第二章X射线衍射方向

1、1 第一篇 材料X射线衍射分析 第一章 X射线物理学基础 第二章 X射线衍射方向 第三章 X射线衍射强度 第四章 多晶体分析方法 第五章 物相分析及点阵参数精确测定 第六章 宏观残余应力的测定 第七章 多晶体织构的测定 2 第二章 X射线衍射方向 本章主要内容本章主要内容 第一节第一节 晶体几何学简介晶体几何学简介 第二节第二节 布拉格方程布拉格方程 第三节第三节 X射线衍射法射线衍射法 3 第一节 晶体几何学简介 一、一、14种布喇菲点阵种布喇菲点阵 l 晶体中原子在三维空间规则排列的抽象图形称空间点阵。晶体中原子在三维空间规则排列的抽象图形称空间点阵。 空间点阵中的阵点不限于原子空间点阵中

2、的阵点不限于原子 l 由基本矢量由基本矢量a、b、c 构成的平行六面体称为单位晶胞，如构成的平行六面体称为单位晶胞，如 图图2-1所示所示 l 布喇菲晶胞的选择原则：布喇菲晶胞的选择原则： 最能反映点阵对称性最能反映点阵对称性； a、b、c 相等数目最多相等数目最多； 、 、 尽可能是直角尽可能是直角 布喇菲晶胞的特点是几何布喇菲晶胞的特点是几何 关系和计算公式最简单关系和计算公式最简单 图图2-1 单位晶胞单位晶胞 4 一、一、14种布喇菲点阵种布喇菲点阵 自然界的晶体可划分为自然界的晶体可划分为 7个晶系，每个晶系中最多有个晶系，每个晶系中最多有 4种点种点 阵，在阵，在 7 大晶系中只有

3、大晶系中只有 14 种布喇菲点阵种布喇菲点阵 1.立方晶系立方晶系 a = b = c， = = = 90 图图2-2 晶系及布喇菲点阵晶系及布喇菲点阵 a a a a a a 简单立方简单立方体心立方体心立方 a a a 面心立方面心立方 第一节 晶体几何学简介 5 一、一、14种布喇菲点阵种布喇菲点阵 2.正方晶系正方晶系 a = b c， = = = 90 续图续图2-2 晶系及布喇菲点阵晶系及布喇菲点阵 简单正方简单正方体心正方体心正方 a c a a c a 第一节 晶体几何学简介 6 一、一、14种布喇菲点阵种布喇菲点阵 3.正交晶系正交晶系 a b c， = = = 90 续图续

4、图2-2 晶系及布喇菲点阵晶系及布喇菲点阵 a b c a b c a b c a b c 简单正交简单正交 底心正交底心正交 体心正交体心正交 面心正交面心正交 第一节 晶体几何学简介 7 一、一、14种布喇菲点阵种布喇菲点阵 4.菱方晶系菱方晶系 5.六方晶系六方晶系 a=b=c， = = 90 a=bc， = =90 ， =120 续图续图2-2 晶系及布喇菲点阵晶系及布喇菲点阵 120 a a c 简单六方简单六方 简单菱方简单菱方 a a a 第一节 晶体几何学简介 8 一、一、14种布喇菲点阵种布喇菲点阵 6.单斜晶系单斜晶系 a b c， = = 90 续图续图2-2 晶系及布喇

5、菲点阵晶系及布喇菲点阵 a b c 简单单斜简单单斜底心单斜底心单斜 a b c 第一节 晶体几何学简介 9 一、一、14种布喇菲点阵种布喇菲点阵 6.三斜晶系三斜晶系 a b c， 90 续图续图2-2 晶系及布喇菲点阵晶系及布喇菲点阵 ab c 简单三斜简单三斜 第一节 晶体几何学简介 10 二、晶体学指数二、晶体学指数 1.晶向指数晶向指数 晶体点阵中的阵点按一定周期排列，可将点阵分解为任晶体点阵中的阵点按一定周期排列，可将点阵分解为任 意方向上的、且相互平行的结点直线簇，阵点等距分布在这意方向上的、且相互平行的结点直线簇，阵点等距分布在这 些直线上。用晶向指数些直线上。用晶向指数 uv

6、w 表示一簇直线，表示一簇直线， 其确定方法其确定方法 如图如图2-3所示。若已知直线上所示。若已知直线上 任意两点坐标分别为，任意两点坐标分别为， (X1Y1Z1)和和(X2Y2Z2) 则有则有 图图2-3 晶向指数的确定晶向指数的确定 212121 ():():(): :XXY YZZuw 第一节 晶体几何学简介 11 二、晶体学指数二、晶体学指数 2.晶面指数晶面指数 可将点阵分解为任意取向的、相互平行的结点平面簇，可将点阵分解为任意取向的、相互平行的结点平面簇， 不同取向的平面簇具有不同特不同取向的平面簇具有不同特 征。征。 用晶面指数用晶面指数(hkl)表示一表示一 簇平面，簇平面，

7、 h k l为其在为其在 3个坐标个坐标 轴上截距倒数比轴上截距倒数比(见图见图 2-4)， 即即 图图2-4 晶面指数的确定晶面指数的确定 222111 1 1 11 1 1 : :h k l m n pm n p 第一节 晶体几何学简介 12 二、晶体学指数二、晶体学指数 3.六方晶系指数六方晶系指数 用三指数表示六方晶系的晶面和晶向时，其缺点是不能用三指数表示六方晶系的晶面和晶向时，其缺点是不能 直观地显示等同晶面和等同晶向关系。如直观地显示等同晶面和等同晶向关系。如(1 0 0)、 (0 1 0)和和 ( 1 0) 是等同三个柱面，是等同三个柱面，1 0 0、0 1 0、 1 1 0实

8、际上是等实际上是等 同晶向同晶向 上述晶面和晶向若用四指数可分别表示为，上述晶面和晶向若用四指数可分别表示为，(1 0 0)、 (0 1 0)、 ( 1 0 0)，和，和2 0、 2 0、1 1 0，它们则具，它们则具 有明显的等同性，可分别归属为有明显的等同性，可分别归属为1 0 0晶面族和晶面族和 1 1 0 晶晶 向族，见图向族，见图2-5 第一节 晶体几何学简介 1 11 1 11112 12 13 二、晶体学指数二、晶体学指数 3.六方晶系指数六方晶系指数 若晶面用三指数表示时为若晶面用三指数表示时为 ( hkl )， 则相应的四数指则相应的四数指 为为( hkil )， 四指数中前

9、三四指数中前三 个指数只有两个是独立的，个指数只有两个是独立的， 它们之间的关系为它们之间的关系为 i = - ( h + k ) 有时将有时将i 略去，表示为略去，表示为 ( hk l ) 图图2-5 六方晶系的晶体学指数六方晶系的晶体学指数 2 0 11 11 0 2 第一节 晶体几何学简介 14 二、晶体学指数二、晶体学指数 3.六方晶系指数六方晶系指数 四轴晶向指数确定方法见图四轴晶向指数确定方法见图2-6。三指数。三指数 UVW 和四指和四指 数数 uvtw 之间的按以下关之间的按以下关 系互换系互换 U = u t, V = v t, W = w u = ( 2U V )/3 v

10、= ( 2V U )/3 t = - ( u + v ) w = W 图图2-6 六方晶系的晶向指数六方晶系的晶向指数 第一节 晶体几何学简介 15 三、简单点阵的晶面间距公式三、简单点阵的晶面间距公式 1.正交晶系正交晶系 (2-3) 2.正方晶系正方晶系 (2-4) 3.立方晶系立方晶系 (2-5) 4六方晶系六方晶系 (2-6) 222222 1 clbkah dhkl 22222 )( 1 clakh dhkl 222 lkh a dhkl 22222 3 4 )( 1 clakhkh dhkl 第一节 晶体几何学简介 16 第二节 布拉格方程 l X 射线与原子内受束缚较紧的电子相遇

11、时产生的相干散射射线与原子内受束缚较紧的电子相遇时产生的相干散射 波，在某些方向相互加强，而在某些方向相互减弱，称这波，在某些方向相互加强，而在某些方向相互减弱，称这 种种散射波干涉的总结果为衍射散射波干涉的总结果为衍射 l X 射线学以射线学以 X 射线在晶体中的衍射现象作为基础，衍射可射线在晶体中的衍射现象作为基础，衍射可 归结为归结为衍射方向衍射方向和和衍射强度衍射强度两方面的问题两方面的问题 l 衍射方向可由劳埃方程或布拉格方程的理论导出衍射方向可由劳埃方程或布拉格方程的理论导出 l 劳埃方程在本质上解决了劳埃方程在本质上解决了X 射线衍射方向的问题射线衍射方向的问题，但难以，但难以

12、直观地表达三维空间的衍射方向直观地表达三维空间的衍射方向 l 布拉格定律将晶体的衍射看成是布拉格定律将晶体的衍射看成是晶面簇在特定方向对晶面簇在特定方向对X射射 线的反射线的反射， 非常简单方便非常简单方便 17 一、布拉格方程的导出一、布拉格方程的导出 如图如图2-7，在在LL1处为同相位处为同相位的一束单色平行的一束单色平行X射线，以射线，以 角照射到原子面角照射到原子面AA上，在反射方向到达上，在反射方向到达NN1处为同光程；入处为同光程；入 射线射线LM 照射到照射到AA晶面的反射线为晶面的反射线为MN，入射线，入射线 L1M1 照射到照射到 相邻晶面相邻晶面BB的反射线为的反射线为

13、M2N2，它们到达，它们到达NN2处的光程差处的光程差 = PM2+QM2 = 2dsin 若若X射线波长为射线波长为 ，则相互加，则相互加 强的条件为强的条件为 2dsin = n (2-7) 此式即为此式即为著名的布拉格方程著名的布拉格方程 图图2-7 布拉格方程的导出布拉格方程的导出 第二节 布拉格方程 18 二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论 l 布拉格方程布拉格方程 2dsin =n 中中，入射线，入射线(或反射线或反射线)与晶面间的与晶面间的 夹角夹角 称为掠射角或布拉格角称为掠射角或布拉格角；入射线和衍射线之间的夹；入射线和衍射线之间的夹 角角2 称为衍射角称为衍射角；n

14、称为反射级数称为反射级数 l 将衍射看成反射是布拉格方程的基础将衍射看成反射是布拉格方程的基础。X射线的晶面衍射射线的晶面衍射 和光的镜面反射有所不同，和光的镜面反射有所不同，X射线只有在满足布拉格方程射线只有在满足布拉格方程 的的 方向才能反射，因此称选择反射方向才能反射，因此称选择反射 l 布拉格方程布拉格方程简单明确地指出获得简单明确地指出获得X衍射的必要条件和衍射衍射的必要条件和衍射 方向，方向，给出了给出了d、 、n和和 之间的关系之间的关系 第二节 布拉格方程 19 二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论 1.反射级数反射级数 如图如图2-8，若，若X射线照射到晶体的射线照射到晶

15、体的(100)时，恰好能发生时，恰好能发生2 级反射，则有级反射，则有2d100sin = 2 ；设想在；设想在(100)面中间均插入与其面中间均插入与其 完全相同的完全相同的(200)面，可以把面，可以把(100)的的 2级反射看作是级反射看作是(200)的的1级反射，则级反射，则 布拉格方程为布拉格方程为2d200sin = ；又可写；又可写 成，成，2(d100/2)sin = ，即，即 或或 (2-10) 图图2-8 2级反射示意图级反射示意图 第二节 布拉格方程 2sin 2 sin d n d 2sin 2 sin d n d 20 二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论 2.干

16、涉面指数干涉面指数 l 把晶面把晶面(hkl)的的n级反射面级反射面n(hkl)用符号用符号(HKL)表示，称为表示，称为反反 射面或干涉面射面或干涉面 l (hkl)是晶体中实际存在的晶面，是晶体中实际存在的晶面， (HKL)只是为了简化问题只是为了简化问题 而引入的虚拟晶面而引入的虚拟晶面 l 干涉面指数称为干涉指数，干涉面指数称为干涉指数，H=nh，K=nk，L=nl，当，当n =1 时，干涉面指数即为晶面指数时，干涉面指数即为晶面指数 l 在在X射线结构分析射线结构分析中，中，一般使用干涉面一般使用干涉面的面间距的面间距 第二节 布拉格方程 21 二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨

17、论 3.掠射角掠射角 l 掠射角掠射角 是入射线是入射线(或反射线或反射线)与晶面间夹角，一般与晶面间夹角，一般用于表征用于表征 衍射方向衍射方向 l 当当 一定时，一定时，d 相同的晶面必然在相同的晶面必然在 相同的方向才能获得反相同的方向才能获得反 射。用单色射。用单色X射线照射多晶体时，各晶粒射线照射多晶体时，各晶粒d 相同的晶面，其相同的晶面，其 反射方向反射方向( )相同相同 l 当当 一定时，一定时， 随随d 值减小而增大，说明间距较小的晶面对值减小而增大，说明间距较小的晶面对 应于较大的掠射角，否则其反射线就无法加强应于较大的掠射角，否则其反射线就无法加强 第二节 布拉格方程 2

18、2 二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论 4.衍射极限条件衍射极限条件 l 掠射角掠射角 极限范围是极限范围是090 ，但过大和过小均会造成衍射观，但过大和过小均会造成衍射观 测的困难。由于测的困难。由于 sin 1，使得反射级数，使得反射级数n或干涉面间距或干涉面间距d 受到限制受到限制 l 当当d 一定时，一定时，n 随随 较小而增大，较小而增大，采用短波长采用短波长X射线照射，射线照射， 可获得较高级数的反射可获得较高级数的反射 l 因因dsin = / 2，故，故 d /2，说明，说明只有间距大于或等于只有间距大于或等于X射线射线 半波长的干涉面才能参与反射半波长的干涉面才能参与反

19、射，采用，采用短波长的短波长的X射线照射射线照射 时，参与反射的干涉面将会增多时，参与反射的干涉面将会增多 第二节 布拉格方程 23 二、布拉格方程的讨论二、布拉格方程的讨论 5.应用应用 l 布拉格方程是布拉格方程是X射线衍射分析中最重要的基础公式射线衍射分析中最重要的基础公式，能简，能简 单方便地说明衍射的基本关系单方便地说明衍射的基本关系 l 用已知波长用已知波长 的的X射线照射晶体，通过衍射角射线照射晶体，通过衍射角2 的测量计算的测量计算 晶体中各晶面的面间距晶体中各晶面的面间距d，这就是，这就是 X 射线结构分析射线结构分析 l 用已知面间距用已知面间距d的晶体反射样品激发的的晶体

20、反射样品激发的X射线，通过衍射角射线，通过衍射角 2 的测量计算的测量计算X射线的波长射线的波长 ，这就是，这就是X射线光谱分析射线光谱分析 第二节 布拉格方程 24 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 图图2-9表明，入射线与衍射线的单位矢量与之差垂直于衍表明，入射线与衍射线的单位矢量与之差垂直于衍 射面，且其绝对值为：射面，且其绝对值为： ，代入布拉格方程得，代入布拉格方程得 (2-11) 即矢量即矢量 ghkl = k -k 垂直于衍射面垂直于衍射面 (hkl)， 且绝对值等于晶面间距且绝对值等于晶面间距 的倒数，这一结果把我们引

21、入的倒数，这一结果把我们引入 一个解决衍射问题的矢量空间一个解决衍射问题的矢量空间 倒易空间倒易空间 sin2kk 图图2-9 入射矢量入射矢量k与衍与衍 射矢量射矢量k 的关系的关系 hkl d k kk k 25 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一一) 倒易点阵的定义和性质倒易点阵的定义和性质 l 通常把晶体点阵（正点阵）所占据的空间称为正空间。所通常把晶体点阵（正点阵）所占据的空间称为正空间。所 谓倒易点阵，是指在倒空间谓倒易点阵，是指在倒空间(量纲为量纲为L-1)内与某一正点阵相内与某一正点阵相 对应的另一个点阵对应的另一个点阵 l 倒易点阵

22、是爱瓦尔德在倒易点阵是爱瓦尔德在1924年建立的一种晶体学表达方法年建立的一种晶体学表达方法 l 正点阵和倒易点阵是在正、倒两个空间内相互对应的统一正点阵和倒易点阵是在正、倒两个空间内相互对应的统一 体，它们互为倒易而共存体，它们互为倒易而共存 l 倒易点阵十分巧妙地、正确地反映晶体点阵周期性的物理倒易点阵十分巧妙地、正确地反映晶体点阵周期性的物理 本质，是解析晶体衍射的理论基础，是衍射分析工作不可本质，是解析晶体衍射的理论基础，是衍射分析工作不可 缺少的工具缺少的工具 第二节 布拉格方程 26 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一

23、一) 倒易点阵的定义和性质倒易点阵的定义和性质 1.倒易点阵的定义倒易点阵的定义 设正点阵的基本矢量为设正点阵的基本矢量为a、b、c，定义相应的倒易点阵基，定义相应的倒易点阵基 本矢量为本矢量为a*、b*、c*，则有，则有 (2-12) 式中，式中，V是正点阵单胞的体积，是正点阵单胞的体积， VVV b ba a c c a ac c b b c cb b a a , )()()(b ba ac cb bc cb bc cb ba aV 27 第二节 布拉格方程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一一) 倒易点阵的定义和性质倒易点阵的定义和性质 2.倒

24、易点阵的性质倒易点阵的性质 1) 倒易点阵基本矢量倒易点阵基本矢量 (2-13) 正倒点阵异名基矢点乘积为正倒点阵异名基矢点乘积为0，由此可确定倒易点阵基本矢，由此可确定倒易点阵基本矢 量的方向量的方向 (2-14) 正倒点阵同名基矢点乘积为正倒点阵同名基矢点乘积为1，由可确定倒易点阵基本矢量，由可确定倒易点阵基本矢量 的大小的大小 ，即，即 (2-15) 0 b bc ca ac cc cb ba ab bc ca ab ba a ),cos( 1 , ),cos( 1 , ),cos( 1 ccc c bbb b aaa a 1 c cc cb bb ba aa a 28 第二节 布拉格方

25、程 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一一) 倒易点阵的定义和性质倒易点阵的定义和性质 2.倒易点阵的性质倒易点阵的性质 2) 倒易点阵矢量倒易点阵矢量 在倒易空间内，由倒易原点在倒易空间内，由倒易原点O*指向坐标为指向坐标为hkl的阵点矢量称的阵点矢量称 倒易矢量，记为倒易矢量，记为ghkl (2-16) 倒易矢量倒易矢量ghkl与正点阵中的与正点阵中的(hkl)晶面之间的几何关系为晶面之间的几何关系为 (2-17) 倒易矢量倒易矢量ghkl可用以表征正点阵中的可用以表征正点阵中的(hkl)晶面的特性晶面的特性(方位和方位和 晶面间距晶面间距) c

26、cb ba ag glkh hkl hkl hklhkl d ghkl 1 ),(g g 29 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (一一) 倒易点阵的定义和性质倒易点阵的定义和性质 2.倒易点阵的性质倒易点阵的性质 3) 倒易球倒易球(多晶体倒易点阵多晶体倒易点阵) l 单晶体的倒易点阵是由三维空间规则排列的阵点所构成，单晶体的倒易点阵是由三维空间规则排列的阵点所构成， 它与相应正点阵属于相同晶系它与相应正点阵属于相同晶系 l 多晶体由无数取向不同的晶粒组成，其倒易点阵是由一系多晶体由无数取向不同的晶粒组成，其倒易点阵是由一系 列不同半径的同心球面而构成

27、列不同半径的同心球面而构成 l 多晶体同族多晶体同族hkl晶面的倒易矢量在三维空间任意分布，其晶面的倒易矢量在三维空间任意分布，其 端点的倒易阵点将落在以端点的倒易阵点将落在以O*为球心、以为球心、以 1/d hkl (ghkl)为半径为半径 的球面上的球面上 第二节 布拉格方程 30 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (二二) 爱瓦尔德图解爱瓦尔德图解 由由(2-11)式可得，式可得， (2-18) 此式即为此式即为倒易空间的衍射方程倒易空间的衍射方程 l 容易证明它与布拉格方程是等效的容易证明它与布拉格方程是等效的 l 当当(hkl)面发生衍射时，其倒易矢量面发生衍射时，其倒易矢量ghkl的的 倍等于入射线与倍等于入射线与 衍射线的单位矢量之差衍射线的单位矢量之差 k k l 矢量式矢量式(2-18)的几何图形表达形式，即为爱瓦尔德图解的几何图形表达形式，即为爱瓦尔德图解 第二节 布拉格方程 hkl g g k kk k 31 三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解三、倒易空间的衍射方程及爱瓦尔德图解 (二二) 爱瓦尔德图解爱瓦尔德图解 如图如图2-10，入射矢量的端点指向倒易原点，入射矢量的端点指向倒易原点O*，以入射方