 2 .1,2,3 0,1,21. 4.(20 1) 0 m n nn n manm a nnn ana N N 若数列满足：对任意的，只有 有限个正整数 使得 成立，记这样的 的个数 为，则得到一个新数列例如，若数列是， ， ，则数列是， ， 已知对任意的， ，则 湖南卷 ll ykxb kb 直线 经过无穷多个整点，当且仅当 经过两个 不同的整点 直线经过无穷多个整点的充要条件是： 与 都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 ll ykxb kb 直线 经过无穷多个整点，当且仅当 经过两个 不同的整点 直线经过无穷多个整点的充要条件是： 与 都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 又tsr，且(s-r)是(t-r)的约数，所以q是整数，且