大学物理第九章导体和电解质中的静电场习题课

1、第九章 习题课 二 导体静电平衡条件： 导体内任一点的电场强度都等于零。 导体的内部和表面都没有电荷作任何宏观定向运 动的状态。 一 导体的静电平衡状态： * *推论 ( (静电平衡状态) ) 2 2）导体表面任一点 场强方向垂直于表面 1 1）导体为等势体，导体表面为等势面 小 结 三 导体上电荷的分布 1)1)当带电导体处于静电平衡状态时, ,导体内部处处 没有净电荷存在, ,电荷只能分布于导体的表面上. . 2)导体表面附近的场强方向与表面垂直， 大小与该处电荷的面密度成正比。 0 n Ee 在静电平衡状态下，导体空腔内各点的场强等 于零，空腔的内表面上处处没有电荷分布。 四 空腔导体

2、(带电荷Q) 1、腔内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。 2、腔内有电荷 q, 导体的内表面电荷-q, 外表面 电荷Q+q q - q Q+q 空 腔 Q 3、在静电平衡状态 （1）空腔导体, 外面的带电体不会影响空腔内部 的电场分布; （2）一个接地的空腔导体，空腔内的带电体对空 腔外的物体不产生影响。 0 内内 E常量V i i q常量 原 则 1.静电平衡的条件 2.基本性质方程 3.电荷守恒定律 0 1 d i S i ESq 五. 有导体存在时静电场的计算 一个带有电荷为q 的孤立导体，其电势为V （无穷远处为电势零点） q C V 六 孤立导体的电容 C BA VV q C 七

3、电容器: 两个带有等量异号的导体组成的系统 电容器的电容： 1、平行板电容器 0S C d 2、圆柱形电容器 0 2 ln BA l C RR 3、球形电容器 0 4 AB BA R R C RR 4、电介质电容器 00 0 r CCC A 电容器的串联 B 电容器的并联 八 电容器的串联和并联 U C3C2 Cn C1 串联 12n qqq 12n UUUU 12 1111 n CCCC 1 C 2 C 3 C n C U 并联 12n CCCC 12n qqqq 12n UUUU 九 电介质的极化 电介质的极化：在外电场的作用下，电介质上 （体内和表面）出现极化电荷的现象。 无极分子：位移

4、极化 有极分子取向极化是主要的 电极化强度 i p P V 0e PE cos nn PPP e 电极化强度与极化电荷面密度的关系 极化规律：对各向同性电介质 电场中充满均匀各向同性电介质的情况下 00r DEPEE 电位移矢量1. 定义： 0 d i S i DSq 2. 电介质中的高斯定理 电介质中任一闭合 曲面的电位移通量 等于该面所包围的 自由电荷的代数和 十 有电介质时的高斯定理 十一 点电荷间的相互作用能 静电场的能量 1、点电荷系的相互作用能 n i iiq VW 1 2 1 Vi 除qi 以外的所有电荷在qi处产生的电势 2、静电场的能量 一般情况下的 电场能量密度： 2 0

5、1 d 2 V WEV 电场能量 2 2 1 2 1 EDEw e 1、带电 Q 的均匀带电导体球外有一同心的均匀 电介质球壳(er 及各半径如图)，求 (1) 电介质内外的电场； (2) 导体球的电势； (3) 电介质表面的束缚电荷。 解 ：(1)场强分布 求 D：取高斯面如图由 QSdD S 经对称性分析 er P P S1 S2 R1 R2 同理 求E： 同理 er P P S1 S2 R1 R2 （2）求导体球的电势 (3)电介质表面的束缚电荷 求 P： er P P S1 S2 R1 R2 求、q： 外表面 内表面 er P P S1 S2 R1 R2 2 2、带正电的导体 A ，接

6、近不带电的导体 B ，导体 B 的电势如何变化。 答案：升高。 3 3、两导体板分别带电 Qa、Qb。求各表面 的电荷面密度。 3 1 2 4 A Q B Q 解： SSQ A21 SSQ B43 AB 在导体极板内，取 A、B 两点，由静电 平衡条件 0 4 0 3 0 2 0 1 2222 A E 0 0 4 0 3 0 2 0 1 2222 B E 0联立求解 41 S QQ BA 2 32 S QQ BA 2 3 1 2 4 A Q B Q A P B P 1. .两外表面电荷等量同号。 2. .两内表面电荷等量异号。 4 4、球形电容器由半径为 R1 带电为 Q 的导体球 和与它同心

7、的导体球壳构成，其间充有 r1、r2 两种介质，求：(1)场强分布；(2) 两极间电势 差；(3) 电容 C 。 解： (1) I区：E1=0 II区：作高斯球面 0 qd S S SD D QrD 2 2 4 导体内 1 R 2 R 3 R 4 R 1r 2r I II III IV Q V 2 2 4r Q D 10 2 2 r D E 2 10 4r Q r III区：同理 2 20 3 4r Q E r 导体内IV区： 0 4 E V区： 0 qd S S SD D 1 R 2 R 3 R 4 R 1r 2r I II III IV Q V 2 5 4r Q D 0 5 5 D E （

8、2） 两极间电势差 1 R 2 R 3 R 4 R 1r 2r I II III IV Q V 3 1 13 R R dUl lE E 2 0 4r Q 2 1 3 2 32 R R R R drEdrE 2 1 3 2 2 2 2 1 44 R R R R dr r Q dr r Q 2 1 3 2 2 2 2 1 13 44 R R R R dr r Q dr r Q U 322211 11 4 11 4RR Q RR Q 32121 23111232 4 )()( RRR RRRRRRQ (3) 电容C 13 U Q C )()( 4 23111232 32121 RRRRRR RRR

9、o 5 5、球形电容器两球面的半径分别为 R1、R2 ， 带电量分别为 + +Q 和 - -Q， 极间充有电介质 ， 求：电容器能量。 解：极间场强 Q Q 1 R 2 R 2 4 1 r Q E 能量密度 2 2 1 Ew e 42 2 32r Q drrdV 2 4体元 dVwdW ee 2 2 8r drQ drr r Q 2 42 2 4 32 2 2 8 2 1 r drQ dWW R RVee 21 2 11 8RR Q o Q 1 R Q 2 R r dr R 铜球 r 6、黄铜球浮在相对介电常数为 r=3.0 的 大油槽中，球的一半浸在油中，球的 上半部在空气中,如图所示。 已

10、知球上净电荷为 Q =2.0 10-6C， （1）求球的上、下部分各有多少自由电荷？ （2）求下半球表面附近极化电荷的 、q? R 铜球 r 因为铜球是等势体，所以可以看成是空气 中的半球电容器和油为介质的半球电容器 并联： RC 01 2 RC r 01 2 21 UU 21 C Q C Q 下下上上 R Q R Q r 00 22 下下上上 （1）求球的上、下 部分各有多少 自由电荷？ 【解】 QQQ 下下上上 (2) 上上下下 QQ r (1) 得 可以解得C Q Q r 6 105 . 0 1 上上 C105 . 1QQ 6 r 上上下下 （2）求下半球表面附近极化电荷的 、q? D)

11、 1 1( D )1( E)1(PP rr0 r0 r0n r R 铜球 S 作半球形高斯面 S 如图： S 2 Qr2DSdD 下下 2 r2 Q D 下下 2 rr R2 Q ) 1 1(D) 1 1( 下下 高斯定理 2 2 r 2 R2 R2 Q ) 1 1( R2q 下下 下下 Q) 1 1( r 此 、q 即为所求。 2 r R2 Q ) 1 1( 下下 就有 7.一不接地的球形金属壳不带电，现球心处放一 正电荷q1，在球壳外放一点电荷q2，问： （1） q2能否感受q1的场的作用； （2） q1能否感受电场力的作用； （3） q1在球壳内运动， q2能否感受得到？ 若q1数值变化

12、时又如何？ （4） 若将球壳接地以上三问的答案又如何？ q1 q2 （1）能 （2）不能 （3）不能，能 （1）不能 （2）不能 （3）都不能 (4) 8.半径为r1、r2（ r2 r1）的互相绝缘的二同心导体 球壳，内球壳带电+q，外球壳带电Q，问： （1）外球壳的电荷和电势； （2）外球壳接地后重新绝缘，外球壳的电荷和电势； （3）然后内球壳接地，内球壳的电势和外球壳的电 势和（2）相比各改变了多少？ （1）无限远处电势为零 2 r20 2 r4 Qq rdEU 电荷Q+q r1 r2 q Q 解： -q +q 壳厚度远小于半径 （2）外球壳接地，球壳外电场为零，q+Q电荷流 入大地，外球

13、壳带电 -q，电势为零。 ) r 1 r 1 ( 4 q r dr 4 q rdEU 210 2 1 2 0 2 1 12 （3）内球壳接地，剩余电荷 q r1 r2 q -q (2) r1 r2 -q q (3) 20 2 r4 q q U 0) r q r q ( 4 1 UUU 210 2121 q r r q 2 1 20 2 1 2 r4 q ) r r 1( U0 内球壳电势 0) r 1 r 1 ( 4 q 210 外球壳电势 r1 r2 -q q 9.带电为Q的导体薄球壳（可看成球 面） 半径为R，壳内中心处有点电荷q， 已知球壳电势为Ua，则壳内任一点P 的电势为 r q U

14、U aP 0 4 对不对？ 【解】 根据电势叠加原理 R Q r q U P 00 44 q Q R P r P点的电势为 q Q R P r R Q r q U P 00 44 R4 q U R4 Q 0 a 0 球壳的电势为 R4 q r4 q UU 00 aP r q UU aP 0 4 R4 Q R4 q U 00 a 为什么不对？ 原来Ua并不是Q单独存在时的电势。 R4 Q R4 q U 00 a ?Q qR4UQ 0a 电势叠加： R4 q U r4 q R4 qR4U r4 q R4 Q r4 q U 0 a 0 0 0a 0 00 P （结果一样） 方法二： 10.今有两个电

15、容值均为C的电容器，其带 电量分别为Q和2Q，求两电容器在并联前 后总能量的变化？ CC +Q+2Q -2Q-Q 前 C +3Q -3Q C 后 【解】 并联前 C Q C Q C Q W 2 5 2 2 2 2 2 2 前前 并联后 电容为2C, 带电量为3Q C +Q -Q C +2Q -2Q 后 C Q C Q W 4 9 2 3 2 1 2 2 后后 C Q C Q C Q WWW 44 9 2 5 222 后后前前 为什么能量减少了？能量到哪里去了？ 问题是：并联以后两个电容器上的 电量还是原来的分布吗？ 设 C +q1 -q1 C +q2 -q2 C +q1 -q1 C +q2 -

16、q2 求 q1,q2: )1(Q3qq 21 )2( C q C q 21 由（2）得 Qqq 2 3 21 由（1）得 21 qq C +1.5Q -1.5Q C +1.5Q -1.5Q 原来是在电量的流动 过程中，电场的能量 损失掉了一些。 11.一绝缘导体球不带电，距球心 r 处放一点电荷q， 求导体电势。 导体为等势体，能求得球心o处的电势即可。 导体上感应电荷都在球表面，距球心R r4 q R4 q r4 q U 00 i 0 o 电荷守恒0q s i 解： q r o R 12.一绝缘导体球不带电，距球心 r 处放一点电 荷+q， 金属球半径R, 求:(1)金属球上感应电荷在球心处产生的电场 强度 及此时导体球的电势。 (2) 若将金属球接地，球上的净电荷为何？ 导体为等势体，能求得球心o处的电势即可。 o 导体上感应电荷都在球表面，距球心R r q R q r q V i o 000 444 电荷守恒 qi s 0 解：(1) 如 图， - - - q - + + + + q +q r q E 感 E 0 q EE 感 r r q EE q 4 2 0 感 0 44 00 r q R q q r R q 接地 即 0V 设:感应电量为 o点