高中数学必修2知识讲解_空间直角坐标系_提高

1、空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点o引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系oxyz，点o叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xoy平面、yoz平面、zox平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这

2、个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点a的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点a的坐标，记作a(x，y，z)，其中x叫做点a的横坐标，y叫做点a的纵坐标，z叫做点a的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点(0,0,0)；x,y,z轴上的点的坐标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)；坐标平面xoy,yoz,xoz上的点的坐标分别为(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).

3、2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点p(x,y,z)，则有点p关于原点的对称点是p(-x,-y,-z)；1点p关于横轴(x轴)的对称点是p(x,-y,-z)；2点p关于纵轴(y轴)的对称点是p(-x,y,-z)；3点p关于竖轴(z轴)的对称点是p(-x,-y,z)；4点p关于坐标平面xoy的对称点是p(x,y,-z)；5点p关于坐标平面yoz的对称点是p(-x,y,z)；6点p关于坐标平面xoz的对称点是p(x,-y,z).7要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点a(x,y,z),b(x,y,z111222)，则此两点间的距离d=|ab|=(x-x)2+

4、(y-y)2+(z-z)2.121212特别地，点a(x,y,z)与原点间的距离公式为oa=2.空间线段中点坐标x2+y2+z2.)，则线段ab的中点c的坐标为x1+x2,y1+y2,z1+z2.空间中有两点a(x,y,z),b(x,y,z111222222【答案】（1）略（2）1,1,（3）,0,（2）棱cc1中点为m1,1,；（3）平面aa1b1b对角线交点为n,0,。p12,x+xy+yz+z2。【典型例题】类型一：空间坐标系例1画一个正方体abcda1b1c1d1，以a为坐标原点，以棱ab、ad、aa1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。（1）求各顶点的坐标

5、；（2）求棱c1c中点的坐标；（3）求平面aa1b1b对角线交点的坐标。111222【解析】如图所示，由棱长为1，可得（1）各顶点坐标分别是a（0，0，0）、b（1，0，0）、c（1，1，0）、d（0，1，0）、a1（0，0，1）、b1（1，0，1）、c1（1，1，1）、d1（0，1，1）；121122【总结升华】（1）空间的中点坐标公式：设a（x1，y1，z1）、b（x2，y2，z2），则ab的中点为12,1222（2）熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征。举一反三：【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，oabcd1a1b1c1是单位正方体，n是bb1的中点，求这个单位正方体

6、各顶点和点n的坐标【答案】o（0，0，0），a（1，0，0），b（1，1，0），c（0，1，0），d1（0，0，21），a1（1，0，1），b1（1，1，1），c1（0，1，1），n（1，1，1）。例2在平面直角坐标系中，点p（x，y）的几种特殊的对称点的坐标如下：（1）关于原点的对称点是p（x，y）；（2）关于x轴的对称点是p（x，y）；（3）关于y轴的对称点是p（x，y）那么，在空间直角坐标系内，点p（x，y，z）的几种特殊的对称点坐标为：关于原点的对称点是p1_；关于横轴（x轴）的对称点是p2_；关于纵轴（y轴）的对称点是p3_；关于竖轴（z轴）的对称点是p4_；关于xoy坐标平面的对称

7、点是p5_；关于yoz坐标平面的对称点是p6_；关于zox坐标平面的对称点是p7_【答案】（x，y，z）（x，y，z）（x，y，z）（x，y，z）（x，y，z）（x，y，z）（x，y，z）【解析】类比平面直角坐标系，在空间直角坐标系有如下结论：p1（x，y，z）；p2（x，y，z）；p3（x，y，z）；p4（x，y，z）；p5（x，y，z）；p6（x，y，z）；p7（x，y，z）【总结升华】上述结论的证明，可类比平面直角坐标系的方法加以证明：如p点关于原点的对称点p1，则有pp1的中点为原点。由中点坐标公式即可求出p1点坐标上述结论的记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余的相反”，如关于x轴对称的

8、点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数；关于xoy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反举一反三：【变式1】（1）在空间直角坐标系中，点p（2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是（）a（2，1，4）b（2，1，4）c（2，1，4）d（2，1，4）（2）在空间直角坐标系中，点p（2，1，4）关于xoy平面对称的点的坐标是（）a（2，1，4）b（2，l，4）c（2，1，4）d（2，1，4）【答案】（1）b（2）a【变式2】（2015春福建漳州期末）如图，长方体abco-abco中，|oa|=4，|oc|=6，1111oo=2，bc与bc相交于点p，则点p的坐标是（）111a（6，2，1）b

9、（1，2，6）c（4，6，2）d（2，6，1）【思路点拨】根据图中直角坐标系，得出点b、c的坐标，再求出1bc的中点坐标p1【答案】d【解析】根据题意，得：点b（4，6，0），点c（0，6，2），1且p是bc的中点，16+60+2p(4+0,)，即p（2，6，1）222故选d类型二：两点间的距离公式例3如图所示，在长方体oabco1a1b1c1中，|oa|=2，|ab|=3，|aa1|=2，过点o作odac于d，求点o1到点d的距离。【答案】228613【解析】由题意得a（2，0，0），o1（0，0，2），c（0，3，0）。设d（x，y，0）。在aoc中，|oa|=2，|oc|=3，|ac|=

10、13，|od|=613=61313如右图，过点d分别作dmoa于m，dnoc于n，则oda与omd相似，36，|om|=x，|od|2=x|oa|，x=13=18可得|om|od|=|od|oa|213同样的，利用odc与odn相似，36=13=d,0可得y=|on|=|od|2121812|oc|3131313|od|=+4=13131321318212211442286=1【总结升华】若原题目中没有建立坐标系，要注意根据几何图形建立合适的坐标系，原则是尽可能多的点在坐标轴或坐标平面上。举一反三：【变式1】在长方体abcda1b1c1d1中，ab=ad=6，aa1=4，点m在a1c1上，|m

11、c1|=2|a1m1|，n在c1d上且为c1d的中点，求m、n两点间的距离【答案】m、n两点间的距离为21。【变式2】（2016湖北枣阳市月考）在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在x轴上求一点p，使它与点p0（4，1，2）的距离为30；（2）在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点m，使它到点n（6，5，1）的距离最小【思路点拨】（1）设出x轴上的点的坐标，根据它与已知点之间的距离，写出两点之间的距离公式，得到关于未知数的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，两个结果都合题意（2）先设点m（x，1x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可【答案】（1）（9，

12、0，0）或（1，0，0）；（2）（1，0，0）【解析】（1）设点p的坐标是（x，0，0），由题意|pop|=30，即(x-4)2+12+22=30，(x4)2=25，解得x=9或x=1点p坐标为（9，0，0）或（1，0，0）先设点m（x，1x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可（2）设点m（x，1x，0）则|mn|=(x-6)2+(1-x-5)2+(1-0)2=2(x-1)2+51min=51【解析】如图，建立空间直角坐标系d-xyz，设棱长为1，则a（1，0，0），b1（1，1，1），p,1，|ap|=+1=，当x=1时，|mn|点m的坐标为（1，0，0

13、）时到点n（6，5，1）的距离最小例4在正方体abcda1b1c1d1中，p为平面a1b1c1d1的中心，求证：papb11122由两点间的距离公式得12126222|pb|=1144212+=，|ab|=12+12=2。1p（0，0，c），因为m、n分别是ab、pc的中点，所以m(,0,0)，n(,)。a方法二：连接an、bn，因为|an|=，|bn|2=，所以|an|2=|bn|2，即|ap|2+|pb1|2=|ab1|2=2，appb1【总结升华】本例的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行，方法的对照比较，也更体现出了坐标法解题的优越性依据题中的垂直关系，建立恰当的坐

14、标系，利用空间中两点问的距离公式可以求距离、证垂直、求举一反三：【变式1】如右图所示，已知pa平面abcd，平面abcd为矩形，m、n分别是ab、pc的中点，求证：mnab。【答案】如图所示，以a为坐标原点，分别以ab、ad、ap所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a（0，0，0），设b（a，0，0），d（0，b，0），abc2222a2b2+c2方法一：连接，在amn中，有|am|2=，|mn|2=，44a2+b2+c2|an|2=，所以|an|2=|mn|2+|am|2，所以mnab。4a2+b2+c2a2+b2+c2244|an|=|bn|，所以abn为等腰三角形，又m为底边

15、ab的中点，所以mnab。例5正方形abcd，abef的边长都是1，并且平面abcd平面abef，点m在ac上移动，点n在bf上移动。若|cm|=|bn|=a（0a2）。（1）求mn的长度；（2）当a为何值时，mn的长度最短。【答案】（1）a2-2a+1（2）22【解析】因为平面abcd平面abef，且交线为ab，beab，所以be平面abcd，所以ba，bc，be两两垂直。取b为坐标原点，过ba，be，bc的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图4-3-12ma,0,1-a。22所示的空间直角坐标系。因为|bc|=1，|cm|=a，且点m在坐标平面xbz内且在正方形abcd的对角线上，所以点22因为点n在坐标平面xby内且在正方形abef的对角线上，|bn|=a，所以点n|mn|=a-a+0-a+1-0=a2-2a+1，（1）由空间两点间的距离公式，得2222222222即mn的长度为a2-2a+1。22a,22a,0。+（2）由（1）得|mn|=a2-2a+1=a-22122，当a=22（满足0a2）时，221a-+222取得最小值，即mn的长度最短，最短为。2【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此