高中数学题库—一元二次不等式及其解法

1、精品文档（ 2017 河南平顶山高二期末） 9已知一元二次不等式f（ x） 0 的解集为 x| x 1 或 x ，则 f（ 10x） 0 的解集为（）A x| x 1 或 x lg2B x| 1 x lg2C x| x lg2D x| x lg2【考点】 7E：其他不等式的解法； 74：一元二次不等式的解法【分析】 由题意可得f（10x） 0 等价于 110x，由指数函数的单调性可得解集【解答】 解：由题意可知 f（ x） 0 的解集为 x| 1x ，故可得 f（10x） 0 等价于 110x，由指数函数的值域为（ 0，+）一定有 10x 1，而 10x可化为 10x，即 10x10 lg2，

2、由指数函数的单调性可知：x lg2故选： D（ 2017 山东济南一中高二期中）19不等式 | 2x| 3 的解集是 x| x5 或 x1【考点】 R5：绝对值不等式的解法【分析】 通过讨论 2x 的范围，去掉绝对值号，求出x 的范围即可【解答】 解： | 2x| 3， 2 x3 或 2x 3，解得： x 1 或 x5，故不等式的解集是 x| x 5 或 x 1 ，故答案为： x| x 5 或 x 1 （ 2017 山东济南一中高二期中）17不等式的解集是 x| x3 或 x 【考点】 7E：其他不等式的解法【分析】 首先将分式不等式等价转化为整式不等式，然后解之【解答】 解：原不等式移项整理

3、得，即（ 2x 1）（x3） 0，.精品文档解得 x3 或者 x，所以不等式的解集为 x| x3 或 x ；故答案为：x x 3或 x； |（ 2017河北保定高二期中）11若关于 x 的不等式 x2 ax 2 0在区间1，5+上有解，则实数 a 的取值范围为（）A（， ）B， 1C（ 1， ）D（， 1）+【考点】 74：一元二次不等式的解法【分析】 利用分离常数法得出不等式ax 在 x1，5上成立，根据函数 f（ x）=x 在 x 1， 5 上的单调性，求出a 的取值范围【解答】 解：关于 x 的不等式 x2+ax 2 0 在区间 1，5 上有解， ax2x2 在 x 1，5 上有解，即

4、a x 在 x 1，5 上成立；设函数 f（x）= x，x 1， 5 ， f （ x）= 10 恒成立， f（x）在 x 1，5 上是单调减函数，且 f（ x）的值域为 ，1 ，要a x 在 x1，5上有解，则 a，即实数 a 的取值范围为（，+）故选： A（ 2017 山东济南一中高二期中）9若 0 a 1，则不等式（ ax）（x） 0的解集是（）A xaxB x|xaC x x 或 x aD x x 或 x | | | a【考点】 74：一元二次不等式的解法【分析】 先将不等式（ ax）（x） 0 化为（ xa）（x） 0，判断出两.精品文档个根的大小，据二次不等式的解集的形式写出解集【解

5、答】 解：不等式（ ax）（x） 0 同解于（ xa）（x） 0，因为 0a1，所以，所以不等式的解集为 x| ax故选 A（ 2017 宁夏银川一中高二期中）14若不等式 | 3xb| 4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则 b 的取值范围5 b 7【考点】 R5：绝对值不等式的解法【分析】首先分析题目已知不等式 | 3x b| 4 的解集中的整数有且仅有1，2，3，求 b 的取值范围，考虑到先根据绝对值不等式的解法解出| 3x b| 4 含有参数 b的解，使得解中只有整数1，2，3，即限定左边大于0 小于 1，右边大于 3 小于4即可得到答案【解答】 解：因为，又由已知解集中的整数有且

6、仅有1，2，3，故有故答案为 5b7【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法问题， 题目涵盖知识点少， 计算量小，属于基础题型对于此类基础考点在高考中属于得分内容，同学们一定要掌握（ 2017 河北保定高二期中） 1集合 A= yy=，B= xx2x20，则 A | |B=（）A 2，+）B 0，1C 1，2D 0，2【考点】 1E：交集及其运算【分析】求出 A 中 y 的范围确定出 A，求出 B 中不等式的解集确定出B，找出两.精品文档集合的交集即可【解答】 解：由 A 中 y=0，得到 A= 0，+），由 B 中不等式变形得：（x2）（ x+1） 0，解得： 1 x2，即 B= 1，2 ，则

7、 AB= 0，2 ，故选： D（2017四川成都外国语学校高二期中）1不等式|x12 的解集是（）|A（， 1） B（， 1）C（ 1，3） D（，1）（3，+）【考点】 R5：绝对值不等式的解法【分析】 解不等式，求出不等式的解集即可【解答】 解： | x1| 2， 2x 1 2， 1x 3，故不等式的解集是（ 1，3），故选： C【点评】 本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题（ 2017 江西景德镇一中高二期中） 15如果存在实数 x 使不等式 | x+3| | x1| a25a 成立，则实数 a 的取值范围为 （， 1 4，+） 【考点】 R5：绝对值不等式的解法【分析】 依题意，

8、 a25a（ | x+3| | x1| ）min，利用三角绝对值不等式不等式可得 | x+3| | x1| | （x+3）（ x 1）| =4，从而解不等式 a2 5a4 即可求得答案【解答】 解：存在实数 x 使不等式 | x+3| | x1| a25a 成立， a25a（ | x+3| | x1| ） min， | x+3| | x 1| | （ x+3）（ x1）| = 4，即（ | x+3| | x1| ）min=4， a25a 4，解得： a4 或 a 1，.精品文档实数 a 的取值范围为（，1 4，+）故答案为：（， 1 4， +）（ 2017山东临沂市临沭一中高二期中）15已知函

9、数 f（x）=x| x 2| ，则不等式的解集为 1，）+【考点】 3O：函数的图象【分析】 化简函数 f （x），根据函数 f（ x）的单调性，解不等式即可【解答】 解：当 x2 时， f（x）=x| x2| =x（x2）=x2+2x=（ x1）2+1 1，当 x2 时， f（x）=x| x2| =x（x 2） =x2 2x=（x 1） 2 1，此时函数单调递增由 f（ x）=（x1）21=1，解得 x=1+ 由图象可以要使不等式成立，则，即 x 1，不等式的解集为 1， ）+故答案为： 1，+）（ 2017 湖北黄冈高二期末下） 11若不等式 x2 ax+a 0 在（1，+）上恒成立，则实

10、数 a 的取值范围是（）A 0，4B 4，+）C（， 4） D（， 4【考点】 3W：二次函数的性质.精品文档【分析】 将不等式 x2 ax+a0 在（ 1，+）上恒成立转化为 a在（ 1，+）上恒成立，运用基本不等式求出的最小值即可【解答】 解：不等式 x2ax+a0 在（ 1，+）上恒成立，a在（ 1， ）上恒成立，即 a，+=（ x 1） +22+2=4，当且仅当 x=2 时，取得最小值 4 a=4故选： C（ 2017 山东临沂市临沭一中高二期中）12在 R 上定义运算：，若不等式对任意实数 x 成立，则实数a 的最大值为（）ABCD【考点】 74：一元二次不等式的解法【分析】 依定义

11、将不等式变为 x2 x（ a2a 2） 1，整理得x2 x+1 a2a，对任意实数 x 成立，令（ x2 x+1）mina2 a，解出 a 的范围即可求出其最大值【解答】 解：由定义知不等式变为 x2 x（ a2a2） 1， x2x+1a2 a，对任意实数 x 成立， x2x+1= a2a解得 a则实数 a 的最大值为故应选 D（ 2017 山东临沂市临沭一中高二期中）14已知函f（ x）=，f.精品文档（ x0） 3，x0 的取值范围是 （8，+） 【考点】 7E：其他不等式的解法【分析】由题意，对 x 的范围分类，分别解不等式 f（ x0）3，求出表达式的解，可得 f （x0） 3，则 x

12、0 的取值范围【解答】 解：当 x 0 时，可得此时不等式无解，当 x0 时， log2x03，解得 x0 8，分析可得，f（x0） 3，则 x0 的取值范围是：（8，+）故答案为：（ 8， +）（ 2017 江苏苏州高一期末上）11f （x）=x2，若对任意的 x t ，t+2 ，不等式f（ x+t） 2f（ x）恒成立，则实数 t 的取值范围是（， ，+） 【考点】 函数恒成立问题【分析】 问题转化为 | x+t| |x| 在 t， t+2恒成立，去掉绝对值，得到关于 t的不等式，求出 t 的范围即可【解答】 解： f（x） =x2， x t ，t+2 ，不等式f（x t ） 2f（x）=

13、f（x）在t，t 2恒成立，+x t|x在t ，t2恒成立，即| +|+ 即：x（ 1）t 在t，t2恒成立，+ 或 x（ 1）t 在 t， t+2 恒成立，解得： t 或 t ，故答案为：（， ，+）（ 2017 浙江金华东阳中学高一期中） 10已知函数 f（x）=（xt ）| x| （t R），若存在 t（ 0， 2），对于任意 x 1， 2 ，不等式 f（x） x+a 都成立，则实数 a 的取值范围是（）ABa0CDa2【考点】 3R：函数恒成立问题【分析】写出分段函数解析式，构造函数g（x）=f（x） x，分类求其值域，把存在 t （ 0，2），对于任意 x 1，2 ，不等式 f（x）

14、 x+a 都成立，转化为.精品文档存在 t （ 0，2），使得，则答案可求【解答】 解： f（x） =（ x t）| x| =，令 g（x） =f（x） x=当 x 1， 0 时， g（ x）的最小值为 g（ 1） = t；当 x（ 0，2 时，（ 0，2）， g（ x）的最小值为 g（）=若存在 t（ 0，2），对于任意 x 1，2 ，不等式 f（ x） x+a 都成立，故只需存在 t （ 0，2），使得，即，实数 a 的取值范围是a故选： A（ 2017浙江金华东阳中学高一期中） 15不等式 x22ax 8a2 0 的解集为（x1，x2），且x2x1=15，则 a=或【考点】 74：一元二

15、次不等式的解法【分析】根据不等式的解集可得x22ax8a2=0 的两个根为 x1，x2，利用根与系数的关系建立等式，解之即可【解答】 解：由不等式 x22ax8a20 的解集为（ x1，x2）， x22ax8a2=0 的两个根分别为 x1 ，x2，由韦达定理： x1+x2=2a，x1?x2= 8a2 x2x1=15，由（ x2x1） 2=（x1+x2）2 4x1?x2，可得： 225=4a2+32a2.精品文档解得： a= 或故答案为：或（ 2017 江苏南京高一期末） 5不等式的解集是x 2 x1 |【考点】 7E：其他不等式的解法【分析】由方程化为 x1 与 x+2 的乘积为负数，得到 x

16、1 与 x+2 异号，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集【解答】 解：方程化为（ x 1）（x+2） 0，即或，解得： 2x1，则不等式的解集为 x| 2x 1 故答案为： x| 2x1（ 2017 浙江台州高一期末） 4若关于 x 的不等式 x2+mx 0 的解集为 x| 0 x2 ，则实数 m 的值为（）A 2 B1 C0D2【考点】 74：一元二次不等式的解法【分析】 根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求得m 的值【解答】 解：关于 x 的不等式 x2+mx0 的解集为 x| 0x2 ，不等式 x2+mx=0 的实数根为

17、0 和 2，由根与系数的关系得m=（ 0+2）=2故选： A（ 2017 浙江台州高一期末） 9若不等式x 11|a 有解，则实数 a 的取| +|+|值范围是（）Aa2Ba2Ca1Da1【考点】 R4：绝对值三角不等式.精品文档【分析】 令 f （x） =| x+1|+|1| ，通过讨论 a 的范围，求出f（x）的最小值，问题转化为 af（x） min，求出 a 的范围即可【解答】 解：令 f（ x）= x 11，| +|+| x1 时， f （x） =x+2 ，f （x）=1+0，f （x）在 1， +）递增，故 f（ x）min =f（1）=2， 0 x1 时， f （x） =x+ ，f

18、 （x）=0，故 f（ x）在（ 0，1）递减，f（x） f（1）=2， 1x 0 时， f （x）=x+2，f （x）=1+0，f （x）在（ 1， 0）递增，f（x） f（ 1）=2， x 1 时， f （x）=x，f （x）=1+ 0，f （x）在（， 1 递减，f（x） f（ 1）=2，综上， f（x）的最小值是 2，x 11a 有解，若不等式 | + |+|即 af（ x）min ，故 a2，故选： A（ 2017 浙江温州高一期末） 7不等式 1 的解集为（）A x| 1 x0B x| x 1C x| x 1D x| x0【考点】 7E：其他不等式的解法.精品文档【分析】 首先移项

19、通分，等价变形为整式不等式解之【解答】 解：原不等式等价于 0，即 x（x+1） 0，所以不等式的解集是（ 1， 0）；故选： A（ 2017 浙江温州高一期末）18若存在 x R，使不等式 | x1|+| xa| a2a成立，则实数 a 的取值范围（）Aa1Ba 1 Ca 1 或 a1 D 1a1【考点】 R5：绝对值不等式的解法【分析】 根据绝对值的意义得到关于a 的不等式|1 a a2 a，通过讨论 a 的|范围，求出 a 的范围即可【解答】 解： | x a|+| x1| 在数轴上表示到a 和 1 的距离之和，显然最小距离和就是a 到 1 的距离， | 1a| a2a， a 1 时，

20、a1a2a，即 a22a+10，成立； a 1 时， 1aa2a，解得： a1（舍）或 a 1，综上， a 1 或 a1，故选： C（ 2017 重庆九校高一联考） 8已知 a1 a2 a31，则使得（ i=1， 2， 3）都成立的 x 的取值范围是（）ABCD【考点】 8K：数列与不等式的综合【分析】 由 ai1，得? （ ai x+1）（x+ai） 0，? x ，或 x a3由 a1 2 3 ，? x或x 3aa1a.精品文档【解答】 解： ai ，1? （ ai x+1）（x+ai） 0，? x ，或 x a3又因为 a1 2 3 ，a a 1? x或 x a3故选： B（ 2017 安

21、徽巢湖高一月考） 13若不等式 x2ax+b0 的解集为 x| x2 或 x 3 ，则 a+b= 11 【考点】 74：一元二次不等式的解法【分析】不等式 x2ax+b0 的解集为 x| x2 或 x 3 ，故 3，2 是方程 x2ax+b=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b 可得【解答】 解：由题意不等式 x2 ax+b 0 的解集为 x| x 2 或 x3 ，故 3，2 是方程 x2 ax+b=0 的两个根， 3+2=a，32=b a=5，b=6 a+b=5+6=11故答案为： 11；（ 2017 安徽巢湖高一月考） 17已知函数 f（x）=ax2+ax 1，其中 a R（ ）当 a=

22、2 时，解不等式 f（x） 0；（ ）若不等式 f（ x） 0 的解集为 R，求实数 a 的取值范围【考点】 74：一元二次不等式的解法【分析】（ ）根据一元二次不等式和一元二次方程的根的关系即可求出（ ）当 a=0 时，直接验证；当a0 时，可得则，解得 a 即可，【解答】 解：（）当 a=2 时， f（ x） =2x2+2x1，.精品文档 f（x）=2x2+2x 1=0 的两个根为，和，不等式 f（ x） 0 的解集为；（ ）当 a=0 时， 10 成立，故解集为R，当 a0 时，则，解得 4 a 0，综上所述实数 a 的取值范围是（ 4，0 2017 重庆九校高一联考） 17已知不等式a

23、x2+x+c0 的解集为 x| 1x3 （ 1）求实数 a， c 的值；（ 2）若不等式 ax2 +2x+4c0 的解集为 A，不等式 3ax+cm0 的解集为 B，且 A? B，求实数 m 的取值范围【考点】 7E：其他不等式的解法【分析】（1）由题意利用一元二次不等式的解法、二次函数的性质、韦达定理，求得 a、c 的值（ 2）解一元二次不等式求得 A，再根据 A? B，可得 m2，由此求得 m 的范围【解答】 解：（1）依题意，得 1， 3 是方程 ax2+x+c=0 的两根，且 a0，所以，解得（ 2）由（ 1），得， ax2+2x+4c0，即为，解得 2x6，所以 A=（ 2， 6）又

24、 3ax+cm0，即为 x+m0，解得 x m，所以 B=（ m， +） A? B， m 2，即 m 2，实数 m 的取值范围是 2，+）（ 2017 天津静海一中高一月考） 16已知 f（x）=3x2+a（6a）x+b（ 1）解关于 a 的不等式 f（1） 0；（ 2）当不等式 f （x） 0 的解集为（ 1，3）时，求实数 a， b 的值.精品文档【考点】 3W：二次函数的性质； 74：一元二次不等式的解法【分析】（1）不等式即a26a+3b0，当 0 时，解集为 ?； 0 时，解得 3a3+（ 2）由题意知， 1 和 3 是方程 3x2+a（ 6 a） x+b=0 的两个根，由根与系数的

25、关系得，解之可得结果【解答】 解：（1）f（ 1） = 3+a（6a）+b=a2+6a+b3， f （1） 0， a2 6a+3 b 0 =24+4b，当 0，即 b 6 时， f （1） 0的解集为 ?；当b 6 时， 3a3+，f（1） 0 的解集为a 3a3+ |（2）不等式 3x2a（6a）x b 0的解集为（ 1，3），+利用韦达定理可得，解之可得（ 2017 浙江台州高一期末） 19已知函数 f（ x）=| 2x3|+ ax 6（ a 是常数， a R）（ ）当 a=1 时，求不等式 f（x） 0 的解集；（ ）当 x 1， 1 时，不等式 f（ x） 0 恒成立，求实数 a 的取

26、值范围【考点】 R4：绝对值三角不等式【分析】（ ）代入 a 的值，通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（ ）问题转化为（ a2）x 3 0，x 1，1 ，得到关于 a 的不等式组，解出即可【解答】 解：（）a=1 时， f（x）=2x 3 x 6=，|+故原不等式等价于或，.精品文档解得： x3 或 x 3，故原不等式的解集是 x| x3 或 x 3 ；（ ）x 1，1 时，不等式 f （x） 0 恒成立，即 32x+ax60 恒成立，即（ a2） x 3 0， x 1，1 ，由，解得： 1 a5，故 a 的范围是（ 1， 5）（ 2017 浙江金华高一期末） 20已知函数 f（x）=

27、lg（ ）求函数 f （x）的定义域，并证明其在定义域上是奇函数；（ ）对于 x 2， 6 ，f （x） lg恒成立，求 m 的取值范围【考点】 函数恒成立问题【分析】（ ）对数函数的指数大于0，从而求解定义域根据函数的奇偶性进行判断即可（ ）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m 的取值范围【解答】 解：（）由0，解得 x 1 或 x 1，函数的定义域为（， 1）（ 1，+）， f（ x） =lg=lg=lg= f（ x），函数 f（x）为奇函数，（ ）由题意： x 2，6 ，（ x 1）（7x） 0，0，可得： m0即： lglg恒成立，整理： lglg0，.精品文档化简： lg0，可得： lglg1，即 1，（ x+1）（ 7 x） m0，即： x2+6x+7 m，（ x 2，6 ）恒成立，只需 m 小于 x2+6x+7 的最小值令： y=x2+6x+7=（ x3）2+16开口向下， x 2，6 ，当 x=6 时， y 取得最小值， ymin =