典型极限问题的求解方法

1、典型极限问题的求解方法典型极限问题的求解方法 学 院：数学科学学院 年 级：*级 专 业：数学与应用数学 姓 名： * 学 号： * 指导教师： * I 摘要 极限是高等数学中一个非常重要的概念，它是研究分析方法的重要理论基础。我 们知道，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和以及广义积分等都是 用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法就显得非常重要。 本文首先讲述了常用的求极限的方法，这是综合求极限方法的基础和前提。本文 的重点在第三章和第四章。分别针对两种典型的极限形式，即（只讨论 0 ( ) lim ( )v x xx u x 型的情况）和分别作出了具体的研究。主要工作有以下几个

2、方面:1 1 lim( ) n n k f k （1）提出公式：= 0 ( ) lim ( )v x xx u x 0 lim( )( ) 1 xx v x u x e （2）提出定理并给以证明：设函数在0,1上可积，则( )f x =lim n 1 1 ( ) n i i f n n 1 0 ( )f x dx （3）提出该定理的推论并给以证明：设函数在0,1上可积，且，( )f x( )0f x 则 = 12 lim( ) ( ). ( ) n n n fff nnn 1 0ln ( )f x dx e （4）提出定理并给以证明：设在上单调下降，且收敛，则( )f x(0,) 0 ( )f

3、 x dx = 1 1 lim( ) n n k k f nn 0 ( )f x dx 关键词 极限；极限方法；无穷小；洛必达法则；幂指函数；定积分。 II Abstract In Higher Mathematics limit is a very important concept, which is a key theoretical basis for the research of analysis methods. We know that many important concepts, such as continuous, derivative, definite integ

4、ral, as well as the sum of infinite series, are defined by the limits. So it is very important to have a good method for the limit. Firstly this paper described commonly used methods for the limit, which are comprehensive methods for the limits of the foundation and prerequisite. The focus of this a

5、rticle is in chapters III and IV. Respectively, the limits for the two typical forms, (only discuss the case 0 ( ) lim ( )v x xx u x of type )and, were made a specific study. The main work of the following areas:1 1 lim( ) n n k f k (1) Proposed formula:= 0 ( ) lim ( )v x xx u x 0 lim( )( ) 1 xx v x

6、 u x e (2) To prove and give the theorem: Let be an integrable function in 0,1, then( )f x =lim n 1 1 ( ) n i i f n n 1 0 ( )f x dx (3) To prove and give the corollary of the theorem: Let be an integrable function in ( )f x 0,1, and, then( )0f x = 12 lim( ) ( ). ( ) n n n fff nnn 1 0ln ( )f x dx e (

7、4) To prove and give the theorem: Let be a monotonous decrease function in, ( )f x(0,) and is convergent, then 0 ( )f x dx = 1 1 lim( ) n n k k f nn 0 ( )f x dx Keywords limit; limit method; infinitesimal; LHospitals rule; power mean function; the definite integral. 目录 摘要摘要 .I I ABSTRACTABSTRACT .II

8、II 第一章第一章 综述综述 .1 1 1.1 引言 .1 1.2 极限定义的深层拓展 .1 1.3 极限问题的类型和方法概述 .2 第二章第二章 常见的极限求解方法常见的极限求解方法 .3 3 2.1 利用无穷小的性质求极限 .3 2.2 利用两个重要极限公式求极限 .4 2.3 利用等价无穷小代换求极限 .5 2.4 利用函数的泰勒展开式求极限 .6 2.5 利用洛必达法则求极限 .7 第三章第三章 形如形如的典型极限问题的求解方法的典型极限问题的求解方法.9 9 0 ( ) lim ( )v x xx u x 3.1 方法或定理的提出及证明 .9 3.2 例题 .9 第四章第四章 形如形

9、如的典型极限问题的求解方法的典型极限问题的求解方法.1010 1 lim( ) n n k f k 4.1 方法或定理的提出及证明 .10 4.2 例题 .11 结论结论 .1313 参考文献参考文献 .1414 致致谢谢 .1515 典型极限问题的求解方法 1 第一章 综述 1.1 引言 极限是描述数列与函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确， 从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法，能够通过旧事物的量的变化规律， 去计算新事物的量，因此，它具有由此达彼的重大创新作用。 同时，极限是研究微积分的理论基础和基本手段，它一直贯穿于该学科的始终。极 限的思想方法不仅在整个分析

10、学的建立和发展中起着基本作用，而且还广泛应用于其 他数学分支和自然科学。例如，求解非线性偏微分方程近似解的基本工具有限元 法，可以看作是微元法和无限逼近思想在计算数学中创造性的运用与发展。 极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学 技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作 用。因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易，是一个非常具有现实意义的重 要问题。 求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各 种极限的类型，并熟练应用多种求极限的基本方法。众所周之，求极限的方法繁多且 变化灵活，不易掌握。本文

11、在总结各种常用的求极限方法的同时，更重要的是，也会 提出一些创新的极限求解方法，希望能够开拓读者的思路，起到抛砖引玉的作用。 1.2 极限定义的深层拓展 要研究典型极限问题的求解方法，首先要深刻理解极限的定义。随着科学技术的深 入发展，以及数学自身的发展需要，极限概念也在进行着深层次的拓展，它的发展主 要经历了如下阶段。 （1）维欧氏空间中的函数极限概念。n 设为定义在的元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数，若对任f n RD n 0 PDA 意的正数，总存在某正数，使得当（其中，为点的某P 0 0 (, )uPD 0 0 (, )uP 0 P 个空心领域）时,都有，则称在上当时,以为极。(

12、 )f pAfD 0 PPA 1 限 （2）距离空间中点列极限的概念。 设为距离空间中的一个点列(或序列)，这里。为空间的距离函 n xX1,2,3.n 数，如果存在中的点，使得当时，则称点列收敛于，X 0 xn 0 (,)0 n xx n x 0 x 典型极限问题的求解方法 2 记为，称为在距离意义下的极。 0 lim n n xx 0 x n x 1 限 （3）拓扑空间中半序点列极限的定义。 设是一拓扑空间，是中的一个半序点列，。如果对于的X: a xaX 0 xX 0 x 任一邻域，存在半序点列中的元素，使得当时，有。则称半序点U 0 a 0 3aa a xU 列收敛于，则称为的极。:

13、a xa 0 x 0 x: a xa 1 限 除此之外，在许多数学分支发展的过程中，针对解决实际与理论问题的需要，还引 进了各种不同意义下的极限概念：如在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的 概念；在集论中引进了集列的上极限与下极限的概念；在实函数论中引进了函数列的 度量收敛与弱收敛的概念以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近与最佳逼近 等等的极限概念，在此就不再一一论述了。尽管上述极限定义从表面上看有很大的差 别，但它们却有着本质的联系，都涉及到了无穷的问题，并且都是从有限过程中求出 无限过程以后的结果的数学思想方法。 1.3 极限问题的类型和方法概述 首先我们将微积分中的极限问题粗

14、略的归结为四种形式： 1、简单的确定式极限 2、常见的未定式极限，主要包括以下几种类型：型，型，型，型， 0 0 0 型，型，型等七种形式。1 0 0 0 3、n 项和数列的极限，是指通项本身就是项的和，而其项数又随着 1 n nk k xa n 无限增加。n 4、其他形式的极限。 每一种形式的极限问题都有它相对常规性的求解方法。如简单的确定式极限，可应 用极限四则运算法则以及函数的连续性理论来求解；而常见的未定式极限则可采用等 价无穷小代换、洛必达法则、泰勒公式法等手段求解；对于 n 项和数列的极限，一般 会采用夹逼定理、级数理论等方法。当然，在求解极限时，方法的选择并不完全拘泥 于极限的形

15、式，可以灵活处理，多种方法交叉使用。 本文主要的研究对象是典型的极限问题，因此对于一些常用的方法只做简单的介绍。 在本文的第三章与第四章中，将分别详细介绍两种形式的典型极限问题的求解方法。 典型极限问题的求解方法 3 第二章 常见的极限求解方法 本章将介绍几种常见的极限求解方法，这些方法均有各自的特点，在本文后面章节 提出的几种典型极限问题的求解方法中，将反复交叉使用本章提到的方法，因为这些 常见的方法是研究极限求解的基础，需要我们去深刻的理解并扎实的掌握。 2.1 利用无穷小的性质求极限 我们知道，无穷大量的倒数是无穷小量；有界函数与无穷小量的乘积仍然是无穷小 量；有限个无穷小量之和仍然是无

16、穷小量。利用这三个定理可以求出某些函数的极限。 例 1 求 2 1 47 lim 32 x x xx 解 当时，分母的极限为 0，而分子的极限不为 0，可以先求出所给函数的1x 倒数的极限： =0 2 1 47 lim 32 x x xx 1 32 47 利用无穷小量的倒数是无穷大量， 故= 2 1 47 lim 32 x x xx 例 2 求 2 0 1 sin lim sin x x x x 解 = 2 0 1 sin lim sin x x x x 0 lim x sin x x x 1 sin x 因为=1；当时，为无穷小量，为有界量， 0 lim x sin x x 0 x x 1

17、sin x 所以=0；故原式=0 0 lim x x 1 sin x 例 3 求 2 0 1 3sincos lim (1 cos )ln(1) x xx x xx 解 当时，分母0 x (1 cos )ln(1) 2xxx 原式= 2 0 1 3sincos lim 2 x xx x x 00 3sin11 limlimcos 22 xx x x xx 对于第一个极限，显然=，而第二个极限，是有界函数与一个无穷小量 0 3sin lim 2 x x x 3 2 的乘积，仍为无穷小量，故 典型极限问题的求解方法 4 =0，从而原式= 0 11 limcos 2 x x x 3 2 2.2 利用

18、两个重要极限公式求极限 我们所熟悉的两个重要极限是： （1）=1 0 sin lim x x x （2）和 1 0 lim(1)x x xe 1 lim(1)x x e x 公式中的都可以看作整体来对待。x 其中，第一个重要极限是“”型；第二个重要极限是“”型。 0 0 1 在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型 或者它们的变形，这就要抓住重要极限公式的特征，并且能够根据它们的特征，辨认 它们的变形。 例 1 求 0 lim lim(coscos.cos) 242n xn xxx 解 = 0 lim lim(coscos.cos) 242n xn xxx 0

19、2coscos.cossin 2422 lim lim() 2sin 2 nn xn n xxxx x = 11 0 2 2coscos.cossin 2422 lim lim() 2 sin 2 nn xn n xxxx x 0 sin lim lim() 2 sin 2 xn n n x x =1 0 sin lim lim() 2 2 xn n n x x 0 sin lim x x x 例 2 求 0 log (12 ) lim a x x x 解 = 0 log (12 ) lim a x x x 1 0 limlog (12 )x a x x 1 2 0 2limlog (12 )

20、 x a x x 2logae 例 3 求 0 1 lim sin x x x 这个问题很多同学在拿到题目的时候就会想到重要极限公式，不假思索的就写出它 典型极限问题的求解方法 5 的极限为 1。但是我们仔细的分析一下，在问题中我们首先把其转化为，令 0 1 sin lim 1 x x x = ，极限变为，可以看到这个问题中的自变量的变化趋势与=1 是不 1 x t sin lim t t t 0 sin lim x x x 同的，所以不能利用重要极限来求。 解 因为是一个有界量，而是时的无穷小，所以=0 2 sin1 x x0 x 0 1 lim sin x x x 2.3 利用等价无穷小代

21、换求极限 这种方法如果使用恰当，会给求极限过程带来很大的方便。但是这要求我们能够熟 练掌握常用的等价无穷小： 当时，0 x （1）sin tanxxx （2） 2 1 cos 2 x x （3）1 x ex （4）ln(1) xx （5） 1 1 (1) 1 n xx n 例 1 求 3 321 ln(11) lim sin21 x x x 解 原式= 3 321 11 lim 21 x x x 3 1 1 lim 21 x x 3 1 2 2 例 2 求 0 1 cos lim (1)ln(1) x x x ex 解 因为当时，有，0 x 2 1 cos 2 x x1 x exln(1) x

22、x 所以= 0 1 cos lim (1)ln(1) x x x ex 2 0 1 2 lim x x x x 1 2 典型极限问题的求解方法 6 例 3 求 32 33 0 ln(sin)2 lim ln()3 x x x xex xex 解 = 32 33 0 ln(sin)2 lim ln()3 x x x xex xex 322 333 0 ln(sin)ln lim ln()ln xx xx x xee xee 3 2 3 0 3 sin ln(1) lim ln(1) x x x x e x e = 3 2 3 0 3 sin ln lim ln x x x x e x e 3 3

23、 00 sin limlim1 xx xx x ee x 值得我们注意的是，利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只是再以乘除形式 出现时使用，若以和、差形式出现时，千万不要轻易代换。因为经此代换后，往往会 改变无穷小之比的阶数，故此方法慎用为好。 例 4 求 3 0 2sinsin2 lim x xx x 解 原式=1 2 0 sin2(1 cos ) lim x xx xx 2 2 0 lim1 x x x 错误的解法是：=0 3 0 2sinsin2 lim x xx x 3 0 22 lim x xx x 2.4 利用函数的泰勒展开式求极限 该方法要求我们必须熟记基本初等函数的展开式。

24、它将原来函数求极限的问题转化 为多项式或有理分式的极限问题。在这里特别给出最经常使用的一种泰勒公式的特殊 形式： 2 (0)(0) ( )(0). 1!2! ff f xfxx ( )(0) () ! n nn f xo x n 例 1 求 2 0 112 lim x xx x 解 由泰勒展开式：； 2 2 11() 28 xx xo x 2 2 11() 28 xx xo x 故= 2 0 112 lim x xx x 2 2 2 0 () 1 4 lim 4 x x o x x 例 2 求 20 1 lim 11 x x ex x 典型极限问题的求解方法 7 解 由泰勒展开式：； 22 1

25、 1() 2 x exxo x 222 1 11() 2 xxo x 所以= 20 1 lim 11 x x ex x 22 0 22 1 1()1 2 lim 1 1 (1() 2 x xxo xx xo x 22 0 22 1 () 2 lim1 1 () 2 x xo x xo x 例 3 求 0 11 lim() ln(1) x xx 解 = 0 11 lim() ln(1) x xx 0 ln(1) lim ln(1) x xx xx 2 2 2 0 () 2 lim x x xxo x x = 2 2 2 0 () 1 2 lim 2 x x o x x 2.5 利用洛必达法则求极

26、限 设当或时，。如果，并且(有限或 0 xxx lim( )0( )f x ( )0g x ( ) ( ) fx A g x 无限)，则= ( ) lim ( ) f x g x ( ) lim ( ) fx A g x 这就是洛必达法则，它是求未定型极限的最常用方法之一，而且只要满足条件，可 以连续使用多次。 例 1 求 1 1 0 (1) limln x x x x e 解 = 1 1 0 (1) limln x x x x e 0 1 1 limln(1) 1 x x x x 2 0 ln(1) lim x xx x 0 1 1 1 1 lim 22 x x x 例 2 求 3 0 si

27、n lim 7 x xx x 解 这是一个型的极限，满足洛必达法则的条件，注意两次使用洛必达法则，得 0 0 = 3 0 sin lim 7 x xx x 2 0 1 cos lim 21 x x x 0 sin lim 42 x x x 1 42 在使用洛必达法则时，应特别注意以下几点问题： （1）洛必达法则在求极限的时候要求函数存在导数，且导数商的极限存在。 典型极限问题的求解方法 8 （2）洛必达法则可以连续使用，但是每次必须检验是否属于“”型或者“” 0 0 型未定式。如果不是，就不能使用洛必达法则。 （3）在求极限的过程中，有可约的因子或者极限不是零的因子，可以先约去或从 极限符号内

28、取出。 （4）不是任何未定式的极限都可以用洛必达法则求出极限。也就是说洛必达法则 有时失效。 例 3 求 sin lim x xx x 解 错误解法：=不存在。 sin lim x xx x (sin ) limlim(1 cos ) xx xx x x 原因：所求极限不符合法则条件，即导数商的极限不存在，此时，洛必达法则失效。 正确解法：= sin lim x xx x sinsin lim(1)1lim1 xx xx xx 例 4 求 0 cos lim sin x x ex xx 解 （型）=（不是未定型的形式）= 0 cos lim sin x x ex xx 0 0 0 sin li

29、m sincos x x ex xxx 如果第二步再用洛必达法则就是错误的。 例 5 求 22 2 0 2 cosln(1) lim 4 x x ex xx xx 解 本例虽然是未定型，但由于分子分母分别求导的结果很繁琐，故在使用洛必 0 0 达法则之前，必须先把“非零因式”分解出来，然后再使用洛必达法则，即 原式= 22 20 cos lim 4 x x ex x 2 0 ln(1) lim x xx x 0 1 1 1 1 lim 22 x x x 1 4 典型极限问题的求解方法 9 第三章 形如的典型极限问题的求解方法 0 ( ) ( )lim xx v x u x 这类极限问题也是出现

30、频率较高、非常典型的一种，它的形式表面看起来非常复杂， 让人感觉无从下手，但是一旦认清了题目的特点，我们可以选择幂指函数变换法来求 解，极限问题就会迎刃而解。 3.1 方法或定理的提出及证明 对于形如的典型极限问题，本文介绍幂指函数变换法来求解，具体操作 0 ( ) lim ( )v x xx u x 方法是：先取对数，再求指数，把求“幂”的极限转化为求“积”的极限，通常会配 合使用等价无穷小代换等常用方法。 定理定理 3.1.13.1.1 若，则= 0 lim ( )1 xx u x 0 lim ( ) xx v x 0 ( ) lim ( )v x xx u x 0 lim( )( ) 1

31、 xx v x u x e 证明：， ( )ln 1( ) 1( )( )ln ( ) ( ) v xu x v xv xu x u xee 因为，有，所以由等价无穷小代换可知，当时， 0 lim ( )1 xx u x 0 lim( ) 10 xx u x 0 xx ln 1( ) 1 ( ) 1u xu x 故= 0 ( ) lim ( )v x xx u x 0 ( )ln 1( ) 1 lim v xu x xx e 0 lim( )( ) 1 xx v x u x e 3.2 例题 例 1 求 1 0 lim(cos)x x x 解 ，；，；( )cosu xx 0 lim ( )1

32、 x u x 1 ( )v x x 0 lim ( ) x v x 满足定理 3.1.1 的条件，所以 = 1 0 lim(cos)x x x 0 1 lim(cos1) x x x e 其中=（应用等价无穷小代换） 0 1 lim(cos1) x x x 2 0 1() lim 2 x x x 1 2 2 1 cos 2 x x 所以= 1 0 lim(cos)x x x 1 2 e 典型极限问题的求解方法 10 第四章 形如的典型极限问题的求解方法 1 ( )lim n k f k n 是一类以数列求和的形式出现的极限问题，我们这里采用的是定积分法 1 lim( ) n n k f k 求

33、极限。由于定积分本身就是一个有特殊结构和式的极限，因此要利用定积分来求极 限，其关键在于深刻理解定积分的定义，能够将和数化为与定积分定义相符合的某一 特殊结构的和式。 4.1 方法或定理的提出及证明 定理定理 4.1.14.1.1 设函数在0,1上可积，则=( )f xlim n 1 1 ( ) n i i f n n 1 0 ( )f x dx 证明：因为函数在0,1上可积，由定积分的定义，不妨等分区间0,1,记( )f xn ，每个区间的长度为，记这一分法为； i i x n 1 n 在每一个部分区间中任取一点，因为定积分的值不依赖于的取法，所 1,ii xx i i 以不妨令=，即区间的

34、右端点，作和式 i i x =，其中= 1 ( ) n ii i fx 1 1 ( ) n i i f n n i x 1ii xx 1 n 当时,即，所以=n 0 i xlim n 1 1 ( ) n i i f n n 1 0 ( )f x dx 定理定理 4.1.24.1.2 设在上单调下降，且收敛，则=( )f x(0,) 0 ( )f x dx 1 1 lim( ) n n k k f nn 0 ( )f x dx 证明：由于收敛，所以有=，又因为单调 0 ( )f x dx 0 ( )f x dx 1 1 0 ( ) k n n k k n f x dx ( )f x 下降，所以，

35、 （） ， 1 111 ()( )( ) k n k n kk ff x dxf nnnn 0,1,.k 故=满足 1 1 ( ) n k k f nn 典型极限问题的求解方法 11 ， 0 1 ( )(0)f x dxf n 即 00 1 ( )(0)( )f x dxff x dx n 利用夹逼定理可得， =lim n 0 ( )f x dx 定理定理 4.1.14.1.1 的推论的推论 设函数在0,1上可积，且，则( )f x( )0f x = 12 lim( ) ( ). ( ) n n n fff nnn 1 0ln ( )f x dx e 证明：设=， 12 ln( ) ( ).

36、( ) n n n yfff nnn 1 1 ln( ) (1,2,.) n i i fn nn 由定理 4.1.1 可知，所以 1 0 limln( ) n n yf xdx = 12 lim( ) ( ). ( ) n n n fff nnn lim n y n e lim n n y e 1 0ln ( )f x dx e 4.2 例题 例 1 求 1 12. lim ppp p n n n (1)p 解 由定理 4.1.1 得， = 1 12. lim ppp p n n n 1 1 lim( ) p n n i i nn 1 0 1 (1) 1 p x dxp p 例 2 求 22

37、3 1 lim n n k k nk n 解 因为函数在上连续，因而可积，故由定理 4.1.1 得， 2 ( )1f xxx0,1 = 22 3 1 lim n n k k nk n 2 1 1 lim1 ( ) n n k kk nnn 1 1 lim( ) n n k k f n n 1 2 0 1xx dx = 3 21 2 0 11 (1) | 33 x 例 3 求 12(1) lim(coscos.coscos) n nn nnnnn 典型极限问题的求解方法 12 解 = 12(1) lim(coscos.coscos) n nn nnnnn 1 1 limcos n n i i n

38、n 由于在上连续，故可积。从而对的一个等分分割，使得( )cosf xx0,0,T ，由定积分的定义，对，都有 i x n (0,1,2,., ) i i xin n 1,iii xx ， 00 1 lim()( ) n ii T i fxf x dx 所以取上述极限仍然成立，于是， ii i x n =0， 0 1 lim() n ii T i fx 1 limcos n n i i nn 0 ( )f x dx 0 sin|x 所以，=0 1 1 limcos n n i i nn 1 1 limcos n n i i nn 1 0 ( )f x dx 例 4 求 22 1 1 lim n

39、 k n nk 解 = 22 1 1 lim n k n nk 2 1 11 lim 1 ( ) n k k n n 则，由定理 4.1.2 可得，= 2 1 ( ) 1 f x x 22 1 1 lim n k n nk 0 ( )f x dx 2 0 1 1 dx x 2 例 5 求 1 lim(1)(2).(21) n n n nnn n 解 = 1 lim(1)(2).(21) n n n nnn n 01(1) limn n nnnn nnn = 011 lim(1) (1)(1) n n n fff nnn 则，由定理 4.1.1 的推论可得，=( )1f xx 1 lim(1)(2).(21) n n n nnn n 1 0l