燕博园2019届高三综合能力测试(CAT)(二)数学(文)试题(全国卷,精品解析)

1、燕博园 2019 届高三年级综合能力测试（CAT）（二）文科数学（全国卷）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A 1,a, B x Z |1 x 1 ，若 A B，则实数 a 的值为（）A 1B 0C 1D 0 或 12下列函数中是偶函数且在其定义域上存在最大值的是（）xy x21B y x3Cy lg x1AD y23函数 ysin(2 x) 相邻的一个对称中心和一个对称轴的距离是（）D与有关ABC42x4方程 log 22 x0 的根所在的一个区间是（）2A 1 , 1B 1 ,1C (1,2)D (2, 2

2、)4225 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a2 2, c 4, a cos Bb sin A ，则 b（） 4 8 23A 22BCD6已知直线 l 与正方体ABCDA B C D 的所有面所成的角都相等，且l 平面 BB D DH ，则l与平面111111BB1D1 D 所成角的正切值是（） 225A2BC2D7若某三棱锥的三视图是三个腰长为2 的等腰直角三角形， 如图所示， 则该三棱锥的外接球的表面积为（）A 123C 4D (33)B 28已知O : x2y24 y30 ，直线 l : yx ，若过直线 l 上的点 P 所作的O 的两条切线互相垂直，则点

3、P 的坐标是（）1 1(0,0)或(2, 2)22或44A,2BC (1,1)D3,3,2339如图是来自统计局的有关2013 2017 年我国的三次产业增加值占国内生产总值比重的统计图，下列对于2013 2017 年该国的三次产业增加值占国内生产总值比重的相关判断错误的是（）A 2013 年第三产业增加值约为第一产业增加值的5 倍B第一产业占国内生产总值的比重在逐年减少C第三产业占国内生产总值的比重最低的年份是2013 年第二产业在 2017 年的增加值比2015 年的增加值低Dexax (0,) ，都有 f ( x) 1，则 a 的取值范围是（）10已知函数 f ( x)，若对xA 1B

4、(,1C 2,)D (0,111古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数如图所示，三角形数1， 3， 6，在 1 100 这 100 个自然数中随机取一个数，恰好是三角形数的概率是（）A 13B 17C 1D 33100100410012已知离心率为 e，焦点为 F1, F2 的双曲线 C 上一点 P 满足 sin PF1F2e sin PF2 F1 0 ，则双曲线的离心率 e 的取值范围为（）A (1, 2B (1, 3二、填空题：本题共4 小题，每小题13已知复数为 (1ai) 2b i ( a, b(1,

5、2D (1,1 2)C5 分，共 20分把答案填在题中的横线上R ) ，则 abix 114已知实数 x, y 满足约束条件 xy 3 ，则 z2x y 的最小值为y x315已知 sin 21，则2 sin，且 044416等腰梯形 ABCD 中， AB / CD, AD4, BCD60 , P 是梯形 ABCD 内的一点，则PA PBPCPD的最小值是三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17（本小题满分 12 分）2S2 (n 1,2,3, ) 各项均

6、不为零的数列an 前 n 项和为Sn，数列 na前n 项和为Tn，且 a2, Tn1nn（ 1）求 a2 的值；（ 2）求数列 an 的通项公式18（本小题满分 12分）如图，在四棱锥PABCD 中， BC 2, AD / BC, E 为棱 PA 的中点， BE / 平面 PCD PB AB2BE ，平面 PAB平面 PBC （ 1）求证：平面 ABCD 平面 PBC ；（ 2）若点 F 在 PD 上，且 AFPD , AD BE ，求证： BF PC PFEBCAD19（本小题满分12 分）2018 年 6 月 25 日，赶集网发布了2018年毕业生就业报告 ，2018 年全国高校毕业生人数

7、达到820 万人，再创近 7 年毕业生人数新高中国高等教育发展实现了从精英教育到大众化，用十年走过了其他国家三十年、五十年甚至是更长时间的道路下表是近7 年高校毕业人数（精确到十万位）（数据来源：中商产业研究院整理）年份2012201320142015201620172018年份代号 x1234567毕业人数 y（百万人）6.87.07.37.57.78.08.2（ 1）求 y 关于 x 的回归方程（系数保留两位小数）；（ 2）利用所求回归直线方程分析2012 年至 2018年全国高校毕业生人数的变化情况，并预测2023 年全国高校毕业生人数附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：n

8、?( xi x)( yiy)? i 1?ybn, abx(xi x ) 2i 120（本小题满分 12 分）经过抛物线 C：y2mx 的焦点 F 作斜率为 k1 的直线，分别交抛物线C 于点 A、B ，点 P(1,2)在抛物线 C 上，直线 l 经过线段 AB的中点 M 与点 P （ 1）求抛物线C 的焦点坐标；（ 2）作斜率为 k2 的直线 m 交抛物线于 C、D ，若 k1 k2 1 ，直线 l 经过线段 CD 的中点 N ，求证：直线 m 经过定点21（本小题满分12 分）已知函数 f ( x) sin x ax1 x3 6（ 1）求函数 f (x) 在点 (0,f (0) 处的切线方程

9、；（ 2）若 f ( x) 存在极小值点x1 与极大值点 x2 ，求证： x1 2a x2 2（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分22【选修 4 4：坐标系与参数方程】 （本小题满分10 分）已知点 A(2,0) ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos1，点P 为曲线C 上的动点（ 1）写出点 A 的极坐标及曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）当 APO 为最大值时，求 PAO 的外接圆的参数方程23【选修 4 5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分）已知函数f (x)x2ax （ 1）当

10、a1 时，求不等式（ 2）是否存在实数a ，使得f ( x) 2 的解集； x | f ( x) 2R？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由燕博园 2019 届高三年级综合能力测试（CAT）（二）文科数学（全国卷）参考答案1答案： B解析： A 1,a, B 0,AB, a0 2答案： D解析：选项 A，D 为偶函数，选项B 为奇函数，选项C 的定义域为 (0,) ，是非奇非偶函数选项 A， y x2 1，当 x0 时， y 取得最小值1，x0选项 D，因为 x 0 ，所以 y1 11，即存在最大值1，故选 D223答案： C解析：函数 ysin(2 x) 的周期 T，则其相邻的一个对称中

11、心和一个对称轴的距离是T44答案： B4解析： f (x)log 2x2x ，则 f1log 2 11310, f1log 2112 110 ，2482224f (1)1212 1 0 ，所以原方程的根所在的一个区间为1 ,1log 2225答案： A解析：由 a cosB b sin A 及正弦定理可得sin A cosBsin B sin A ，又因为 sin A0，所以 cosBsin B所以 B，由余弦定理得： b2a2c22ac cosB8162 22 428,b 22 426答案： B解析：因为直线 l 与正方体 ABCDA1B1C1D1 的所有面所成的角都相等，所以直线 l沿着正

12、方体体对角线的方向，不妨设 l 为 A1C ，则 H 为平面 BB1D1D 的中心， 连接 A1C1 ， AC1 1B1D1O1 ，易证得： A1C1平面 BB1D1D ，所以A1 HO1即为 l与平面 BB1 D1D 所成的角，tan A1HO1A1O12 O1HD1C1O1A1B1HDC7答案： A解析：该三棱锥的直观图如图所示，可将其还原成一个棱长为2 的正方体，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2R23, R3 ，外接球的表面积S 4 R2128答案： C解析：O 的标准方程为x2( y2) 21，圆心为 (0, 2)，半径 r1 ，过点 P 所作

13、的O 的两条切线互相垂直，所以点 P 与圆心的距离为2r2 ，因为点 P 在直线 yx 上，所以可设P(t ,t ) ，所以t 2(t2) 22 ，所以 (t1)20, t1，故点 P 的坐标是 (1,1)9答案： D解析：第二产业在2017 年的增加值占国内生产总值的比重比 2015 年的增加值占国内生产总值的比重低。10答案： B解析：x(0,) ， f (x)exa 1 ，即 exa x, ex ax 0 ，设 g( x)ex ax ，则 g (x)ex a1 ，当 a 0xe a 1 恒成立，满足时，则 g ( x)0 恒成立，所以g( x) 在 (0,) 上单调递增，所以g( x)g

14、(0)题意；当 a0，令 g ( x)0，得 xa，当0 xa 时，g ( x)0, g( x) 单调递减， 当 xa 时， g (x) 0, g( x)单调递增，所以当x a 时， g( x) 取得最小值 g( x)ming (a)1a ，由题意可得 1a 0 ，解得 a 1，即0a 1，综上可知， a 的取值范围是 (,1 11答案： A解析：三角形数12 3nn(n1)，当 n 13时，n( n1)91 ，当 nn(n 1)105 ，所以2214 时，所求概率为 13 210012答案： D解析：在 PF1F2 中，由正弦定理可得PF2sinPF1 F2，所以PF2e ，PF1sinPF

15、2 F1PF1因为PF22aPF12a1，所以当点 P 为双曲线的左顶点( a,0) 时， PF1取得最小值，PF2取得最PF1PF1PF1PF1大值 cae1 ，所以 e1e，整理得 e22e10，cae1e1解得 12e12 ，又因为 e1，所以 e (1,12) 13答案：1342a1y解析： 1a22aibi ，所以1ab2，2a1b34A13所以 abia2b214答案：64C ABC ，x解析：作可行域为如图所示的Ox y3Bx1其中 A(1,2), B(1,2), C (3,0) ，则 zA0, zB4, zC6 ，所以 zminzC6 15答案：32解析：2 sin42sinc

16、oscossin4sincos，4(sincos)212sincos1sin 23，又因为 04，所以 sincos，4所以 sincos312216答案：解析：解法1 ：取 AB 中点 M ， CD 中点 N ， MN2 3则 PAPB 2PM , PCPD2PN ，所以PAPBPCPD4PMPN ，当点 P 为 MN 的中点时， PMPN 取得最小值3，故PAPBPCPD 的最小值是12 以 D 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，设ABt ，则 A(2, 23), B(t2, 23) ，C (4t,0), D (0,0) ，设 P( x, y) ，则 PAPBPCPD(2 xt4,2

17、y4 3)(2 xt4,2 y)t2t3 ，即 P t4 x24( y3) 212 ，当 x2, y2,3 时， PAPBPC PD 取得222最小值12yAMBABPSn2 ( n2a22a2 )217（ 12 分）解 :（）因为a12， Tn1,2,3,) ，所以4(2. 2 分所以 a2DNC4 分 Cx4 ，或 a20 （舍） .D（）因为TnSn2 ( n 1,2,3,) ，所以Tn 1Sn21(n2,3,) 所以 nan2( SnSn1 )an 6 分an0 ，所以nanSnSnn( Sn Sn 1 ) 所以Snn11(n 2) 8 分因为1nSn1所以Snn1nn143S1n(n

18、1)(n2), 9 分n1 n2 n321当 n1时，上式也成立所以anSnSn 12n(n1) 11 分当 n1时，上式也成立，所以an2n 12 分18（ 12 分）（）证明：因为PBAB2BE ， E 为棱 PA 的中点，所以 APBE ，且ABE4，所以 ABBP ，2 分又因为平面 PAB平面 PBC ，平面 PAB平面 PBCPB ，所以 AB平面 PBC ，4 分又因为 AB平面 ABCD ， 所以平面 ABCD平面 PBC ； 5 分（）经过点 E 作 EM / AD 交 PD 于点 M ，连接 CM ，因为 BE / 平面 PCD , BE平面 BCME ，平面 PCD平面

19、BCMEMC ，所以 BE / MC ，因为 APBE ， ADBE ， ADAPA ,所以 BE平面 PAD . 因为 BE / / MC ，6 分所以 MC平面 PAD. 因为 AF平面 PAD ，所以 MCAF . 7 分又因为 AFPD ， PDMCM , 所以 AF平面 PCD ，因为 PC平面 PCD .所以 PCAF .9 分由（）知，AB平面 PBC ，又因为 PC平面 PBC ，所以 ABPC .又因为 PCAF ， ABAFA , 所以 PC平面 ABF . 11 分又因为 BF平面 ABF ，所以 BFPC . 12 分PFEMBCAD19（ 12 分）解：（） x4 ，

20、 y6.87.07.37.57.78.08.27.5 ， 2 分77( xix )( yiy)i 1(14)(6.87.5)(24)(7.07.5)347.37.5447.57.5547.77.5648.07.5748.27.56.64 分7x )2( xi94114928 ， 5 分i 17i1( xix)( yiy)0.24 ?7.50.24 4 6.547所以，(xix) 2i 1则 y 关于xy 0.24x6.54；7 分的回归直线方程是 ?（）因为?0.240，b所以 2012-2018年全国高校毕业生人数逐年增加，平均每年大约增加24 万人， 10 分将 2023年的年份代号x12

21、 代入回归方程得 y9.42 ，可预测2023 年全国高校毕业生人数大约是942 万人 . 12 分20解：（）点 P(1,2) 在抛物线 C : y2mx 上，所以 m 4，所以抛物线 C 的方程为 y24x；2 分所以抛物线 C 的焦点 F 坐标为 (1,0) ；4 分（）由题意可知直线l 不与 x 轴垂直，设直线l 为 y2k( x1) ，直线AB为 yk ( x1) ，A(x , y ), B(x2, y2) 设直线 m 为 ykxb ， C ( x , y), D ( x , y) 11123344将 yk1 (x1) 代入方程 y24x ，得 k1 y24 y 4k10 可得0 ，

22、y1y24， x1 x2y11y2142 ，6 分k1k1k1k12所以线段 AB 的中点M ( 221, 2 ) ，代入直线 l 的方程 y2 k (x1) ，k1k1得 kk1k12k1k2 ，7 分将 yk2 xb代入方程2，得k y24 y4b0 可得，可得 y3y44y4x0.2k2可得点 N 的纵坐标 yN2代入方程 yk2 x2bk2k2b ，可得 xN2，k2因为直线 l 经过线段 CD 的中点 N ，将点 N2bk2, 2代入直线 l 的方程 y2k( x 1)，k22k222k(2 bk21) ，因为 kk1k2，9 分得2k2k2可化为 k22bk20 可得 bk2 ，所

23、以直线 m 为 y k2 x k2 . 11 分所以直线 m 经过定点(1,0) . 12 分21 （） 解： f (0)0, f( x)cos xa1 x2 2 分2f (0) 1a ，所以函数f (x) 在点 (0,f (0) 处的切线方程为y(1 a) x ； 4 分（） 设 g(x)f( x) ，则 g ( x)xsin x ，设 h( x)g (x) ，则 h (x)1 cos x 0，所以 h( x) 在 (,) 上单调递增又因为h(0)0 ，所以 在 0,) 上， h( x) 0 ，即 g (x) 0，所以 g( x) 在 (0,) 上单调递增6 分当 a 1时， g (0)1a 0， 所以 在 0,) 上， g ( x) 0，即 f (x) 0 ，所以函数 f (x) 在 0,) 上 是单调增函数 又 f ( x) 是奇函数，所以函数 f ( x) 在 (,) 上单调递增，无极值点；7 分当 a1 时， g(0)1a0，g( a1)cos(a1)a1 (a 1)2cos(a1)1 (a21)cos(a 1) 1 022又因为函数g(x) 在 0,) 上单调递增， 所以函数f ( x) 在 0,) 上有且只有一个零点x1(0, a 1)x(0, x1 )x1( x1 ,)f ( x)0f ( x