工程数学(本)期末复习

1、工程数学（本）期末复习指导第一部分课程考试的有关说明（一） 考核对象中央广播电视大学理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。（二）命题依据本课程的命题依据是中央广播电视大学工程数学（本）课程教学大纲要求。内容包括线性代数和概率论与数理统计两部分。教材是由李林曙等编大学数学- 线性代数，大学数学 - 概率论与数理统计（均由中央广播电视大学出版社出版）。( 三 ) 命题原则 本课程的考试命题在教学大纲规定的教学目的、教学要求和教学内容的范围之内。( 四 ) 试题类型及结构1、期末考试题型：试题类型分为单项选择题、填空题和解答题单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出

2、一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题、应用题或证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15，解答题 702、考核形式 : 闭卷笔试，考试时不得携带除书写用具以外的任何工具3、答题时限 : 期末考试的答题时限为90 分钟。第二部分题型讲解(一 ) 单项选择题应试单项选择题是电大考试的常见题型，尤其是注册视听生的考试，单项选择题占40，所以，认识，学会解单项选择题是挺重要的单项选择题的特点是题量大，知识的覆盖面宽，信息量多，答案也告诉了大家，应试时间短目的是考核同学的基本概念、基本的知识和极

3、简单的计算的掌握程度和熟练程度常用方法有1. 直接推导法 就是按照题目的已知条件或结论，采用常规的解题程序，运用概念、定理、法则等，经过分析或计算，得出正确结果，推出正确选项如12312462矩阵A 0 242的秩是 ()(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3求矩阵的秩，就是将矩阵化为阶梯形矩阵，数一数有几个非0 行容易看出，矩阵的第 1 行的 ( 2)倍加到第2 行上，第2 行变为0 行，可见矩阵的阶梯形有2 个非 0 行故选项（ C）正确2. 排除法 （筛选法或淘汰法）由已知条件和选项，通过观测、分析或简单计算，把不可能成立的选项排除，剩下的选项为应选的选项排除法有完全排除法和部分

4、排除法而常用的是部分排除法，缩小选择范围，再配合其它方法如某商品的需求弹性为Ep bp(b0)那么当价格p 提高1时，需求量将会( )减少bp (B)增加bp (C)增加bp% (D)减少bp%需求弹性是需求量的相对变化和价格的相对变化比的极限，带负号而实际意义也是价格提高，需求量会减少故增加的两个选项应该排除，在选项(A) 和 (D) 中选一又需求弹性是两个相对量的比，因此，当价格 p 提高 1时，需求量的减少量也应是百分比选项 (A) 被排除，选项（D）正确3. 验证法把所给选项的结果，一一代入题设条件进行验证，或验算已知条件是否满足选项，从而得到正确选项如22 x dx积分 ()1 2

5、2x 1C1 22 xC(A) 22x C(B) ln 2(C) ln 2 2 2x 1C (D) ln 2因为只有 ex的导数或积分才是ex(+C) ，现在的指数底是“ 2，”故选项 (A) 排除将选项1 22 x 1 ( 2 ln 2) 22 x(B) 求导，得 ln 2，可见应该选(B) 线性方程组部分的单项选择题，判断选项是不是解，用验证法也较好单项选择题在考试中占有较大比例，也的确是，单项选择题看来很简单，只有 2 分，但是解题的方法很多要求大家对单项选择题引起足够的重视(二 ) 填空题应试填空题也是考核同学们的基本概念、基本理论和基本计算的掌握程度填空题的解题方式比较单纯，一般采用

6、直接思考的方法填空题相当一个命题，要么填条件，要么填结论，当然，也可能填写中间某个过程要求大家记好定义、定理、公式、法则以及重要结论等如曲线y=x3 2x+1在点 (0， 1)处的切线的斜率切线斜率即导数的几何意义故先求导数，再将值代入导数y 3x2 2，当x=0时， y2曲线y=x3 2x+1在点 (0， 1)处的切线的斜率是 2这是个简单计算题，当然填空题与概念密切相关(三 ) 计算题应试计算题是电大考试的重要题型，计算题的分数所占比重也比较大它主要考核同学的基本的运算能力和速度这就需要大家多做习题，提高自己的计算能力当然，在做计算题的过程中，概念清楚、定理和公式记熟是很重要的计算题主要集

7、中在(1) 求逆矩阵的初等行变换法;(2)求正态总体期望的置信区间的方法(3)掌握用配方法化二次型为标准形的方法；(4) 概率计算( 事件的概率，随机变量取值的概率和正态分布的概率和期望、方差的计算)；(5)矩阵的计算（加法、数乘、乘法、转置、求逆矩阵、求秩等）；(6) 求解线性方程组（线性方程组解的情况判别、求线性方程组的一般解）我们学习了四编的内容，各编的计算题都有自己的特点和解题方法辅教材中 “跟我学解题 ”的 分析 、 归纳 基本上是对习题特点的分析和解题方法小结另外，附录的 “解题方法和应答分析”对解题方法做了一些归纳，大家应该认真阅读(四 ) 应用题应试应用题主要考核同学运用所学的

8、概念、理论、公式和法则，分析和解决实际问题的能力应用题主要指数理统计基础部分的应用题：如求正态总体期望的置信区间的方法，求单正态总体均值的检验方法，作单正态总体方差的检验等；应用题带有综合性，前边讲过的知识和解题方法，都应该是做应用题的前提，把它们掌握好(五 ) 证明题应试证明题考核同学运用概念、性质、定理及重要结论等进行论证和逻辑推理的能力我们这课所涉及的主要证明题方面有：1. 事件独立性， 随机变量期望、 方差的有关证明； 2. 矩阵可逆、可交换，特殊矩阵的证明；3. 线性方程组解的证明.证题方法一般有二：其一：是验证由计算结果，代入看是否满足等式其实是计算题如给定函数，验证函数的导数满足

9、某等式其二，由已知条件出发，分析、推断，最后得到结论；或由结论入手，经过分析，运用已知条件，推出所求结论写出证明过程证明题常常遇见证明“充分必要条件 ”的问题，必要条件是某结论成立必须具备的条件，但不是充分的；充分条件是某结论的完备条件，即此条件成立，则结论必成立如期末考试，“参加考试 ”是 “考试通过 ”的必要条件，要想“考试通过 ”就必须参加考试，但参加考试，不一定就能通过“得 100 分 ”是 “考试通过 ”的充分条件 但 “考试通过 ”不一定必须得 100 分“考试通过 ”的充分必要条件是“得 60 分”任何一门学科，解决问题的方法一般没有一成不变的固定方法题目类型五花八门，解题方法也

10、是各式各样学习方法不能靠记下来，一劳永逸而是理解实质，要掌握好各种解题方法，唯一方法是多做练习，不断总结，增强记忆第三部分 复习重点及例题重点 ：掌握利用性质计算行列式的方法；熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法；熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性；熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法；掌握用配方法化二次型为标准形的方法；熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式；熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差；会参数的矩估计法，掌握参数的最大似然估计法；熟练掌握求正态总

11、体期望的置信区间的方法；熟练掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验；例题 :一、单项选择题设 A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( )1A C ABAB11B AB 1A 1B 1BA1A1B1D A 1B 1A 1B 1正确答案： Ax1x2a12 方程组x2x3a2 相容的充分必要条件是( )，其中 ai0 ， (i 1, 2, 3) x1x3a3A a1a2a30B a1a2a30C a1a2a30D a1 a2a30正确答案： B3 设矩阵A110，2，则 3A 的特征值为 ( )11的特征值为A 0，2B0，6 C0，0D 2，6正确答案： B4.设 A， B

12、是两事件，则下列等式中（）是不正确的A.P( AB)P( A)P( B)，其中，相互独立A BB.P( AB)P(B)P( A B) ，其中 P(B)0C.P( AB)P( A)P( B) ，其中 A， B 互不相容D.P( AB)P( A)P(B A) ，其中 P( A)0正确答案： C5若随机变量 X 与 Y 相互独立，则方差D(2 X3Y) =（）A 2D(X)3D (Y)B 2D(X)3D (Y)C 4D(X)9D (Y)D 4D(X)9D(Y)正确答案： D6设 A是 m n 矩阵， B 是 st 矩阵，且 AC B 有意义，则 C 是 ( )矩阵A n sB s nC m tD t

13、 m正确答案： B7若 X 、 X 是线性方程组AX=B的解，而1、 2 是方程组 AX = O的解，则（）12是 AX=B 的解A1X12 X 2B 1122C X1X2 D X1X 23333正确答案： A3118设矩阵 A201，则 A的对应于特征值2的一个特征向量=()1121110A 0B 0C 1D 01101正确答案：C9.下列事件运算关系正确的是（）ABBABAB BBABACBBAB AD B1B正确答案： A10若随机变量X N ( 0,1) ，则随机变量 Y3X2 （）A N (2,3)B N (4,3)C N (4,32 )D N (2,32 )正确答案： D11设 x

14、1 , x2 , x3 是来自正态总体N (,2 ) 的样本，则（）是的无偏估计A 2x12x22x3B x1x2x3555C 1x11x23x31x111x3555D 55 x25正确答案： C12对给定的正态总体N (,2 ) 的一个样本 ( x1, x2 , xn ) ，2 未知，求的置信区间，选用的样本函数服从（）A 2 分布B t分布C指数分布D 正态分布正确答案： B二、填空题1121设 f ( x)11x22 ，则 f ( x)0的根是2x214应该填写： 1,1,2,22设向量可由向量组1,2 ,n 线性表示，则表示方法唯一的充分必要条件是1 ,2 , n应该填写：线性无关3若

15、事件，B满足AB，则P（A-） =AB应该填写： P( A)P( B)k4设随机变量的概率密度函数为f (x)1x 2 , 0x 1，则常数 k0 ,其它=应该填写： 45若样本 x1, x2 , xn1n来自总体 X N (0, 1) ，且 xxi ，则 x n i 1应该填写： N(0, 1)n3866行列式 512 的元素 a21 的代数余子式A21 的值为 =107应该填写 -567设三阶矩阵A 的行列式 A1，则A1=2应该填写： 22008 若向量组： 11， 23， 303一个基，则数 k，能构成 R21k2应该填写： 29设 4 元线性方程组AX=B 有解且 r （ A）=1，

16、那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有个解向量应该填写： 310 设 A , B 互不相容，且 P( A)0 ，则 P(B A)应该填写： 011 若随机变量 X U0 , 2 ，则 D(X)应该填写： 1312 设 ?是未知参数的一个估计， 且满足 E( ?)，则 ?称为的估计应该填写：无偏三、计算题2311231设矩阵 A011, B112001012，求：（ 1） AB ；（2） A 1231解：（ 1）因为 A011200112301111B112112110120122所以ABA B2 231100（ 2）因为AI01101000100123010 11001/2 3/210

17、100110100110010010010011/ 23 / 21所以A 1011001x13x23x32x4x502求齐次线性方程组2x16x2 9x35x43x50 的通解x13x23x32 x501332113321解： A=26953003111330200623133211301000311003100000100001x13x2 x4一般解为x31x4，其中 x ， x是自由元324x50令 x2= 1， x= 0，得X=(3, 1, 0, 0, 0)；41x= 0 ， x4= 3，得X=(3, 0, 1, 3, 0)22所以原方程组的一个基础解系为X1，X2 原方程组的通解为：k

18、1 X 1k2 X 2 ，其中 k1， k2是任意常数3设随机变量 X N(4,1)（1）求 P( X42)；（ 2）若 P( Xk) 0.9332 ，求 k 的值（已知(2)0.9775,(1)0.8413,(1.5) 0.9332 ）解：（ 1） P( X42) 1 P( X42)= 1 P( 2 X 4 2)1（ (2)( 2)）= 2（ 1(2) ） 0.045 （ 2） P( X k) P( X 4 k 4)1 P(X4k4) 1(k4)0.9332(1.5)(k4)1(1.5)( 1.5)即k 4 = -1.5， k 2.5 4某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，

19、且其平均长度为 10.5cm，标准差为0.15cm. 从一批产品中随机地抽取4 段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm）10.4 ，10.6 ， 10.1 ，10.4问：该机工作是否正常(0.05, u0.9751.96 ) ？解：零假设 H 0:10.5 . 由于已知0.15，故选取样本函数xU N (0,1)n经计算得 x 10.375 ，0.150.075 ，n4x10.37510.50.0751.67n由已知条件 u1.96 ，且x1.671.96112n2故接受零假设，即该机工作正常.010115已知矩阵方程XAXB，其中 A111， B20，求X10353解：因为 (IA) XB

20、 ，且110100110100(I AI)1 010100 111 1 0102001012101101010100021011110010121001011001011021即 ( IA) 11210110211113所以 X (I A)1B1 21 2 02 4 01153336设向量组1(1， 2，4,1) ，2(，16, 4)，3(，5, 2)，4 83 14 (2，3，1, 1) ，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组解：因为1432（ 12281334） =16514142114321432005700110077000200110000所以， r ( 1 , 2,3 ,4)

21、=3 它的一个极大线性无关组是1 ,3 ,4（或2, 3 ,4 ）x13x22x307设齐次线性方程组2x15x23x30 ，为何值时方程组有非零解？在有非零3x18x2x30解时，求出通解解：因为132132101A =25 30 110 1138016005当 5 0 即5 时， r ( A) 3，所以方程组有非零解方程组的一般解为：x1x3，其中 x3 为自由元x2x3令 x3 =1 得 X1= (1, 1, 1)，则方程组的基础解系为X1通解为 k1X1，其中 k1 为任意常数8 罐中有 12 颗围棋子，其中8 颗白子， 4 颗黑子若从中任取3 颗，求：（ 1）取到3 颗棋子中至少有一

22、颗黑子的概率；（2）取到3 颗棋子颜色相同的概率解：设 A1 =“取到3 颗棋子中至少有一颗黑子”，A2 =“取到的都是白子”， A3 =“取到的都是黑子”， B = “取到 3 颗棋子颜色相同”，则（1） P(A1) 1P(A1) 1P(A2 )1C8310.2550.745C123（ 2） P(B) P(A2A3 )P(A2)P( A3)C430.2550.0180.273 0.255C1239 设随机变量 X N（ 3，4）求：（ 1） P（ 1 X 7 ）；（ 2）使 P（ X a） =0.9成立的常数 a (1.0)0.8413，(1.28) 0.9 ，(2.0) 0.9973 ) 解：（1）P（1 X 7 ）=P(1 3 X 3 7 3)222=P(X32) = (2)(1)12= 0.9973 + 0.8413 1 =