圆的辅助线作法详讲

1、初中数学“圆中辅助线”添法探究弦与弦心距，密切紧相连.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线.遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间. 圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和

2、所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.一、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线.例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要考虑两种情况.解:第一种情况:如图,弦AB、CD在圆心O的同旁.过O作OEAB于E，交CD于F，则AE=AB=3.连结OA、OC.ABCD,OECD于F，则EF是平行弦AB、CD间的距离.在RtOEA中，由OA=5,AE=3得OE=4.同理可得OF=3.EF=OE-OF=4-3=1.第二种情况:如图,弦AB、CD在

3、圆心O的两旁.过O点作OEAB于E，延长EO交CD于F.连结OA、OC.ABCD，则EOCD于F.EF是平行弦AB、CD间的距离.由垂径定理和勾股定理易得：OE=4，OF=3，则EF=OE+OF=7.启示:有关圆中弦常添的辅助线是过圆心作垂线，利用勾股定理，依靠垂径定理及其推论解决有关弦的问题.二、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.例2 已知:在ABC中,AB=AC,BD平分ABC,ABD的外接圆交BC于E.求证:AD=EC.分析:连结DE，由圆周角1=2,可得AD=DE.欲证AD=EC，只要证DE=EC即可.证明:连结DE.BD平分ABC

4、,1=2,AD=DE.又AB=AC,ABC=C.3是圆内接四边形ABED的外角,3=ABC.3=C,DE=EC,AD=EC.启示:有关圆上非特殊点，常作点与点连线.三、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.例3 已知:在RtABC中ABC=90,以AB为直径作O交AC于D，DE切O于D且交BC于E. 求证:BE=EC.证明:连结BD.AB是O的直径,ADB=90，BDC为Rt.又ABC=90，AB是O的直径，BC切O于点B.又DE切O于D,BE=DE，则BDE=DBE.1+BDE=90，C+DBE=90 ,1=C，DE=EC.BE=EC.启示:有关圆中直径，常构

5、造直径所对的圆周角是直角添加辅助线.四、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.例4 已知:在RtABC中,C=90,BC是O的直径，AB交O于D，DE切O于D，交AC于E. 求证：OEBA.证明:连结OD.DE切O于D,EDO=90 .又C=90 ，OC=OD ， OE=OE,RtECORtEDO.1=2= COD.又B= COD,1=B.OEBA.例5 已知:如图点O为AOB角平分线上一点,以O为圆心作O与OA相切于点E. 求证:O与OB相切.证明:过点O作OFOB于F，连结OE.

6、OA切O于点E,OEOA于点E;OE为O的半径.又点O为AOB角平分线上的点,OE=OF.O与OB相切.启示:关于圆中切线，常用辅助线是：（1）切点与圆心连线要领先，过切点作弦，莫忘弦切角.（2）要证一条线为圆的切线时，只要过圆心作这条线的垂线，证垂线段等于这个圆的半径.五、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.例6 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D四点.求证:APD+BPC=180.证明:过切点P作两圆的公切线MN.则BPM=A，CPM=D.APD

7、+A+D=180,APD+BPM+CPM=180.BPM+CPM=BPC,APD+BPC=180.例7 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于B、C两点.求证:APB=CPD.证明:过点P作公切线TP.则APT=D ,BPT=BCP.APB=BPT-APT,CPD=BCP-D,APB=CPD.启示:两圆相切,过切点作公切线,再利用弦切角定理等知识解之.六、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系.例8 已知:O1与O2相交于A、B两点,E为O1上的一点,EF切O1于点E,EA、EB的延长线交O2于C、D两点.求证:EFCD.证明:连结AB，则

8、1=2.四边形ABDC是O2的内接四边形,2=D.1=D.EFCD.启示:两圆相交，试连公共弦，有时也作连心线.七、代数、几何的综合题型.解代数、几何的综合题型时,根据问题的特点和需要,由数形结合,于数思形,以形助数,适时转化,变通.运用数形结合的思想方法,结合图形特征添加辅助线.下题是集三角形、圆、一次函数、二次函数为一体的综合性较强的试题.它要求学生不仅需要掌握必要的基础知识和较高的基本技能,而且要有较强的数形结合思想,才能在解题过程中切中要害,迎刃而解.例9 已知:如图,在RtAOC中，直角边OA在X轴负半轴上，OC在Y轴正半轴上，点F在AO上,以点F为圆心的圆与Y轴、AC边相切，切点分

9、别为O、D,F与X轴的另一个交点为E.若tanA=,F的半径为.（1）、求过A、C两点的一次函数解析式；（2）、求过E、D、O三点的二次函数解析式；（3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线AC上.分析：解本题（1）（2）两问的关键是求A、C、E、D、O五个点的坐标.解：（1）过切点D作F的半径DF，则ADF=90.在RtADF中，由tanA=和半径DF=得AD=2.AF= ，则AO=AF+FO=4.在RtAOC中，由AO=4和tanA=，得OC=3，AC=5.则A、C两点的坐标为:A（-4，0），C（0，3）.设:所求一次函数解析式为y=kx+b.由A、C两点的坐标求得k=，b=3.所求一次函数

10、的解析式为:y=x+3.(2)过点D作DGAO于G，则RtADGRtACO.=，即=得DG=.由于点D在AC上，把DG=代入y=x+3，可求得D点的横坐标为:- .OE=2OF=2=3,E、D、O三点的坐标为:E（-3，0），D（- ，）、0（0，0）.设:过E、D、O三点的二次函数解析式为y=ax2+bx+c.则: 9a-3b+c=0, a=- , a- b+c= , b=- , c=0, c=0 .所求二次函数解析式为:y=- x2- x.（3）由y=- x2 - x易得抛物线的顶点坐标为:（- ，）.经检验得,点（- ，）在直线y = x + 3上.抛物线y=- x2 - x的顶点在直线

11、AC上.启示:本题的辅助线是通过图形特征，挖掘题中的明显和隐含条件，而达到目的.综上所述，在解决涉及到圆的问题时，只要添加适当的辅助线，就能把题中的已知条件和问题巧妙地连接起来，达到化繁为简，化难为易的目的，从而使问题的解决简便易行.课后冲浪 一、证明解答题16已知：P是O外一点，PB，PD分别交O于A、B和C、D，且AB=CD.求证：PO平分BPD.17如图，ABC中，C=90，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15，BO=10，求圆O的半径.18已知：ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切O于E点.求证：AD也和O相切.19如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机

12、从P点出发向PN方向行驶，已知NPA=30，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米小时，则受噪音影响的时间是多少秒？20如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BCOA，连结AC，求阴影部分的面积.21如图，已知AB是的直径，CD是弦，AECD，垂足为E,BFCD，垂足为F.求证：DE=CF.22如图，O2是O1 上的一点，以O2为圆心，O1O2为半径作一个圆交O1 于C，D直线O1O2分别交O1 于延长线和O1 ，O2于点A与点B连结AC，BC求证：AC=BC；设O1 的半径为r，求AC的长连AD，