河海大学材料力学课件下

1、第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2-1 概概 述述 工程上有一些直杆，在外力作用下，其主要变工程上有一些直杆，在外力作用下，其主要变 形是沿轴线方向的伸长或缩短，这种变形称为轴向形是沿轴线方向的伸长或缩短，这种变形称为轴向 拉伸或轴向压缩。拉伸或轴向压缩。 外力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。外力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点变形特点: :沿杆轴线方向伸长或缩短，同时横向沿杆轴线方向伸长或缩短，同时横向 尺寸缩小或增大。尺寸缩小或增大。 F F F F 轴向拉伸轴向拉伸 FF FF 轴向压缩轴向压缩 轴向拉伸轴向拉伸 轴向压缩轴向压缩 轴向拉伸或压缩杆件的内力：轴向

2、拉伸或压缩杆件的内力： 1 1. 轴力用轴力用FN表示，单位为表示，单位为N, kN。 2 2. 符号规定：轴力方向与截面外法线方向一致时为拉力，相反符号规定：轴力方向与截面外法线方向一致时为拉力，相反 时为压力。即拉力为正，压力为负。时为压力。即拉力为正，压力为负。 3 3. 计算方法：截面法。计算方法：截面法。 A BCD 10kN20kN10kN 1 12 2 3 3 作下面杆件的轴力图：作下面杆件的轴力图： 2-2 拉压杆件横截面上的正应力拉压杆件横截面上的正应力 m mAB F F 问题是：仅通过平衡条件只能得出横截面上的内力，无法得知问题是：仅通过平衡条件只能得出横截面上的内力，无

3、法得知 每一点的应力及其分布？每一点的应力及其分布？ m m A FFN 由变形关系、物理关系，静力平衡条件求解。由变形关系、物理关系，静力平衡条件求解。 一、一、正应力公式正应力公式 纵线纵线横线横线 FF 1.1.几何变形关系几何变形关系 平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面, ,并且仍并且仍 垂直于轴线，各横截面间只产生相对平移。垂直于轴线，各横截面间只产生相对平移。 从而各纵向纤维的线应变相等从而各纵向纤维的线应变相等 F FN=dA=A A 故横截面上任一点正应力计算公式为：故横截面上任一点正应力计算公式为： A FN FN 2.2

4、.物理关系物理关系 线弹性变形：力与变形成正比线弹性变形：力与变形成正比 3.3.静力学关系静力学关系 正应力公式说明：正应力公式说明： 1 1）正应力的正负号由轴力决定，拉为正、压为负。）正应力的正负号由轴力决定，拉为正、压为负。 2 2）正应力与材料无关、与截面形状无关。）正应力与材料无关、与截面形状无关。 3 3）对横截面沿杆轴线缓慢连续变化的变截面杆，）对横截面沿杆轴线缓慢连续变化的变截面杆， 也可用该式近似计算。也可用该式近似计算。 F F 由弹性力学可知，等直杆由弹性力学可知，等直杆为为0 0；变截面杆；变截面杆不为不为0 0，但截面，但截面 变化不剧烈时，变化不剧烈时，较小，可忽

5、略不计。较小，可忽略不计。 A FN b F F b F F b F =F/A max= 1.027 F A b/2 F =F/A max= F A 1.387 b/4 F =F/A max= F A 2.575 当作用于弹性体表面某一小区域上的力系被另一静力等效的力当作用于弹性体表面某一小区域上的力系被另一静力等效的力 系所代替时，对该区域及其附近区域的应力和应变有显著的影响；系所代替时，对该区域及其附近区域的应力和应变有显著的影响； 而对远处的影响很小，可忽略不计。而对远处的影响很小，可忽略不计。 二、圣维南原理二、圣维南原理 例例 图示三角吊架，所吊物重为图示三角吊架，所吊物重为 F=1

6、8.4kN，AB杆直径杆直径d=15mm，求，求 AB杆横截面上的应力。杆横截面上的应力。 F FCx FCy FAB F=18.4kN FAB=1.2 sin30o 18.40.6 =18.4kN FN=FAB=18.4kN(拉力拉力) = =104.2MPa(拉应力拉应力) FN A 问题：当吊点在问题：当吊点在BC杆上变化时，杆上变化时，AB 杆的应力是否有变化？当吊点在什么杆的应力是否有变化？当吊点在什么 位置时位置时AB杆的应力为最大？杆的应力为最大？ 例例 图示矩形截面杆，图示矩形截面杆，b=20mm，h=40mm。杆内有一杆内有一 直径为直径为d=10mm的圆孔。当杆受到的圆孔。

7、当杆受到F=30kN的力拉伸时，杆的力拉伸时，杆 的哪个横截面上的正应力最大？数值等于多少？的哪个横截面上的正应力最大？数值等于多少？ 解解 在截面在截面m-m上上, ,净横截面最小，但因各截面轴力相同，净横截面最小，但因各截面轴力相同， 故该截面上的平均正应力最大。故该截面上的平均正应力最大。 杆的最大正应力为杆的最大正应力为 m m FF d b h min N max A F MPa50 m10)1040(20 N1030 26 3 例例 变截面钢杆如图。已知变截面钢杆如图。已知F1=20kN，F2=30kN，F3=45kN， l1=l3=300mm， l2 =400mm，d1=15mm

8、，d2=30mm，求：（，求：（1）杆）杆 的轴力图；（的轴力图；（2）杆内的最大正应力。）杆内的最大正应力。 解：解：1、用截面、用截面 法求控制截面的法求控制截面的 轴力，然后画出轴力，然后画出 轴力图。轴力图。 l1l2l3 d1d2 F1 F2F3 A BCD - 35 20 10 FN(kN) 2、求、求max CD： MPa5 .49 1030 4 1035 2 3 3 3 3N A F CD 1 1N A F AB AB: 故杆内的最大正应力发生在故杆内的最大正应力发生在AB段，段，max=113.2 MPa。 l1l2l3 d1d2 F1 F2F3 A BCD - 35 20

9、10 FN(kN) 2 3 3 1015 4 1020 MPa2 .113 应力集中的概念应力集中的概念 在截面突变处的局部范围内在截面突变处的局部范围内, ,应力值明显增大的现象应力值明显增大的现象 称为应力集中（称为应力集中（stress concentration）。）。 F F F 应力集中与缺陷形状、应力集中与缺陷形状、 大小有关；圆角缺陷比尖大小有关；圆角缺陷比尖 角的角的小小 应力集中系数应力集中系数 max 0 2-4 拉压杆件的变形拉压杆件的变形 一、轴向变形一、轴向变形 胡克定律胡克定律 拉（压）杆件在轴向力作用下，轴向和横向均会产生变形。拉（压）杆件在轴向力作用下，轴向和

10、横向均会产生变形。 l l FF a a a a 原长为原长为l的杆件在轴向力作用下轴向伸长的杆件在轴向力作用下轴向伸长l，在线弹性范围内，在线弹性范围内 l FNl A 令令l = FNl EA E拉伸（或压缩）弹性模量，是一个材料参数，由实验确拉伸（或压缩）弹性模量，是一个材料参数，由实验确 定。定。 钢材，钢材，E200GPa，为，为190220GPa EA杆的拉伸（压缩）刚度杆的拉伸（压缩）刚度 注意：该公式适用于注意：该公式适用于E、A、FN在杆长在杆长l范围内不变。范围内不变。 如果如果E、A、FN是是l的函数，如何计算的函数，如何计算l ？ D Dl l FN EA E 线应变线

11、应变 单向拉压的胡克定律单向拉压的胡克定律 线应变在实验中可由电阻应变片连通应变仪而测得。线应变在实验中可由电阻应变片连通应变仪而测得。 例例 一木柱受力如图一木柱受力如图, ,柱的横截面为边长柱的横截面为边长200mm的正方形的正方形, , 材料服从胡克定律材料服从胡克定律, ,弹性模量弹性模量E= =10GPa。如不计柱的自重。如不计柱的自重, ,试试 求木柱顶端求木柱顶端A截面的位移。截面的位移。. 1.5m 3m 160kN 100kN A B C 例例 试求图示等截面直杆由自重引起的试求图示等截面直杆由自重引起的最大正应力最大正应力以及以及 杆的杆的轴向总变形轴向总变形。该杆横截面面

12、积。该杆横截面面积A、材料密度、材料密度r r、弹性模弹性模 量量E均为已知。均为已知。 l q x o gAxxFr)( N gAlxFF lx r )( N max N gxxr)( glx lx r )( max x o FN(x) gAxxFr)( N gAlxFF lx r )( N max N gxxr)( glx lx r )( max gAl o FN x gl o x l q x o l q x o FN(x) x o FN(x) d x FN(x)+d FN(x) EA xxF l d)( )(d N D DD l ll 0 )(d E gl EA xgAx l 2 d 2

13、 0 rr l EA xxF 0 N d)( 例例 图示杆系由两根钢件图示杆系由两根钢件1和和2组成。已知杆端铰接，两杆组成。已知杆端铰接，两杆 与铅垂线均成与铅垂线均成=30角，长为角，长为L=2m，直径，直径d=25mm，弹模，弹模 E=2.1105MPa。设在结点。设在结点A处悬挂一重物，其重处悬挂一重物，其重F=100kN。 试求结点试求结点A的位移的位移A。 A F x y FN2 FN1 A BC 12 F 解：由解：由Xi=0，FN1=FN2 l1= l2 = FN1L/EA =FL/2EAcos 其中：其中：A=/4d2 Yi=0， FN1 cos+ FN2cos-F=0 FN

14、1=FN2 =F/2cos A F x y FN2 FN1 A BC 12 F 2 1 2coscosEA FLl AA A A BC 12 A A mm31m00130 301025 4 122 210100 2 2 3 3 . cos. l1= l2 =FL/2EAcos 例例 变截面钢杆如图。已知变截面钢杆如图。已知F1 = 20kN，F2 = 30kN，F3 = 45kN， l1 = l3= 300mm， l2 = 400mm，d1 = 15mm，d2 =30mm，若已知，若已知 E=210GPa。求：（。求：（1） 杆杆AD的总变形的总变形lAD ; （2） B截面的轴向截面的轴向

15、位移；（位移；（3） 最大线应变最大线应变max。. l1l2l3 d1d2 F1 F2F3 A BCD - 35 20 10 FN(kN) 二、横向应变二、横向应变 横向应变横向应变 l l FF a a a a D Da a a-a a 由实验可知，在弹性范围内，由实验可知，在弹性范围内， v = = e e e e e e e e-v e e v泊松比，材料特性，泊松比，材料特性，0 v 0.5 例例 矩形截面杆，长矩形截面杆，长1.5m，截面尺寸为，截面尺寸为50100mm2。受到。受到 100kN的轴向拉力作用，由实验方法测得杆伸长的轴向拉力作用，由实验方法测得杆伸长0.15mm，截

16、面的，截面的 长边缩短长边缩短0.003mm。试求该杆材料的弹性模量。试求该杆材料的弹性模量E和泊松比和泊松比v。 1500mm 100kN 100mm 50mm 100kN 1500.15mm 99.997mm 弹性模量弹性模量MPa100 . 2 m1015. 0m1010050 m5 . 1N10100 5 326- 3 N D lA lF E 3 . 0 1500/15. 0 100/003. 0 e e 泊松比泊松比 常温常压、静载下材料可分为常温常压、静载下材料可分为 塑性材料塑性材料 ：破坏时有明显变形（如金属材料）：破坏时有明显变形（如金属材料）5% 脆性材料脆性材料 ：破坏时

17、变形很小（如砼、铸铁、砖石）：破坏时变形很小（如砼、铸铁、砖石）5% 但在寒冷的天气里，塑性材料也会呈现出脆性性质。如铁轨冻但在寒冷的天气里，塑性材料也会呈现出脆性性质。如铁轨冻 裂。裂。 2-5 拉伸和压缩时材料的力学性质拉伸和压缩时材料的力学性质 材料力学性质指受外力作用后在强度和变形方面表现出的特材料力学性质指受外力作用后在强度和变形方面表现出的特 性。与材料成分、组织结构，以及受力状态、温度、加载速度等性。与材料成分、组织结构，以及受力状态、温度、加载速度等 有关。有关。 一、拉伸时材料的力学性质一、拉伸时材料的力学性质 AB l d d试件的直径，试件的直径，l标距。标距。 1.1.

18、低碳钢的拉伸试验低碳钢的拉伸试验 标准试件：标准试件： 圆截面圆截面 l=10d 或或 l=5d 矩形截面矩形截面 l=11.3 A 或或 l=5.65 A 两种截面标距与横截面开根号比相同。两种截面标距与横截面开根号比相同。 试验：均匀、连续、平稳加载试验：均匀、连续、平稳加载 电子万能试验机，可自动绘出电子万能试验机，可自动绘出Fl曲线曲线 并可直接得到并可直接得到曲线曲线 (1)(1)拉伸过程中的各个阶段及特性点拉伸过程中的各个阶段及特性点 o l F o l F o l F o l F 弹性阶段弹性阶段 屈服阶段屈服阶段 强化阶段强化阶段 破坏阶段破坏阶段 O O l F 弹性阶段弹性

19、阶段 屈服阶段屈服阶段 强化阶段强化阶段 破坏阶段破坏阶段 弹性阶段弹性阶段 该范围变形是该范围变形是弹性的，弹性的， 可恢复。上限为弹性可恢复。上限为弹性 极限极限e e； e e与与p p非常接近，工程上一般不加以区分，常用非常接近，工程上一般不加以区分，常用p p 。 材料参数弹性模量材料参数弹性模量E可由这一段求出：可由这一段求出： tantan= = =E 其中有一段应力应变成其中有一段应力应变成 线性，服从胡克定律，线性，服从胡克定律， 上限为比例极限上限为比例极限p p。 O e b p a 屈服阶段屈服阶段 应力不增加或产生波动应力不增加或产生波动， 变形急剧增加，试件表变形急

20、剧增加，试件表 面出现面出现4545o滑移线滑移线 取屈服下限为屈服极限取屈服下限为屈服极限s s O p e b a c s 强化阶段强化阶段 屈服阶段过后，试屈服阶段过后，试 件抵抗变形的能力件抵抗变形的能力 有所恢复，其上限有所恢复，其上限 称为强度极限称为强度极限b b。 破坏阶段破坏阶段 试件达到强度极限后，试件达到强度极限后， 试件产生试件产生“颈缩颈缩”现象，现象， 最后被拉断。最后被拉断。 l d O p e b a c s b d 颈缩区内，虽然外力颈缩区内，虽然外力 在减少，但由于横截面被在减少，但由于横截面被 削弱，颈缩区内的应力在削弱，颈缩区内的应力在 增加，其应力增加

21、，其应力应变曲线应变曲线 为：为： o （2）材料的塑性指标）材料的塑性指标 延伸率延伸率 截面收缩率截面收缩率 = l- -l 100% l = 100% A - - A A 延伸率延伸率5%塑性材料塑性材料 延伸率延伸率 22%； 10% （3）应变硬化现象）应变硬化现象 在强化阶段卸载后又重新加载，材料强化。在强化阶段卸载后又重新加载，材料强化。 a.a.强化后比例极限提高；强化后比例极限提高； b.b.强化后塑性变形减少。强化后塑性变形减少。 o D l F 重新加载重新加载 卸载卸载 A Clple B 2.其它塑性材料拉伸时的力学性质其它塑性材料拉伸时的力学性质 /MPa 510

22、15 20 25 3530O 黄铜黄铜 合金铝合金铝 Q235钢钢 45号钢号钢 35CrMnSi 钢钢 500 1000 1500 /10 -2 延伸率延伸率比较大，比较大，5% 有些塑性材料并没有明有些塑性材料并没有明 显的屈服阶段，如黄铜、合显的屈服阶段，如黄铜、合 金铝、金铝、35CrMnSi 35CrMnSi 钢等。钢等。 o D 0.2 0.2% 对于没有明显屈服阶段对于没有明显屈服阶段 的塑性材料，通常以产生的塑性材料，通常以产生 0.2%的塑性应变时的应力的塑性应变时的应力 作为屈服极限作为屈服极限, ,称为条件屈称为条件屈 服极限（服极限（offset yield stres

23、s） 或称为规定非比例伸长应力或称为规定非比例伸长应力, , 用用0.20.2表示表示，如图。，如图。 也有用也有用0.50.5 、 0.010.01作为作为 屈服极限屈服极限s s 。 3.铸铁的拉伸实验铸铁的拉伸实验 (1) (1) 曲线是一条微弯曲线，可用割线代替，并认为服从胡曲线是一条微弯曲线，可用割线代替，并认为服从胡 克定律，由此确定弹性模量。克定律，由此确定弹性模量。 (3) (3) 没有屈服阶段和没有屈服阶段和“颈缩颈缩”现象，出现突然断裂。现象，出现突然断裂。 b O 切线弹模切线弹模 割线弹模割线弹模 如铸铁这类的脆性材料，抗拉强度很如铸铁这类的脆性材料，抗拉强度很 低，不

24、宜受拉。砼大坝，控制拉应力。低，不宜受拉。砼大坝，控制拉应力。 拉断时的应力拉断时的应力 称为强度极限。称为强度极限。b b (2) (2) 变形很小变形很小, ,拉断时的应变只有拉断时的应变只有( (0.4-0.5）%。 二、压缩时材料的力学性质二、压缩时材料的力学性质 圆柱体：圆柱体： l =（1.5 3.0）d 1.低碳钢的压缩试验低碳钢的压缩试验 O 压缩压缩 拉伸拉伸 P p s 为避免试件在压缩时发生弯曲，采用短粗试件。为避免试件在压缩时发生弯曲，采用短粗试件。 E、p、s均与拉伸时均与拉伸时 取相同的值。取相同的值。 得不到强度极限。得不到强度极限。 2.铸铁的压缩试验铸铁的压缩

25、试验 无线性关系。近似服无线性关系。近似服 从胡克定律。从胡克定律。 没有屈服阶段，没有屈服阶段，s不存在。不存在。 破坏时，断口与轴线成破坏时，断口与轴线成45 55。发生错动。发生错动。 和拉伸相比，延伸率大得多；和拉伸相比，延伸率大得多； 强度极限强度极限b比拉伸的比拉伸的b大大4 5 倍。倍。 tc b 拉伸拉伸 O 压缩压缩 b c t 3.混凝土的压缩试验混凝土的压缩试验 OA 段：段： 当荷载较小时，应力当荷载较小时，应力-应变接近直线；应变接近直线； 增大荷载，应力增大荷载，应力-应变关系为一曲线，最后得到应变关系为一曲线，最后得到b。 AC 段：段： 变形增大，仍能承受压力变

26、形增大，仍能承受压力软化。软化。 o A b C c o A C b t o A b C c 4.木材的压缩试验木材的压缩试验 顺纹向比横纹向顺纹向比横纹向b大得多；大得多； 同载同截面条件下，顺纹向压缩时的变形比横纹向小得多。同载同截面条件下，顺纹向压缩时的变形比横纹向小得多。 三、塑性材料和脆性材料的比较三、塑性材料和脆性材料的比较 1.强度方面：塑性材料拉伸时的强度方面：塑性材料拉伸时的b 比脆性材料高；比脆性材料高； 2.变形方面：塑性材料的变形大，脆性材料的变形小；变形方面：塑性材料的变形大，脆性材料的变形小； 3.3.对应力集中的反映不同：应力集中时对塑性材料影响不对应力集中的反映

27、不同：应力集中时对塑性材料影响不 大，对脆性材料影响较大。大，对脆性材料影响较大。 塑性材料吸收的能量多，受冲击能力好。塑性材料吸收的能量多，受冲击能力好。 脆性材料吸收的能量少，受冲击能力不好。脆性材料吸收的能量少，受冲击能力不好。 2-6 几种新材料的力学性质简介几种新材料的力学性质简介 复合材料：两种或两种以上互不相溶（熔）的材料通过一复合材料：两种或两种以上互不相溶（熔）的材料通过一 定的方式组合成的一种新型材料。定的方式组合成的一种新型材料。 复合材料具有极明显的各向异性。在平行于纤维的方向复合材料具有极明显的各向异性。在平行于纤维的方向 “增强增强”效应明显，而在垂直于纤维的方向则

28、不显著。效应明显，而在垂直于纤维的方向则不显著。 如玻璃钢、加纤混凝土等如玻璃钢、加纤混凝土等 复合材料的弹性模量不仅与基体和纤维材料的弹性复合材料的弹性模量不仅与基体和纤维材料的弹性 模量有关，而且与这两种材料的体积比有关。模量有关，而且与这两种材料的体积比有关。 复合材料沿纤维方向的弹性模量可由并联模型得到。复合材料沿纤维方向的弹性模量可由并联模型得到。 Ef 纤维材料的弹模；纤维材料的弹模； Em 基本材料的弹模；基本材料的弹模； Vf 纤维材料的体积与总体积之比。纤维材料的体积与总体积之比。 弹模弹模 E = Ef Vf + Em（1 Vf）。）。 O 如玻璃钢，拉断前应力如玻璃钢，拉

29、断前应力-应变基本上是线弹性关系。应变基本上是线弹性关系。 = f（，t） = f（t） 粘弹性：应力粘弹性：应力- -应变关系与时间有关的性质。应变关系与时间有关的性质。 高分子材料（聚合物），如橡胶、塑料、化纤、粘接剂等高分子材料（聚合物），如橡胶、塑料、化纤、粘接剂等 线性粘弹性线性粘弹性 粘弹性粘弹性 应力不变时，应变随时间的增加而增加应力不变时，应变随时间的增加而增加 蠕变蠕变 应变不变时，应力随时间的增加而减少应变不变时，应力随时间的增加而减少 松弛松弛 一、容许应力和安全因数一、容许应力和安全因数 考虑安全因数的原因主要有考虑安全因数的原因主要有 （1 1）计算荷载难以估计准确，

30、因而杆件中实际产生的最）计算荷载难以估计准确，因而杆件中实际产生的最 大工作应力可能超过计算出的数值。大工作应力可能超过计算出的数值。 （2 2）计算时所作的简化难以完全符合实际情况。）计算时所作的简化难以完全符合实际情况。 （3 3）实际的材料不像标准试件那样质地均匀，因此，实）实际的材料不像标准试件那样质地均匀，因此，实 际的极限应力往往小于试验所得的结果。际的极限应力往往小于试验所得的结果。 （4 4）其它因素。如杆件的尺寸制造不准确，加工过程中）其它因素。如杆件的尺寸制造不准确，加工过程中 杆件受到损伤，杆件长期使用受到磨损或材料受到腐蚀等杆件受到损伤，杆件长期使用受到磨损或材料受到腐

31、蚀等 等。等。 安全因数的确定还与结构的重要性、荷载的情况及材料的性安全因数的确定还与结构的重要性、荷载的情况及材料的性 质有关。质有关。 容许正应力容许正应力 u 极限应力极限应力 对于脆性材料对于脆性材料u=b 对于塑性材料对于塑性材料u=s(或或0.2) 安全因数（安全因数（safety factor） n（n1） = u n bs 二、强度条件和强度计算二、强度条件和强度计算 等直杆等直杆 max FNmax A 强度条件强度条件: :max FN A 强度计算：强度计算： 1.1.校核强度校核强度 2.2.设计截面设计截面 3.3.求容许荷载求容许荷载 max AF、 F、 A FN

32、 A FNmax A 例例 用两根钢索吊起一扇平面闸门。已知闸门的启用两根钢索吊起一扇平面闸门。已知闸门的启 门力共为门力共为60kN, ,钢索材料的容许拉应力钢索材料的容许拉应力 t =160MPa， 求钢索所需的最小直径求钢索所需的最小直径d。 d15.5mm 例例 一墙体的剖面如图所示，墙体顶部受均布荷载一墙体的剖面如图所示，墙体顶部受均布荷载q 作用。已知墙体材料的容许压应力作用。已知墙体材料的容许压应力 c q=1.2MPa，重，重 度度r r g =16kN/m 3，地基的容许压应力，地基的容许压应力 c d=0.5MPa， 试求容许荷载试求容许荷载 q 及下段墙的厚度。及下段墙的

33、厚度。 q=443.8kN/m b=0.97m 例例 如图所示的结构由两根杆组成。如图所示的结构由两根杆组成。AC杆的截面杆的截面 面积为面积为450mm2， ，BC杆的截面面积为 杆的截面面积为250mm2。设两。设两 杆材料相同，容许拉应力均为杆材料相同，容许拉应力均为 =100MPa，求容，求容 许荷载许荷载 F 。 F=48.36kN 静定问题：约束反力或杆的内力（轴力）均可由静力学的平静定问题：约束反力或杆的内力（轴力）均可由静力学的平 衡方程求出的问题。衡方程求出的问题。 超静定问题（静不定问题）：约束反力或杆的内力仅用静力超静定问题（静不定问题）：约束反力或杆的内力仅用静力 学的

34、平衡方程不能求出的问题。这种结构称为超静定结构学的平衡方程不能求出的问题。这种结构称为超静定结构 ( (静不定结构静不定结构) )。 解超静定结构必须综合考虑静力学平衡条解超静定结构必须综合考虑静力学平衡条 件、物理条件和变形协调条件。件、物理条件和变形协调条件。 在超静定结构中，未知力（杆的内力或约束反力）的在超静定结构中，未知力（杆的内力或约束反力）的 个数多于平衡方程的数目，两者的差值称为超静定次数个数多于平衡方程的数目，两者的差值称为超静定次数。 虽然多余约束（虽然多余约束（redundant constraint）对于维持结）对于维持结 构的平衡是多余的，但有利于提高结构的强度和刚度

35、。构的平衡是多余的，但有利于提高结构的强度和刚度。 例例 两端固定的直杆两端固定的直杆AB，在，在C截面处受一集中力截面处受一集中力F作用，作用， 如图所示。设杆的截面面积为如图所示。设杆的截面面积为A，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，求杆，求杆 的轴力。的轴力。 ab C l F A B FA+FB - - F = =0 解：解： （1 1）平衡方程：）平衡方程： （2 2）判断超静定次数）判断超静定次数 这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。 （3 3）列变形几何方程、求解）列变形几何方程、求解 D D lAC- -D D lBC =0 EA aF l A AC EA bF l B

36、 BC FB FA 由（由（3 3）得补充方程：）得补充方程： BA F a b F 代入平衡方程：代入平衡方程： F l b FA F l a FB 从而从而 F l b F AC N F l a F BC N ab C l F A B FB FA 假想解除假想解除B端的约束，代以约束反力端的约束，代以约束反力FB C F A B FB 变形几何方程为变形几何方程为 D DB = =D DlAC+D+D l BC=0 变超静定为静定问题变超静定为静定问题 例例 一刚性杆一刚性杆AB右端用铰链固定于右端用铰链固定于B点，并用钢杆点，并用钢杆CE（1杆）杆） 拉住及木杆拉住及木杆DG（2杆）撑住

37、。现在杆）撑住。现在A端受一集中力端受一集中力F=300kN作用，作用， 试求试求1杆和杆和2杆的轴力杆的轴力FN1及及FN2。设。设A1=510-3m2， E1=2105MPa;A2=5105m2,E2=104MPa。 C F B E A G 2m2m2m 2m3m D C F B E A G 2m 2m2m 2m3m DC C D (1)(1)列平衡方程列平衡方程解：解： （2 2）分析变形几何关系）分析变形几何关系 （3 3）列变形几何方程）列变形几何方程 S SMB=0 0246 . 06300 NN DGCE FF 6 . 0/ 1 l C DD 2 22l DC DDD 11 11

38、N 1 AE lF l D 22 22N 2 AE lF l D FN1=401.2kN ( (拉力）拉力） FN2=418.2kN （压力）（压力） 通过拉压杆件的应力变形分析以及强度计算初步掌握通过拉压杆件的应力变形分析以及强度计算初步掌握 “材料力学材料力学”中的一些基本概念与分析方法：中的一些基本概念与分析方法： 1.1.认真理解拉压杆件应力变形公式中每一项的含义，认真理解拉压杆件应力变形公式中每一项的含义， 以及公式的应用条件，熟练地应用公式计算拉压杆件以及公式的应用条件，熟练地应用公式计算拉压杆件 的应力和变形；的应力和变形； 2.2.认真理解拉压杆件强度条件，正确应用强度条件分认

39、真理解拉压杆件强度条件，正确应用强度条件分 析和解决三类强度问题；析和解决三类强度问题； 3.3.认真理解拉伸试验所得到的应力应变曲线，掌握认真理解拉伸试验所得到的应力应变曲线，掌握 通过实验得到的材料力学性能以及这些性能在应力变通过实验得到的材料力学性能以及这些性能在应力变 形计算和强度计算中的应用；形计算和强度计算中的应用； 4.4.认真理解和掌握拉压静不定问题的特点以及求解静认真理解和掌握拉压静不定问题的特点以及求解静 不定问题的方法。不定问题的方法。 题目：题目： 两端固定的等截面直杆承受轴向载荷，两端固定的等截面直杆承受轴向载荷，AB和和BC 段杆的弹性模量分别为段杆的弹性模量分别为

40、E1和和E2；横截面面积分别为；横截面面积分别为A1和和A2； 长度分别为长度分别为l1和和l2。如果。如果FP、l1、l2、E1、E2、A1、A2等均为等均为 已知，请分析已知，请分析AB段和段和BC段杆横截面上的正应力：段杆横截面上的正应力： 1 1l1l2、E12E2、A1A2时时； 2 2* *在在l1l2、E1E2、A1A2的情形下，计算出各段的情形下，计算出各段 杆的轴力，这时，将杆的轴力，这时，将BC段的横截面面积减小一半，其段的横截面面积减小一半，其 横截面上的应力将增加多少？横截面上的应力将增加多少？ 联接件联接件（connections）：两构件联接中起联接作用的部件。：两

41、构件联接中起联接作用的部件。 剪切变形（剪切变形（shearing deformation）: :如图所示作用在联如图所示作用在联 接件两侧面上的一对外力的合力大小相等，方向相反，作用接件两侧面上的一对外力的合力大小相等，方向相反，作用 线相距很近；并使各自作用的部分沿着与合力作用线平行的线相距很近；并使各自作用的部分沿着与合力作用线平行的 截面截面m-m（称为剪切面（称为剪切面（shear surface）发生相对错动。）发生相对错动。 F F m m 联接件受力和变形情况很复杂，因而要精确地分析其内联接件受力和变形情况很复杂，因而要精确地分析其内 力和应力很困难。工程上通常是根据其实际破坏

42、的主要形态，力和应力很困难。工程上通常是根据其实际破坏的主要形态， 作一些合理的简化，采用作一些合理的简化，采用“实用计算法（实用计算法（method of utility calculation）”计算相应的名义应力，作为强度计算中的工计算相应的名义应力，作为强度计算中的工 作应力。作应力。 铆接、螺栓联接、销钉联接等都是工程中常用的联接形式。铆接、螺栓联接、销钉联接等都是工程中常用的联接形式。 一、简单铆接接头一、简单铆接接头 在搭接联接中，铆钉在搭接联接中，铆钉 的剪切面只有一个的剪切面只有一个, ,称为单称为单 剪（剪（single shearing）。）。 F F d FF b 三种

43、破坏形式三种破坏形式 F FQ = F F FQ = F F F d FF b （）铆钉沿横截面剪断，称为（）铆钉沿横截面剪断，称为剪切破坏。 （）铆钉与板孔相互挤压而在铆钉表面和孔壁面的局部范围（）铆钉与板孔相互挤压而在铆钉表面和孔壁面的局部范围 内发生显著的塑性变形，称为挤压（内发生显著的塑性变形，称为挤压（bearingbearing）破坏。）破坏。 F bs Fbs F F d FF b （）板在钉孔位置由于截面削弱而被拉断，称为拉断破坏。（）板在钉孔位置由于截面削弱而被拉断，称为拉断破坏。 F FN = F F F d FF b . 剪切强度计算剪切强度计算 F FQ = F F F

44、Q = F F Q =F Q Q A F AQ为剪切面面积。为剪切面面积。 剪切强度条件剪切强度条件 Q Q A F 为铆钉的容许切应力。为铆钉的容许切应力。 F F d FF b . .挤压强度计算挤压强度计算 F bs Fbs F bs =F A bs为计算挤压面面积为计算挤压面面积 bs bs bs A F 挤压强度条件挤压强度条件 bs 为容许挤压应力。为容许挤压应力。 bs bs bs bs A F F F d FF b Abs = d . . 拉伸强度计算拉伸强度计算 F N =F A t为拉断面面积为拉断面面积 t N t A F F FN = F 拉断强度条件拉断强度条件 t 为板的容许拉断应力。为板的容许拉断应力。 t t N t A F At =（b- d ) F F d FF b 在对接联接中，铆钉有两个剪切面，称为双剪（在对接联接中，铆钉有两个剪切面，称为双剪（double shearing）。）。 FF 11 F/2 F/2 F FQ