数学教学论课件-命题及论证的教学

1、二、二、推理、证明与学习心理推理、证明与学习心理 为准确地运用概念和判断进行推理或为准确地运用概念和判断进行推理或 证明，就必须掌握形式逻辑的基本规证明，就必须掌握形式逻辑的基本规 律律同一律、矛盾律、排中律和充足同一律、矛盾律、排中律和充足 理由律理由律 （一）形式逻辑的基本规律（一）形式逻辑的基本规律 n1 1、同一律、同一律 n同一律的内容是：在同一时间，同一地点，同一思维的过同一律的内容是：在同一时间，同一地点，同一思维的过 程中，所使用的概念和判断必须确定，且前后保持一致程中，所使用的概念和判断必须确定，且前后保持一致 n同一律的公式是：同一律的公式是：AAAA，即，即A A是是A

2、A n根据同一律的内容，它具体有两点要求：根据同一律的内容，它具体有两点要求： n一是思维的对象应保持同一一是思维的对象应保持同一（在思维的过程中所考察的对（在思维的过程中所考察的对 象必须确定，要始终如一，不能中途变更）；象必须确定，要始终如一，不能中途变更）； n二是表示同一事物的概念应保持同一二是表示同一事物的概念应保持同一（在思维的过程中，（在思维的过程中， 要以同一概念表示同一思维对象，不能用不同的概念来表要以同一概念表示同一思维对象，不能用不同的概念来表 示同一事物，也不能把不同的事物混淆起来用同一个概念示同一事物，也不能把不同的事物混淆起来用同一个概念 来表示）来表示） n违反同

3、一律的错误，在概念中主要表现为偷换概念或所使违反同一律的错误，在概念中主要表现为偷换概念或所使 用的概念不明确等；在推理中主要是论题不明确或偷换论用的概念不明确等；在推理中主要是论题不明确或偷换论 题等题等 2、矛盾律、矛盾律 矛盾律的内容是：矛盾律的内容是：在同一时间，同一地点，同一思维的过程在同一时间，同一地点，同一思维的过程 中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么即在同一思维中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么即在同一思维 过程中的两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假过程中的两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假 矛盾律的公式是矛盾律的公式是： 即即A A 不是不是 矛盾律实为矛盾律

4、实为“不矛盾律不矛盾律”，它是同一律的引申，是用否定形，它是同一律的引申，是用否定形 式表达同一律内容的矛盾律是否定判断的逻辑基础，其作式表达同一律内容的矛盾律是否定判断的逻辑基础，其作 用是排除思维中的自相矛盾，保持思维的不矛盾性这里所用是排除思维中的自相矛盾，保持思维的不矛盾性这里所 说的思维矛盾，是人们思想陷入混乱状态或故意玩弄诡辩时说的思维矛盾，是人们思想陷入混乱状态或故意玩弄诡辩时 所产生的逻辑矛盾它与客观事物本身所存在的矛盾是不同所产生的逻辑矛盾它与客观事物本身所存在的矛盾是不同 的的 两个矛盾判断不能同真，但可能同假两个矛盾判断不能同真，但可能同假例如，例如，ABCABC是锐角是

5、锐角 三角形与三角形与ABCABC是钝角三角形是两个矛盾的判断，其中一个是钝角三角形是两个矛盾的判断，其中一个 正确，另一个必错误；但其中一个错误，另一个未必正确，正确，另一个必错误；但其中一个错误，另一个未必正确， 这是因为还存在这是因为还存在ABCABC为直角三角形的第三种情况为直角三角形的第三种情况 A AA 3、排中律、排中律 n排中律的内容是排中律的内容是：在同一时间，同一地点，同一：在同一时间，同一地点，同一 思维的过程中，对同一对象，必须作出明确的肯思维的过程中，对同一对象，必须作出明确的肯 定或否定的判断即在同一思维过程中，两个互定或否定的判断即在同一思维过程中，两个互 相矛盾

6、的概念或判断不能同假，必有一真，而排相矛盾的概念或判断不能同假，必有一真，而排 除第三种可能。除第三种可能。 n排中律的公式是排中律的公式是： ，即即 或或 。 n排中律要求人们的思维有明确性，它是反证法的排中律要求人们的思维有明确性，它是反证法的 逻辑基础。逻辑基础。 n例如，例如， 是无理数与是无理数与 是有理数，这是两个互是有理数，这是两个互 相矛盾的判断，但不能同时存在，其中必有且只相矛盾的判断，但不能同时存在，其中必有且只 能有一个是正确的。能有一个是正确的。 AAA A 2 2 排中律和矛盾律的关系排中律和矛盾律的关系 n排中律和矛盾律既有联系，又有区别其联系在排中律和矛盾律既有联

7、系，又有区别其联系在 于：它们都是关于两个互相矛盾的判断，都指出于：它们都是关于两个互相矛盾的判断，都指出 两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个是两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个是 假但如何进一步确定谁真谁假，它们本身都无假但如何进一步确定谁真谁假，它们本身都无 能为力，只有借助其他知识，进行具体分析，才能为力，只有借助其他知识，进行具体分析，才 能正确地予以回答其区别在于：矛盾律指出两能正确地予以回答其区别在于：矛盾律指出两 个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中 律则指出两个互相矛盾的判断，不能同假，必有律则指出两个互相矛盾的判断，不能

8、同假，必有 一真矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而一真矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而 排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛 盾律是否定判断的逻辑基础，而排中律是反证法盾律是否定判断的逻辑基础，而排中律是反证法 的逻辑基础的逻辑基础 4、充足理由律、充足理由律 n充足理由律的内容是：充足理由律的内容是：任何一个真判断，必须有任何一个真判断，必须有 充足理由，即对于任何事物的肯定或否定，都要充足理由，即对于任何事物的肯定或否定，都要 有充分的理由和根据有充分的理由和根据 n充足理由律可表示为充足理由律可表示为：若有：若有B B，则必有，则必有

9、A A，使得由，使得由A A 可以推出可以推出B B充足理由律是进行推理和证明的逻辑充足理由律是进行推理和证明的逻辑 基础，它与判断有着密切的联系基础，它与判断有着密切的联系 n例如，在数学命题中，充分条件、充要条件都可例如，在数学命题中，充分条件、充要条件都可 以作为结论的充足理由，原定理可作为它的逆否以作为结论的充足理由，原定理可作为它的逆否 命题的充足理由等等。命题的充足理由等等。 充足理由律和前面三个规律有着密切的联系充足理由律和前面三个规律有着密切的联系 n同一律、矛盾律和排中律是为了保持同一判断同一律、矛盾律和排中律是为了保持同一判断( (或概或概 念念) )本身的确定性和无矛盾性

10、；充足理由律则是为了本身的确定性和无矛盾性；充足理由律则是为了 保持之间的联系有充分根据和说服力因此，在思维保持之间的联系有充分根据和说服力因此，在思维 过程中，如果违反了同一律、和排中律，那么就必然过程中，如果违反了同一律、和排中律，那么就必然 导致违反充足理由律导致违反充足理由律 n总之，数学推理、证明必须要求对象确定总之，数学推理、证明必须要求对象确定( (同一律同一律) )， 判断不自相矛盾判断不自相矛盾( (矛盾律），不模棱两可矛盾律），不模棱两可( (排中律排中律) )， 有充分根据有充分根据( (充足理由律充足理由律) )在数学教学中，我们应注在数学教学中，我们应注 意培养学生严

11、格遵守这些逻辑规律进行思考的习惯，意培养学生严格遵守这些逻辑规律进行思考的习惯， 以培养学生的逻辑思维能力。以培养学生的逻辑思维能力。 （二）推理、证明与学习心理（二）推理、证明与学习心理 n推理推理是数学的基本思维方法，是数学的基本思维方法，是数学的灵魂，没是数学的灵魂，没 有推有推理理就没有数学。就没有数学。 n推理与证明，是数学的基本思维过程，推理与证明，是数学的基本思维过程，推理一般推理一般 包括合情推理和演绎推理。包括合情推理和演绎推理。 n证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学 结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前结论的正确性必须

12、通过逻辑证明来保证，即在前 提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结 论。论。 n中学阶段对推理中学阶段对推理、证明、证明的学习要求是：的学习要求是：了解合了解合 情推理与演绎推理，体会二者之间的关系与差情推理与演绎推理，体会二者之间的关系与差 异异；体会证明的特点。了解证明的基本方法，；体会证明的特点。了解证明的基本方法， 包括直接证明和间接证明的方法；感受逻辑证包括直接证明和间接证明的方法；感受逻辑证 明在数学以及日常生活中的作用，明在数学以及日常生活中的作用，通过学习使通过学习使 学生表达清楚、养成言之有理、论证有据的习学生表达清楚、养成言之有

13、理、论证有据的习 惯惯；学会用数学的思维方法解决数学和日常生学会用数学的思维方法解决数学和日常生 活中的问题。活中的问题。 1.数学推理数学推理 n推理：推理：根据判断间的关系，从一个或几个已有的根据判断间的关系，从一个或几个已有的 判断作出一个新的判断的思维过程叫做推理判断作出一个新的判断的思维过程叫做推理 n推理结构：推理结构：包括前提和结论两部分；所根据的已包括前提和结论两部分；所根据的已 有判断叫做推理的前提，作出的新判断叫做推理有判断叫做推理的前提，作出的新判断叫做推理 的结论正确的推理要求合乎逻辑形式，遵守推的结论正确的推理要求合乎逻辑形式，遵守推 理规则理规则 n推理作用：推理作

14、用：在实践中有两方面的作用，一是帮助在实践中有两方面的作用，一是帮助 人们从已知的知识推出新的知识人们从已知的知识推出新的知识; ;二是证明的工具；二是证明的工具； n推理的形式：推理的形式：由于划分的标准不同由于划分的标准不同, ,推理可以分成许推理可以分成许 多种类。直接推理与间接推理直接推理的前提只有多种类。直接推理与间接推理直接推理的前提只有 一个，比较简单；间接推理则是由两个或两个以上前一个，比较简单；间接推理则是由两个或两个以上前 提组成的推理，它又可分为归纳推理、类比推理和演提组成的推理，它又可分为归纳推理、类比推理和演 绎推理三类绎推理三类 n数学推理：数学推理：是指从数学的已

15、知事实或假设事实出发，是指从数学的已知事实或假设事实出发， 依据数学逻辑引出结论的过程。依据数学逻辑引出结论的过程。 n数学推理包括合情推理与演绎推理。数学推理包括合情推理与演绎推理。 n例例1 1 角平分线上任一点到这个角两边的距离相等角平分线上任一点到这个角两边的距离相等, ,因因 此此, ,到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上。到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上。 n例例2 2 矩形的对角线平分且相等矩形的对角线平分且相等, ,正方形是矩形正方形是矩形, ,所以正所以正 方形的对角线平分且相等。方形的对角线平分且相等。 n合情推理：合情推理：是根据已有的事实和正确的结论是根

16、据已有的事实和正确的结论( (包括包括 实验和实践的结果实验和实践的结果) )以及个人的经验和直觉等推测以及个人的经验和直觉等推测 某些结果和推理过程，某些结果和推理过程，归纳、类比是合情推理常归纳、类比是合情推理常 用的思维方法用的思维方法在解决问题的过程中，合情推理在解决问题的过程中，合情推理 具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用， 有利于创新意识的培养有利于创新意识的培养 n例如例如 工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿, ,发发 明了锯子；人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉明了锯子；人们仿照鱼类的外型和它们在水

17、中沉 浮的原理浮的原理, ,发明了潜水艇发明了潜水艇. . n演绎推理演绎推理：是根据已有的事实和正确的结论：是根据已有的事实和正确的结论( (包括包括 定义、公理、定理等定义、公理、定理等) )，按照严格的逻辑法则得到，按照严格的逻辑法则得到 新结论的推理过程新结论的推理过程 n合情推理和演绎推理之间联系紧密，相辅相成合情推理和演绎推理之间联系紧密，相辅相成 (1)(1)合情推理合情推理 归纳推理归纳推理 归纳推理是一种由特殊到一般的推理归纳推理是一种由特殊到一般的推理，即从个别或特，即从个别或特 殊的事物所作判断扩大为同类一般事物的判断的思维殊的事物所作判断扩大为同类一般事物的判断的思维

18、过程，且根据前提与结论所作判断的范围是否相同，过程，且根据前提与结论所作判断的范围是否相同， 又分为完全归纳法与不完全归纳法又分为完全归纳法与不完全归纳法 如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和等如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和等 于结论中判断的范围，这种归纳推理叫做完全归纳于结论中判断的范围，这种归纳推理叫做完全归纳 法就是根据对某类事物的全部对象的考察而进行的法就是根据对某类事物的全部对象的考察而进行的 归纳推理。归纳推理。 完全归纳法：完全归纳法： S S1 1、S S2 2、S Sn n是是A A类事物中所有的对象类事物中所有的对象 S S1 1 具有具有( (或不具

19、有或不具有)P)P S S2 2 具有具有( (或不具有或不具有)P)P S Sn n 具有具有( (或不具有或不具有)P)P - - A A类事物具有类事物具有( (或不具有或不具有)P)P 例如，分别考察某班每一个同学，确认全班五十位同学例如，分别考察某班每一个同学，确认全班五十位同学 在期终考试中每门功课都及格，从而推出结论，该班全在期终考试中每门功课都及格，从而推出结论，该班全 体同学在期终考试中全部过关。体同学在期终考试中全部过关。 其表示形式是：其表示形式是： 完全归纳推理的特点：完全归纳推理的特点： 1 1、前提完备：前提应包括某类事物的全部对象。、前提完备：前提应包括某类事物的

20、全部对象。 2 2、结论可靠：结论的断定范围没有超出前提的断定、结论可靠：结论的断定范围没有超出前提的断定 范围，所以它确实可靠。范围，所以它确实可靠。 由于完全归纳法在前提判断中已对结论的判断范围作由于完全归纳法在前提判断中已对结论的判断范围作 出了判断，如果皆是真实的，则所得结论是完全可靠出了判断，如果皆是真实的，则所得结论是完全可靠 的，所以完全归纳法可作为数学上的一种严格推理方的，所以完全归纳法可作为数学上的一种严格推理方 法但在应用时，法但在应用时，须注意前提的判断范围既不能重复，须注意前提的判断范围既不能重复， 也不能遗漏，即前提判断范围的总和不能小于结论判断也不能遗漏，即前提判断

21、范围的总和不能小于结论判断 的范围的范围 如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范 围，这种归纳推理叫做不完全归纳法是从一个或几个围，这种归纳推理叫做不完全归纳法是从一个或几个 （但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。 其表示形式是：其表示形式是： 、 、 是是A类事物中部分的对象类事物中部分的对象 具有具有(或不具有或不具有)P 具有具有(或不具有或不具有)P 具有具有(或不具有或不具有)P A类事物具有类事物具有(或不具有或不具有)P 1 S 2 S n S 1 S 2 S n

22、S 不完全归纳法：不完全归纳法： n例如，中学数学中从具体实数的运算概括出实数例如，中学数学中从具体实数的运算概括出实数 的运算律以及指数运算性质等的推理都是不完全的运算律以及指数运算性质等的推理都是不完全 归纳法，一些气象谚语、农业谚语、人们的养生归纳法，一些气象谚语、农业谚语、人们的养生 之道等也是根据不完全归纳法得到的之道等也是根据不完全归纳法得到的 n归纳推理的作用：归纳推理的作用： 数学学习中归纳的作用主要表现在启发解题思路，数学学习中归纳的作用主要表现在启发解题思路， 预测解题答案利用归纳法考察原问题的特殊情预测解题答案利用归纳法考察原问题的特殊情 形，为我们提供信息，帮助从特殊性

23、到普遍性的形，为我们提供信息，帮助从特殊性到普遍性的 认识，指明探索方向，发现解题途径认识，指明探索方向，发现解题途径 类比推理类比推理 类比推理是一种由特殊到特殊的推理类比推理是一种由特殊到特殊的推理，即根据两个，即根据两个 ( (或两类或两类) )事物的某些相同或相似的性质，判断它们事物的某些相同或相似的性质，判断它们 在别的性质上也可能相同或相似称为类比推在别的性质上也可能相同或相似称为类比推 理理.(.(简称简称: :类比类比) )。 其表示形式是其表示形式是： A A类事物具有性质类事物具有性质 a b c da b c d B B类事物具有性质类事物具有性质 a b ca b c

24、- - B B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d d 例如，代数中根据分式与分数都具有分子、分母这例如，代数中根据分式与分数都具有分子、分母这 个相同的形式，从而推测分式可以如同分数一样进个相同的形式，从而推测分式可以如同分数一样进 行化简与计算；由平面上直线与直线之间的关系可行化简与计算；由平面上直线与直线之间的关系可 以推测空间中平面与平面之间的关系等，这都是类以推测空间中平面与平面之间的关系等，这都是类 比推理比推理 类比推理的作用类比推理的作用： 在数学发展中类比的作用是提出新问题作出新发在数学发展中类比的作用是提出新问题作出新发 现类比能提供线索、帮助分析猜想、发现解决问现类比能

25、提供线索、帮助分析猜想、发现解决问 题的途径类比是扩大知识范围、获得新知识、发题的途径类比是扩大知识范围、获得新知识、发 现真理的重要手段，类比在获得科学成果和数学命现真理的重要手段，类比在获得科学成果和数学命 题中有重要作用题中有重要作用 类比推理的几个特点：类比推理的几个特点： n1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性, ,推推 测正在研究的事物的属性测正在研究的事物的属性, ,是以旧有的认识为是以旧有的认识为 基础基础, ,类比出新的结果类比出新的结果. . n2.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事 物的

26、特殊属性物的特殊属性. . n3.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠类比的结果是猜测性的不一定可靠, , 有些结有些结 论，还有待于实践和理论的证明但它却有发论，还有待于实践和理论的证明但它却有发 现的功能现的功能. . （2 2）演绎推理）演绎推理 演绎推理演绎推理是是一种由一般到特殊的推理一种由一般到特殊的推理，即以某类，即以某类 事物的一般判断为前提，作出这类事物的个别、事物的一般判断为前提，作出这类事物的个别、 特殊事物判断的思维形式特殊事物判断的思维形式 简单的演绎推理往往是通过三段论的形式来实现简单的演绎推理往往是通过三段论的形式来实现 的的 三段论推理三段论推理由两个前提由两个前

27、提( (大前提、小前提大前提、小前提) )推出推出 一个结论的思维形式称为三段论推理一个结论的思维形式称为三段论推理, , 又称三段又称三段 论法。三段论推理是演绎推理的最主要形式，是论法。三段论推理是演绎推理的最主要形式，是 中学阶段学习的重点中学阶段学习的重点 n其表现形式是：其表现形式是： 集合集合M中的元素具有中的元素具有(或不具有或不具有)P zM - 也具有也具有(或不具有或不具有)P 三段论的结构包括大前提三段论的结构包括大前提-是指一般性事是指一般性事 物物, 如已知的公理、定理、定义、性质等如已知的公理、定理、定义、性质等,反映反映 一般原理的判断，小前提一般原理的判断，小前

28、提-反映个别对象与反映个别对象与 大前提有关系的判断，以及结论三个判断如大前提有关系的判断，以及结论三个判断如 果大前提、小前提都正确，则结论一定正确。果大前提、小前提都正确，则结论一定正确。 例例1 1，因为负数无对数，因为负数无对数( (大前提大前提) )； -1-1是负数是负数( (小前提小前提) )； 所以，所以，-1-1无对数无对数( (结论结论) ) 例例2 2，因为平行四边形的对角线互相平分，因为平行四边形的对角线互相平分( (大前提大前提) )； ABCDABCD是平行四边形是平行四边形( (小前提小前提) )； 所以，所以，ABcDABcD的对角线的对角线ACAC与与BDBD

29、互相平分互相平分( (结论结论) ) （3）合情推理与演绎推理的关系）合情推理与演绎推理的关系 n合情推理与演绎推理在实际问题推论中相辅相成合情推合情推理与演绎推理在实际问题推论中相辅相成合情推 理用于探索，猜测一些数学结论演绎推理用于确认结论的理用于探索，猜测一些数学结论演绎推理用于确认结论的 正确性，或者用反例推翻错误的猜想正确性，或者用反例推翻错误的猜想 n在探索自然规律时，首先要确定一个目标，或者提出一个在探索自然规律时，首先要确定一个目标，或者提出一个 要解决的问题；然后通过日常的实践、分析和合情推理，要解决的问题；然后通过日常的实践、分析和合情推理， 总结出一个预期的解决方案或猜想

30、；最后还需对此猜想作总结出一个预期的解决方案或猜想；最后还需对此猜想作 出严格的证明证明的过程中则需要按演绎推理的规则进出严格的证明证明的过程中则需要按演绎推理的规则进 行，证明完前一步，下一步又该如何演绎，仍需依靠合情行，证明完前一步，下一步又该如何演绎，仍需依靠合情 推理提供思路，直至完成全部证明可见，合情推理与演推理提供思路，直至完成全部证明可见，合情推理与演 绎推理在实际问题推论中相辅相成的。绎推理在实际问题推论中相辅相成的。 2、中学数学证明的学习、中学数学证明的学习 n数学证明是应用已经确定其真实性的公理、定理、定数学证明是应用已经确定其真实性的公理、定理、定 义、公式、性质等数学

31、命题来论证某一数学命题的推义、公式、性质等数学命题来论证某一数学命题的推 理过程理过程 n逻辑证明是逻辑证明是由论题、论据、论证三个部分组成的由论题、论据、论证三个部分组成的 n论题论题是需要证明其真实性的判断，是需要证明其真实性的判断，论据论据是用来证明论是用来证明论 题真实性所引用的那些判断，题真实性所引用的那些判断，论证论证就是由论据出发进就是由论据出发进 行一系列推理来证明论题的真实性的过程行一系列推理来证明论题的真实性的过程 n数学证明习惯上分成已知、求证、证明三个部分来数学证明习惯上分成已知、求证、证明三个部分来 写写其中其中论据论据是包括论题给定的条件和证明论题时所是包括论题给定

32、的条件和证明论题时所 引用的那些论据，以及已知的公理、定理、公式、定引用的那些论据，以及已知的公理、定理、公式、定 n义、法则、性质等命题；义、法则、性质等命题；求证求证就是论题的结论，即有就是论题的结论，即有 待于证明具有真实性的命题；证明就是论证，即证明待于证明具有真实性的命题；证明就是论证，即证明 论题真实性的推理过程论题真实性的推理过程 n证明格式证明格式常用的有联用式与推进式两种常用的有联用式与推进式两种 n联用式联用式是联用是联用“因为、所以因为、所以”表示推理关系表示推理关系 的书写格式的书写格式 . .联用式给人以联用式给人以“乱乱”的感觉。的感觉。 n推进式推进式是借助符号是

33、借助符号“ ”“ ”表示蕴含关系或推表示蕴含关系或推 理关系的书写格式，且都可分为横、竖两种基本理关系的书写格式，且都可分为横、竖两种基本 形式推进式给人以形式推进式给人以“繁繁”的感觉。的感觉。 n中学常用的几种证明方法直接证明和间接证明中学常用的几种证明方法直接证明和间接证明 n（1）直接证法）直接证法 n在数学证明中，从正面证明论题真实性的证明方在数学证明中，从正面证明论题真实性的证明方 法，叫做法，叫做直接证法直接证法 n凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证 法它是中学数学中常用的证明方法。法它是中学数学中常用的证明方法。在数学证在数学证 明中，

34、明中，分析法与综合法分析法与综合法是直接证明的两种基本的是直接证明的两种基本的 方法。一种是由已知走向求证，即方法。一种是由已知走向求证，即从数学问题的从数学问题的 已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到 待证结论或需求的问题，这一方法称为待证结论或需求的问题，这一方法称为综合法综合法； 另一种则是反过来，由求证走向已知，即从数学另一种则是反过来，由求证走向已知，即从数学 题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索 下去，最后达到题设的已知条件，这种方法称为下去，最后达到题设的已知条件，这种方法称为 分析法

35、分析法 n（2）间接证法）间接证法 n不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否 定论题不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯定论题不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯 定论题真实性的证明方法，叫做定论题真实性的证明方法，叫做间接证法间接证法间接证法间接证法 主要有主要有反证法反证法与与同一法同一法 n反证法反证法 n反证法的一般步骤如下：反证法的一般步骤如下： (1)(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立( (即结论的否定成立即结论的否定成立) )； (2)(2)从否定结论出发，逐层进行推理，得出与公理，或从否定结论出发，逐层进

36、行推理，得出与公理，或 前述的定理、定义或题设条件，或与临时假设等自相矛前述的定理、定义或题设条件，或与临时假设等自相矛 盾盾( (即说明结论不能否定即说明结论不能否定) )； (3)(3)根据排中律，最后肯定原命题成立根据排中律，最后肯定原命题成立 n同一法同一法 n如前所述，两个互逆或互否的命题不一定是等效的，只有如前所述，两个互逆或互否的命题不一定是等效的，只有 当一个命题的条件和结论都唯一存在，且它们所指的概念当一个命题的条件和结论都唯一存在，且它们所指的概念 是同一概念时，该命题与其逆命题是同一概念时，该命题与其逆命题( (或否命题或否命题) )才等效，这才等效，这 个原理叫做同一原

37、理对于符合同一原理的命题，当直接个原理叫做同一原理对于符合同一原理的命题，当直接 证明有困难时，可以，改证与它等效的逆命题，这种证明证明有困难时，可以，改证与它等效的逆命题，这种证明 方法叫做方法叫做同一法同一法 n同一法的一般步骤如下同一法的一般步骤如下： (1)(1)当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时，先作出当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时，先作出( (设设 定定) )符合命题结论的图形符合命题结论的图形( (或算式或算式) )； (2)(2)证明所作图形证明所作图形( (或设定的算式或设定的算式) )符合已知条件；符合已知条件； (3)(3)根据唯一性，确定所作图形根据唯一性，

38、确定所作图形( (或设定的算式或设定的算式) )与已知图形与已知图形 重合重合( (或与已知关系式相同或与已知关系式相同) )； (4)(4)最后肯定原命题成立最后肯定原命题成立 n反证法与同一法都是间接证法它们的主要区别 是： n方法不同反证法先否定结论，然后再予以反驳；方法不同反证法先否定结论，然后再予以反驳； 同一法先作出同一法先作出( (设定设定) )符合命题结论的图形符合命题结论的图形( (或算式或算式) )， 然后推证所作图形然后推证所作图形( (或算式或算式) )与已知图形与已知图形( (或关系式或关系式) )相相 同同 n根据不同反证法的逻辑依据是排中律，利用原命根据不同反证法

39、的逻辑依据是排中律，利用原命 题与其逆否命题的等价性来证明的；同一法的逻辑依题与其逆否命题的等价性来证明的；同一法的逻辑依 据是同一律，利用原命题与其逆命题的等价性来证明据是同一律，利用原命题与其逆命题的等价性来证明 的的 n适用范围不同反证法是从否定命题的结论出发，适用范围不同反证法是从否定命题的结论出发， 只要能推出矛盾就行，而这个矛盾不一定由于图形只要能推出矛盾就行，而这个矛盾不一定由于图形 ( (或关系式或关系式) )的的“唯一存在性唯一存在性”引起的因此，反证法引起的因此，反证法 可适用于各种命题，而同一法只适用于符合同一法则可适用于各种命题，而同一法只适用于符合同一法则 的命题的命

40、题 内容归纳起来就是： 推理的方法推理的方法 思维的理路思维的理路 证明的方法证明的方法 归纳法归纳法 类比法类比法 演绎法演绎法 分析法分析法 综合法综合法 直接证明法直接证明法 简接证明法简接证明法 完全归纳法完全归纳法 不完全归纳法不完全归纳法 反证法反证法 同一法同一法 归谬法归谬法 穷举法穷举法 推推 证证 同同 法法 以数学方法研究逻辑的分科，叫做数理逻辑或符号逻辑。以数学方法研究逻辑的分科，叫做数理逻辑或符号逻辑。 3、推理论证的学习心理 推理论证素质的形成主要依赖于批判性思维和逻辑修养批推理论证素质的形成主要依赖于批判性思维和逻辑修养批 判性思维是指善于严格地估计思维材料和精细

41、地检查思维过判性思维是指善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过 程的思维方式批判性思维具体呈现在以下几个特点上：程的思维方式批判性思维具体呈现在以下几个特点上： 分析性分析性在思维过程中不断地分析解决问题所依据的条件在思维过程中不断地分析解决问题所依据的条件 和反复验证业已拟定的假设、计划和方案；和反复验证业已拟定的假设、计划和方案； 策略性策略性在思维课题面前，根据自己原有的思维水平和知在思维课题面前，根据自己原有的思维水平和知 识经验在头脑中构成相应的策略或解决问题的手段，然后使识经验在头脑中构成相应的策略或解决问题的手段，然后使 这些策略在解决思维任务中生效；这些策略在解决思维任务中生

42、效； 整体性整体性在思维活动中，善于客观地考虑正反两方面的论在思维活动中，善于客观地考虑正反两方面的论 据，认真把握问题的进展情况，随时坚持正确计划，修改错据，认真把握问题的进展情况，随时坚持正确计划，修改错 误方案；误方案； 独立性独立性坚持规则，不为情境性的暗示所左右，不人云亦坚持规则，不为情境性的暗示所左右，不人云亦 云，盲从附和。云，盲从附和。 严谨性严谨性思维过程严谨，组织有条理，坚持实事求是思维过程严谨，组织有条理，坚持实事求是 推理论证的学习心理：推理论证的学习心理： n以似真为必真以似真为必真(27) (27) n初学推理者习惯于接纳合情推理，认为推理就初学推理者习惯于接纳合情推理，认为推理就