2010级线性代数练习册参考答案练习册一解答

1、2010级线性代数练习册参考答 案练习册一解答太原理工大学2010级线性代数练习册(一)其中j j jn是n级全排列的全体，所以共有判断题(正确打，错误打X)1. n阶行列式n 1.( X )正确答案：a”的展开式中含有an的项数为(n )!解答：方法1因为含有ail的项的一般形式是a a janjn ,(n )!项.方法2由行列式展开定理a aana aa na1 A1a1 A1a1n A1 n ,ananann而a1Aa1nA1n中不再含有a，而An共有(n )!项,所以含有an的项数是(n )!.注意：含有任何元素a”的项数都是(n )!.2.若n阶行列式a”中每行元素之和均为零，则 a

2、j|等于零.(V )第6页太原理工大学2010级线性代数练习册(一)a a解答：将a aan ananann中的2、3、n列都加到第一列，则行 以|a81等于零.a1000 a2 b200 b3 a30b400 a4列式中有一列元素全为零，3.aib4b| a2b2*4 b3ababbabaa b bb )b a解答：方法1按第一列展开ababa abbbaba(a a方法2交换2, 4列，再交换2, 4行aba bb abaa bb aa bb aa bb aa bb aa ba b baba方法3 Laplace展开定理：设在n阶行列式d中 任意取定了 k( k n)个行，由这k行元素所组

3、成太原理工大学2010级线性代数练习册(一)D .3行展开的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之 和等于行列式4.aijaabb()ababababbabababababaAj , i，j若n阶行列式aj满足aj0.( V)解答：由行列式展开定理，n,则ai Aan3i Aiana nanna1n A1 n所以按2，5.则2 2aia2a若n阶行列式|aj的展开式中每一项都不为零,aij0.( X )解答：反例如:.单项选择题太原理工大学2010级线性代数练习册（一）第10页1 1121418(A) 1,2,3 ；1.方程1 12 x4 x28 x3(B)o的根为（B）.1,2, 2 ；(C

4、) 0,1,2 ；( D)1, 1,2.解答：（范德蒙行列式）（ ）（)()(x)(x)(x)，所以根为1,2, 2.aaaaaa a2.已知aaaa,那么aaaaaaa 3aa 3 aa(D).2a解答(A)a;(B)(C)2a ；(D)aaaaaaaaaaa2aaaaa 3aaaa 3a-2 a。3.已知齐次线性方程组y3yy00仅有零解，则0(A).(A)o且1 ;(B)o或 i;(C)且(D)或解答：因为x y z 0x 3y z 0仅有零解，y z 0所以1 13 -11 10 2 -2(2 -2)0 -10 -10所以0且1.4.下列行列式中不一定等于n的是（B）a(A)(B)n

5、anann(D)n(C) aan an解答：注意太原理工大学2010级线性代数练习册(一)n(n )=()anann=()n ( )n5. n阶行列式 符号为(D).(A)-；n(n 1)(D)( 1)F.三.填空题aj展开式中项amaa3,n 2an 1,2an1 的(B) +；(C)n(n 1)(1)h1.已知方程组ab有唯一解c1,那么解答:系数行列式第12页太原理工大学2010级线性代数练习册（一）第21页D,所以D所以a bcaabbccD2.已知，第阶行列式中第 行的余子式依次为行的元素依次为 -,a,，则 a .解答：行列式第行的代数余子式依次为解得a3.若v为 则 “ Aiji

6、,j 1解答:，() a ,()(a)阶范德蒙行列式,Aj是代数余子式，nAijA1i,j 1AinAinAijV 0 Vi 2,j 14.0 0 0 10 0 2 0031004 11980 127600005120解答：方法0 00 00 34 119 802100 127600005ai4a23a32 a41a551200001000010020000200200310005-503100310041101204110411012987655 242120.5.设D-1 .解答:2x131xx2111x1，则D的展开式中x3的系数为D的展开式中有一项是 或者按第一行展开：a12a21a3

7、3a44x32xx12x111111x11x11x112x2x1x3x1321232x32x111x11x11x111111xD由此可以看出x3的系数为-1.四.计算题1.已知D111101121 20 31 05 4，计算 A41A42A43A44.解答：方法1方法210 12110 31110111110 0 21113110 0110 11 0 20 0 1 11 1 110 12110 3111011100，所以 A41A42A43A44方法3A442.计算行列式解答：D3.计算行列式13233423cccc()()20682923解答:13221322132234092340920-

8、561522621131021-13383338301812111x 1111x 111x 11x11x 111x 1111x 111x 11111111111x 1111x 100xxx0x0x0x0x00xx000x000xxx4.1812-2211-256151008-1546122550 .754.计算行列式111x11111x111111解答:（行和相等）5.计算行列式1100aa100bb100c1 c解答：方法太原理工大学2010级线性代数练习册（一）11a001a001a0001b001b001b0011 bc001c001c0011 c0011 c00011 a 0011a

9、b 0011 b c0011 c方法二1a0011 ab0011 bc0011 c各行往第一行加abb cca3a3a3anba1 b a26.计算行列式a1a2 baa2解答：（行和相等）a1 ba2a3an1a2a3ana1a2ba3ann(bai 11a2ba3ana1a2a3an b1a2a3an b第22页太原理工大学2010级线性代数练习册(一)n(b ai 1a2ba30an0n(b ajbn 1i 17.计算行列式解答：当n 2时:当n 2时:减第二行得1222-10002222222222320010222n000n- 22(n 2)!.五证明题1.设 f(x)2x3x4x证明：存在 (0,f ( ) 0.证明：f(x)是多项式，在0,1上连续，各行分别1)，使得(0,1) 内第26页太原理工大学2010级线性代数练习册(一)可导