1.1.1 锐角三角函数(第1课时)正切与坡度（课件）-2019-2020学年九年级数学下册同步精品课堂（北师版）(共53张PPT)

1、北师大版北师大版 数学九年级下册数学九年级下册 第1章 直角三角形的边角 关系 1.1 锐角的三角函数 第1课时 正切与坡度 1.1.经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边 与邻边的比值也随之确定的过程与邻边的比值也随之确定的过程, ,理解正切的意义理解正切的意义. . 2.2.能够用表示直角三角形中两边的比能够用表示直角三角形中两边的比, ,表示生活表示生活 中物体的倾斜程度中物体的倾斜程度, ,并能够用正切进行简单的计算并能够用正切进行简单的计算. . 重点：重点：理解锐角三角函数正切的意义理解锐角三角函数正切的意义, ,用正切表示用正切表示 倾斜程度

2、、坡度倾斜程度、坡度. . 难点：难点：从现实情境中理解正切的意义从现实情境中理解正切的意义. . 生活中的梯子生活中的梯子 导入新课导入新课 你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪你会比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪 些办法？些办法？ 应该如何来描述它的倾斜程度呢应该如何来描述它的倾斜程度呢? ? 梯子与地面的夹角梯子与地面的夹角 称为称为倾斜角倾斜角 从梯子的顶端从梯子的顶端a到墙角到墙角c的距离，的距离， 称为梯子的称为梯子的铅直高度铅直高度 从梯子的底端从梯子的底端b到墙角到墙角c的距离，的距离， 称为梯子的称为梯子的水平宽度水平宽度 a cb 正切的定义 相关概念 一 问题问题1:1:梯子

3、梯子abab和和cdcd哪个更陡？你是怎样判哪个更陡？你是怎样判 断的？你有几种判断办法？断的？你有几种判断办法？ 合作探究1 a bc d e f 倾斜角越大倾斜角越大梯子越陡梯子越陡 问题问题2:2:如图，梯子如图，梯子abab和和efef哪个更陡？你是哪个更陡？你是 怎样判断的？怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度当铅直高度一样，水平宽度越小越小，梯子，梯子越陡越陡 当水平宽度一样，铅直高度当水平宽度一样，铅直高度越大越大，梯子，梯子越陡越陡 甲甲 乙乙 问题问题3:3:如图，梯子如图，梯子abab和和efef哪个更陡？你是哪个更陡？你是 怎样判断的？怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度

4、的当铅直高度与水平宽度的比相等比相等时，梯子时，梯子一样陡一样陡 3m 6m d e f c 2m b 4m a 6m 2m 1m 4m 梯子梯子abab和和efef哪个更陡哪个更陡 ？你是怎样判断的？你是怎样判断的？ a b e f 更更 陡陡 合作探究2 5m 3m 1.5m 5m a b e 更更 陡陡 合作探究2 6m 2m 2m 5m a b e f 更更 陡陡 合作探究2 6m 3m 2m 4m a b e f 图图3 一一 样样 陡陡 合作探究2 6m 2m 1m 4m a b e f 图图4 更更 陡陡 合作探究2 问题问题4:4:你有几种方法比较你有几种方法比较梯子梯子aba

5、b和和efef哪个更陡？哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的当铅直高度与水平宽度的比比越大越大，梯子，梯子越陡越陡. 3m 2m 6m 5m a b cd e f 倾斜角倾斜角越大越大，梯子，梯子越陡越陡. 总结总结: :铅直高度与水平宽度铅直高度与水平宽度 的比和倾斜角的大小都可用的比和倾斜角的大小都可用 来判断梯子的倾斜程度来判断梯子的倾斜程度. . 判断梯子是否更陡，有如下方法： 1. 1.可以利用倾斜角的大小比较，可以利用倾斜角的大小比较， 倾斜角越大，梯子越陡倾斜角越大，梯子越陡. . 2. 2.可以利用倾斜角的对边与邻边可以利用倾斜角的对边与邻边 的比值大小来判断，比值越大，梯越陡的

6、比值大小来判断，比值越大，梯越陡. . 要点归纳 当倾斜角确定时，它的对边与邻边的比值当倾斜角确定时，它的对边与邻边的比值 也随之确定的，即：这个比值只与倾斜角的大也随之确定的，即：这个比值只与倾斜角的大 小有关，而与直角三角形的大小无关小有关，而与直角三角形的大小无关. . 要点归纳 w如图如图, ,小明想通过测量小明想通过测量b b1 1c c1 1及及 acac1 1, ,算出它们的比算出它们的比, ,来说明梯子来说明梯子 的倾斜程度的倾斜程度; ; w而小亮则认为而小亮则认为, ,通过测量通过测量b b2 2c c2 2及及 acac2 2, ,算出它们的比算出它们的比, ,也能说明梯

7、也能说明梯 子的倾斜程度子的倾斜程度. . w你同意小亮的看法吗你同意小亮的看法吗? ? 想一想 a b1 c1 c2 b2 (1)rtab1c1和和rtab2c2有什有什 么关系么关系? (2) 和和 有什么关系有什么关系? 1 11 ac cb 2 22 ac cb (3)如果改变点如果改变点b2在梯子上的在梯子上的 位置，这种关系还成立吗？位置，这种关系还成立吗？ rtab1c1 rtab2c2 1 11 2 22 ac cb ac cb 合作探究3 a b1 c1 c2 b2 (1)rtab1c1和和rtab2c2有什有什 么关系么关系? (2) 和和 有什么关系有什么关系? 1 11

8、 ac cb 2 22 ac cb (3)如果改变点如果改变点b2在梯子上的在梯子上的 位置，这种关系还成立吗？位置，这种关系还成立吗？ rtab1c1 rtab2c2 1 11 2 22 ac cb ac cb 合作探究3 a b1 c1 c2 b2 (1)rtab1c1和和rtab2c2有什有什 么关系么关系? (2) 和和 有什么关系有什么关系? 1 11 ac cb 2 22 ac cb (3)如果改变点如果改变点b2在梯子上的在梯子上的 位置，这种关系还成立吗？位置，这种关系还成立吗？ rtab1c1 rtab2c2 1 11 2 22 ac cb ac cb 合作探究3 a b1

9、c1 c2 b2 (1)rtab1c1和和rtab2c2有什有什 么关系么关系? (2) 和和 有什么关系有什么关系? 1 11 ac cb 2 22 ac cb (3)如果改变点如果改变点b2在梯子上的在梯子上的 位置，这种关系还成立吗？位置，这种关系还成立吗？ rtab1c1 rtab2c2 1 11 2 22 ac cb ac cb 合作探究3 a b1 c1 c2 b2 (1)rtab1c1和和rtab2c2有什有什 么关系么关系? (2) 和和 有什么关系有什么关系? 1 11 ac cb 2 22 ac cb (3)如果改变点如果改变点b2在梯子上的在梯子上的 位置，这种关系还成立

10、吗？位置，这种关系还成立吗？ rtab1c1 rtab2c2 1 11 2 22 ac cb ac cb a值不变的情况下，从值不变的情况下，从 任何位置测出的梯子的竖任何位置测出的梯子的竖 垂高度与水平宽度的垂高度与水平宽度的比值比值 一定一定 合作探究3 在在rtabc中中,如果锐角如果锐角a确定，那么确定，那么a的对边的对边 与邻边的比便随之确定，这个比叫做与邻边的比便随之确定，这个比叫做a的的正切正切,记作记作 tana,即即 a b c a的对边的对边 a的邻边的邻边 a a 的 对 边 的 邻 边 tana= 结论：结论：tana的值越大，梯子越陡的值越大，梯子越陡. 归纳总结 三

11、角测量在我国出现的很早据记载，早在 公元前两千年，大禹就利用三角形的边角关系， 来进行对山川地势的测量 三角函数的由来三角函数的由来 “三角学”一词，是由希腊文三角形与测量二 字构成的，原意是三角形的测量，也就是解三 角后来范围逐渐扩大，成为研究三角函数及其应 用的一个数学分支 知识链接 定义的几点说明：定义的几点说明： 1 1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， a a是是 一个锐角一个锐角. . 2 2） tanatana是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示a a的正切，记号的正切，记号 里习惯省去角的符号里习惯省去角的符号“”“”。

12、对于三个大写字母或者数对于三个大写字母或者数 字表示的角则不能省略角的符号字表示的角则不能省略角的符号. .所以所以bacbac的正切表示的正切表示 为为:tanbac,1:tanbac,1的正切表示为的正切表示为:tan1.:tan1. 3 3） tanatana0 0且且没有单位，它表示一个比值，即直角三没有单位，它表示一个比值，即直角三 角形中锐角角形中锐角a a的对边与邻边的比（注意顺序）的对边与邻边的比（注意顺序）. . 4 4）tanatana不表示不表示“tan”tan”乘以乘以“a ”.a ”. 5 5） tanatana的大小只与的大小只与a a的大小有关，而与直角三角形的大

13、小有关，而与直角三角形 的边长无关的边长无关 6 6）角相等）角相等, ,则正切值相等；两锐角的正切值相等则正切值相等；两锐角的正切值相等, ,则这则这 两个锐角相等两个锐角相等. . a b c 锐角锐角a的正切值可以等于的正切值可以等于1吗？为什么？可以吗？为什么？可以 大于大于1吗？吗？ 解：可以等于解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以，此时为等腰直角三角形；也可以 大于大于1，甚至可逼近于无穷大，甚至可逼近于无穷大. 议一议 例例1 1： 下图表示两个自动扶梯下图表示两个自动扶梯, ,哪一个自动扶梯哪一个自动扶梯 比较陡比较陡? ? 解解:甲梯中甲梯中, 6m 乙乙 8m 5m

14、 甲甲 13m 乙梯中乙梯中, . 12 5 513 5 tan 22 . 4 3 8 6 tan tantan,乙梯更陡乙梯更陡. 提示提示:在生活中在生活中, 常用一个锐角的常用一个锐角的 正切正切表示梯子的表示梯子的 倾斜程度倾斜程度. 典例精析 1. 1. 在在rtrtabcabc中，中，c=90c=90 ， ，ac=7ac=7，bc=5bc=5，则，则 tan a=_tan a=_，tan b =_tan b =_ 练一练 5 7 7 5 互余两锐角的正切值互为倒数互余两锐角的正切值互为倒数. . 2.下图中下图中acb=90，cdab,垂足为垂足为d.指出指出 a和和b的对边、邻边

15、的对边、邻边. a b c d (1) tana = = ac ( ) cd ( ) (2) tanb= = bc ( ) cd ( ) bc ad bd ac 4.如图如图,在在rtabc中中,锐角锐角a的对边和邻边同时扩大的对边和邻边同时扩大 100倍倍,tana的值（的值（ ） a.扩大扩大100倍倍 b.缩小缩小100倍倍 c.不变不变 d.不能确定不能确定 a b c c 3.已知已知a,b为锐角，为锐角， (1)若若a=b,则则tana tanb; (2)若若tana=tanb,则则a b. = = 正切通常也用来描述山坡的坡度正切通常也用来描述山坡的坡度. . 坡度、坡角二 w例

16、如，例如，有一山坡在水平方向上每前进有一山坡在水平方向上每前进100m就升高就升高 60m,那么山坡的那么山坡的坡度坡度(即即tan)就是就是: 坡角坡角：坡面与水平面的夹角：坡面与水平面的夹角称为称为坡角坡角； 坡度（坡比）坡度（坡比）：坡面的铅直高度与水平宽度的比称：坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为为坡度坡度(或坡比或坡比),即即坡度等于坡角的正切坡度等于坡角的正切. 603 tan. 1005 100m 60m 概念学习 坡度越大，坡角越大，坡面就越陡坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 例例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡如图所示，梯形护坡石坝的斜坡ab的坡度为的坡度为 1 3，坝高，坝

17、高bc2米，则斜坡米，则斜坡ab的长是的长是() 解析：解析：acb90，坡度为，坡度为1 3， 1 . 3 bc ac 6 . d54 c. 102 b.52 a. b 22 3642 10.abacbc 方法总结方法总结:理解坡度的概念是解决与坡度有关的计理解坡度的概念是解决与坡度有关的计 算题的关键算题的关键 bc2米，米，ac3bc326(米米) 如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，p(x,y)是第一象限内是第一象限内 直线直线y=-x+6上的点上的点, 点点a(5,0)，o是坐标原点，是坐标原点，pao 的面积为的面积为s. （1）求）求s与与x的函数关系式；的函数关

18、系式； （2）当）当s=10时时,求求tanpao 的值的值. m 能力提升 解：解：(1)过点过点p作作pmoa于点于点m， 15 . 22 soapm=y （2）当）当s=10时时,求求tanpao 的值的值. m 解：解： 5 10, 2 sy=q 4.y= 又又点点p在直线在直线y=-x+6上，上， x=2. am=oa-om=5-2=3. 4 tan. 3 pm pao am w1.1.如图如图, ,abcabc是等腰直角三角形是等腰直角三角形, ,你能你能 根据图中所给数据求出根据图中所给数据求出tanctanc吗？吗？ w2.2.如图如图, ,某人从山脚下的点某人从山脚下的点a

19、a走了走了200m200m后到达山顶的点后到达山顶的点b.b. 已知山顶已知山顶b b到山脚下的垂直距离是到山脚下的垂直距离是55m,55m,求山坡的坡度求山坡的坡度( (结结 果精确到果精确到0.001m).0.001m). 1.5 a b cd a b c . 1 5 . 1 5 . 1 tan dc bd c .862 . 0 55200 55 tan 22 ai 随堂练习 w1.1.判断正误判断正误 (1).(1).如图如图 (1)(1)( ). ( ). ac bc a tan (2).(2).如图如图 (2)(2)( ). ( ). bc ac a tan (3).(3).如图如图

20、 (2)(2)( ). ( ). ab bc a tan (4).(4).如图如图 (2)(2)( ). ( ). 7 10 tanb (5).(5).如图如图 (2)(2)( ). ( ). ma7.0tan (6).(6).如图如图 (2)(2) ( ). ( ). 7.0tan7.0tan ,7.0tan aa a 或 当堂练习当堂练习 a b c (1) a b c 7m 10m (2) b c a (1)在在rtabc中中c=90，bc=5, ac=12,tana=( ). (2)在在rtabc中中c=90，bc=5, ab=13,tana=( ),tanb=( ). (3)在在rt

21、abc中中c=90，bc=5,tana= , ac=( ). 4 3 2.完成下列填空：完成下列填空： 5 12 5 12 12 5 20 3 w3.3.如图如图, c=90, c=90cdab.cdab. w4.4.在上图中在上图中, ,若若bd=6,cd=12.bd=6,cd=12.求求tanatana的值的值. . a c bd .tanb ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cd db ac bc ad cd . 2 1 12 6 tantan dc bd bcda w8.8.如图如图, ,分别根据图分别根据图(1)(1)和图和图 (2)(2)求求tanatana的值的值.

22、 . w老师提示老师提示: : w求锐角三角函数时求锐角三角函数时, ,勾股定理的运用是很重要的勾股定理的运用是很重要的. . ac b 3 4 ac b 3 4 (1)(2) . 4 3 tan1 ac bc a . 7 73 7 3 34 3 tan2 22 ac bc a bc a 3 6 (1) . 3 3 33 3 36 tan1 22 ac bc a . 3 3 33 3 36 3 tan 22 bc ac b w5.5.在在rtrtabcabc中中, ,c=90c=90, , w(1)(1)如图如图(1),ac=3,ab=6,(1),ac=3,ab=6,求求tanatana和和t

23、anb;tanb; w5.5.在在rtrtabcabc中中, ,c=90c=90, , w(2)(2)如图如图(2),bc=3,tana= ,(2),bc=3,tana= ,求求acac和和ab.ab. ac b 3 (2) 12 5 , 3, 12 5 tan2bc ac bc a , 12 53 ac . 5 36 5 123 ac . 5 39 3 5 36 2 2 22 bcacab 6.如图，在边长为如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的小正方形组成的网格中， abc的三个顶点均在格点上，则的三个顶点均在格点上，则tana= （ ） a. b. c. d. 5 3 5 4 4 3

24、 3 4 d 这个图呢？这个图呢？ 7.如图如图,p是是 的边的边 oa 上一点，点上一点，点 p的坐标为的坐标为 ，则，则 =_. 12,5tan m 记得构造直角三角形哦！记得构造直角三角形哦！ 5 12 8.在等腰在等腰abc中中, ab=ac=13, bc=10,求求tanb. 提示提示:过点过点a作作ad垂直于垂直于bc于点于点d. 求锐角三角函数时求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的勾股定理的运用是很重要的. a c b d 解：如图，过点解：如图，过点a作作adbc于点于点d， 在在rtabd中，中， 易知易知bd=5，ad=12. 6.在rtabc中,c=90, ab=1

25、5,tana= ,求ac和bc. 4 3 4k ac b 15 3k 9.如图如图,正方形正方形abcd的边长为的边长为4,点点n在在bc上上,m、n两两 点关于对角线点关于对角线ac对称对称, 若若dm=1，求，求tanadn的值的值. ad b n m c 解：由正方形的性质可知，解：由正方形的性质可知， adn=dnc，bc=dc=4， 4 tantan. 3 dc adndnc nc m、n两点关于对角线两点关于对角线ac对称对称, bn=dm=1. w10.10.在在rtrtabcabc中中,c=90,c=90,ab=15,tana= ,ab=15,tana= , w求求acac和和bc.bc. 4 3 4k ac b 15 4 3 tan,: ac bc a如图解 .1543 2 22 kk .22525 2 k . 3k .12344, 9333kackbc 3 k . 4 3 k k w11. 11. 在在rtrtabcabc中中,c=90,c=90. .