2020版高考数学大一轮复习 第8章 立体几何 第4讲 直线、平面垂直的判定及性质课件 文

1、第四讲第四讲 直线、直线、平面垂直的平面垂直的判定及性质判定及性质 考情精解读 A考点帮知识全通关 目录 CONTENTS 命题规律聚焦核心素养 考点1 直线与平面垂直的判定与性质 考点2 平面与平面垂直的判定与性质 考法1 线面垂直的判定与性质 考法2 面面垂直的判定与性质 B B考法帮考法帮题型题型全突破全突破 C C方法帮方法帮素养大提升素养大提升 专题1 立体几何中的探索性问题 专题2 立体几何中的折叠问题 方法 转化思想在立体几何中的应用 考情精解读 命题规律 聚焦核心素养 文科数学 第八章：立体几何 考点内容考纲要求考题取样对应考法 1.直线与平面垂直 的判定与性质 掌握 2018

2、全国,T19(1) 2014全国,T19 考法1 2.平面与平面垂直 的判定与性质 掌握 2018全国,T18(1) 2017全国,T18(1) 考法2 命题规律 1.1.命题分析预测命题分析预测 从近五年的考查情况来看,本讲是高考的热点,主要考 查直线与平面以及平面与平面垂直的判定和性质,常出现在解答题的第(1) 问,难度中等. 2.2.学科核心素养学科核心素养 本讲通过线、面垂直的判定及性质考查考生的直观想 象、逻辑推理素养,以及对转化与化归思想的应用. 聚焦核心素养 A考点帮知识全通关 考点1 直线与平面垂直的判定与性质 考点2 平面与平面垂直的判定与性质 考点1 直线与平面垂直的判定与

3、性质（重点） 1.1.直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义 直线l与平面内的任何一条直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直. 2.2.直线与平面垂直的判定定理和性质定理直线与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言 判定判定 定理定理 一条直线与一个平面内的两 相交直线都垂直,则该直线 与此平面垂直. 性质性质 定理定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行. 规律总结 重要结论重要结论 (1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线 (证明线线垂直的一个重要方法).

4、(3)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也互 相垂直. 考点2 平面与平面垂直的判定与性质（重点） 1.平面与平面垂直的定义平面与平面垂直的定义 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面 互相垂直. 2.平面与平面垂直的判定定理和性质定理平面与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面 的垂线,则这两个平面垂 直. 性质 定理 两个平面垂直,则一个平 面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直. B考法帮题型全突破考法1 线面垂直的判定与性质 考法2 面面垂直的判定与性质 考法1 线面垂直的判定与性质

5、示例1如图8-4-2,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=AC=AA1=3,BC=2,D是 BC的中点,F是CC1上一点. 图8-4-2 (1)当CF=2时,证明:B1F平面ADF; (2)若FDB1D,求三棱锥B1-ADF的体积. 思维导引(1)证明B1F与两直线AD,DF垂直,利用线面垂直的判定定理 得出B1F平面ADF; (2)若FDB1D,则RtCDFRtBB1D,可求DF,即可求三棱锥B1-ADF 的体积. 解析(1)因为AB=AC,D是BC的中点,所以ADBC.(等腰三角形底边中 线与底边高线重合) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为BB1底面ABC,AD底面ABC,所以

6、 ADB1B. 因为BCB1B=B,所以AD平面B1BCC1. 因为B1F平面B1BCC1,所以ADB1F. 由题意,可知C1F=CD=1,B1C1=CF=2,B1C1F=FCD=90, 所以RtDCF RtFC1B1,所以CFD=C1B1F,所以 B1FD=90,(利用平面几何知识找垂直) 方法总结 1.证明线面垂直的常用方法证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理(ab,ac,bc=M,b,ca); (2)利用面面垂直的性质定理(,=l,al,aa); (3)利用面面平行的性质(a,a); (4)利用垂直于平面的传递性(ab,ab). 2.证明线面垂直的关键是证明线线垂直,而证

7、明线线垂直则需借助线面 垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的 基本思想.思维流程如下: 第一步:找相交直线 在一个平面内找到两条相交直线. 第二步:证线线垂直 证明平面外的直线与这两条相交直线都垂直. 第三步:证线面垂直 利用直线与平面垂直的判定定理证得线面垂直. 第四步:证线线垂直 由线面垂直的性质得到线线垂直. 考法2 面面垂直的判定与性质 示例22018北京,18,14分文如图8-4-4,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. ()求证:PEBC; ()求证:平面PAB平面PCD

8、; ()求证:EF平面PCD. 图8-4-4 思维导引()欲证PEBC,只需证明PEAD即可; ()先证PD平面PAB,进而可证明平面PAB平面PCD; ()取PC的中点G,连接FG,DG,通过证明EFDG,可证得EF平面 PCD. 解析()因为PA=PD,且E为AD的中点,所以PEAD.(等腰三角形的 中线也是高线) 因为底面ABCD为矩形,所以BCAD,(矩形对边平行) 所以PEBC. ()因为底面ABCD为矩形,所以ABAD.(矩形邻边垂直) 因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面 PAD.(面面垂直的性质定理) 所以ABPD. 又PAPD, PAAB=A

9、,所以PD平面PAB, 所以EDFG,且ED=FG,所以四边形EFGD为平行四边形,(构造平行四 边形) 所以EFGD. 又EF 平面PCD,GD平面PCD,所以EF平面PCD.(线面平行的判定 定理) 解后反思 空间中垂直关系的证明几乎都是从平面图形中的垂直关系入手的,如该 题第()问利用矩形邻边垂直与已知的面面垂直的条件等得到PD平 面PAB.当然,第()问也可以通过证明PA平面PCD证得结论:因为平 面PAD平面ABCD,两平面的交线为AD,且CDAD,所以CD平面 PAD,故CDPA,又PAPD,CDPD=D,所以PA平面PCD,又PA平 面PAB,所以平面PAB平面PCD. 方法总结

10、 1.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法 (1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面 角,将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个 平面的一条垂线,进而把问题转化为证明线线垂直加以解决. 2.在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线 的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 3.三种垂直关系的转化三种垂直关系的转化 线线垂直 线面垂直 面面垂直 拓展变式2 如图8-4-6,在多面体 ABCDEF中,AFAD,四边形ABEF为 矩形,四边形ABCD为直角梯 形,

11、DAB=90,ABCD,AD=AF=CD=2,AB=4.求证:平面ACE平面 BCE. 图8-4-6 由BC2+AC2=AB2知ACBC, 由及BEBC=B知AC平面BCE, 又AC平面ACE, 所以平面ACE平面BCE. C方法帮素养大提升 专题1 立体几何中的探索性问题 专题2 立体几何中的折叠问题 方法 转化思想在立体几何中的应用 专题1 立体几何中的探索性问题 示例32018全国卷,19,12分文如图8-4-7,矩形ABCD所在平面与半圆 弧 所在平面垂直, 图8-4-7 M是 上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD平面BMC; (2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?

12、说明理由. 解析(1)因为矩形ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直,且两平面 的交线为CD,BCCD, 所以BC平面CDM.(面面垂直的性质定理) 故BCDM. 又CD为半圆弧的直径,所以CMDM.(圆中直径所对圆周角为直角) 又BCCM=C,所以DM平面BMC.(线面垂直的判定定理) 又DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(面面垂直的判定定理) (2)存在,当P为线段AM的中点时,MC平面PBD. 如图8-4-8,连接AC,BD,记ACBD=O,则O为AC的中点. 又P为AM的中点,连接OP,所以OPMC.(中位线构造平行关系) 连接PB,PD,因为OP平面PBD,MC 平面PBD,故

13、MC平面PBD.(线 面平行的判定定理) 即在线段AM上存在点P,使得MC平面PBD. 图8-4-8 素养提升素养提升 本题图形新颖,考点传统(基本类型),通过弧上点的运动加入了探究元 素(过程和结果),渗透了对基本活动经验的考查.本题涵盖了对数学抽象、 逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的考查. 方法总结 解决解决立体几何中探索性问题的基本方法立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻 辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,并可进一步 证明;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立. (2)探索线

14、段上是否存在满足题意的点时,注意三点共线条件的应用. 专题2 立体几何中的折叠问题 / 素养提升 以几何体的折叠为载体考查空间位置关系,突出转化思想与空间 想象能力、逻辑思维能力的考查.本题一证一算,着力考查逻辑推理、 直观想象和数学运算等学科核心素养,这是立体几何试题的“任务”所 在. 解决此类问题的关键就是根据折痕,准确把握平面图形翻折前后的两个 “不变关系”: (1)与折痕垂直的线段,翻折前后垂直关系不改变; (2)与折痕平行的线段,翻折前后平行关系不改变. 答题模板 方法 转化思想在立体几何中的应用 示例52018江苏,15,14分文如图8-4-11,在平行六面体ABCD-A1B1C1

15、D1 中,AA1=AB,AB1B1C1. 求证:(1)AB平面A1B1C; (2)平面ABB1A1平面A1BC. 图8-4-11 思维导引(1)利用平行六面体的性质得线线平行,再利用线面平行的判 定定理证明; (2)利用平行六面体的性质和线面垂直、面面垂直的判定定理证明. 解析(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因为AB 平面 A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C. (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形. 因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1A1B. 又AB1B1C1,BCB1C1,

16、 所以AB1BC. 又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC, 所以AB1平面A1BC. 因为AB1平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1平面A1BC. 素养提升 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系 的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理. (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面 几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明 垂直时常用的等腰三角形的中线等. (3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件,步骤书写要规范. 拓展变式3如图8-4-12(1),在RtABC中,C=90,D,E分别为AC,AB 的中点,点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使 A1FCD,如图8-4-12(2). (1)求证:DE平面A1CB. (2)求证:A1FBE. (3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ? 说明理由. 图8-4-12 3.(1)因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DEBC. 又因为DE 平面A1CB,BC平面A1CB, 所以DE平面A1CB. (2)由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC. 因为DEA1D,DECD,且A1DCD=D,所以DE平面A1DC, 而A1F平面A1DC,所以DEA1F.