柯尔莫戈罗夫的公理化理论

1、柯尔莫戈罗夫的公理化理论摘要：概率论是现代数学的主流分支之一，其数学基础是柯尔莫格罗夫所建立的概率论公 理体系。概率论公理体系不仅使概率理论的形式结构清晰、逻输推理严密，而且还使概率论 本身及形式结构与之相近的其他数学理论都取得了实质性的进展。柯尔莫格罗夫1933年以 徳文出版了概率论基础,该书标志着概率论从半物理性质的科学转变成只右严密逻辑 基础的数学分支。关键词：柯尔莫戈罗夫；概率论；随机变最；随机过程；随机爭件虽至19世纪下半叶.概率论在统计物理学中的应用及概率论的自身发展已突破了其占 典形式.但一些基本概念尚未能明确化和严格化.诸如概率、收敛性、随机变屋和数学期塑 等.都还停留在原始且

2、直观水平上.几乎不存在严格定义。如何定义概率.如何把概率论建 立在严密逻辑基础匕是概率理论的症结所在.这既阻碍了概率论的发展和应用.又落后于 当时其他数学分支的公理化潮流，乃至20世纪初概率论仍徘徊于主流数学之外。正是在此数学文化背景下.前苏联数学家柯尔莫戈罗夫(入】L Ko/mzpob, 19031987) 于1933年首次给出了一套严密的概率论公理体系.这不仅使概率理论的形式结构十分清晰、 逻轲推理严密而R还使得概率论本身及形式结构与之相近的其他数学理论都取得了实质 性的进展。概率论发展史表明：柯尔莫戈罗夫的公理化体系对于概率论发展.犹如牛顿力学 对于经典物理学的意义。因此.对柯尔莫戈罗夫

3、概率公理化体系及其概率思想的研究.将为 审视概率论的发展提供一种具有启发性的新视角。1. 公理化概率论柯尔莫格罗夫所提出的概率论公理化体系.主要根植于集合论、测度论与实变函数论。 他运用娴熟的实变函数理论.建立了集合测度与随机事件概率的类比、积分与数学期垫的类 比、函数的正交性与随机变量独立性的类比等.这种广泛的类比赋予概率论以演经数学的特 征.许多在直线上的积分定理都可移植到概率空间。部分对应关系如卜： 测度概率可测函数随机变量全直线概率空间点集事件集E - m(E)A - p(A)m(UiP(U：U 人小器丄 P(A概率论与一般测度论相比较具有若干特征：概率值非负且不大于1(非负性).必然

4、爭件貝有 最人概率值1(规范性)而不町能爭件的概率为0。从形式观点来看.全部概率理论可构成以“整个空间的测度为r的特殊化测度论。柯尔英格罗夫以5条公理为基础.构建出整个概率理论体系。其主要内容为：(D概率基点是概率空间(Q.A.P).Q是基本事件CO所组成的集合,A是Q中集合的一。代数.P是对所有可测爭件A有定义的概率测度；(2) (Q.A.P)上的随机变元是现实世界观测函数的对应物。假设是概率空 间上的随机过程.状态空间为过程的a个随机变兀的集.其中一 上的概率分布。且 3/1 m n.在d上的联合分布x(fl. 丿.工丿为在d”的门维分布丿，X ( tn9 丿所导出的m维分布；（3）给定任

5、意指标集I,适度受限制的町测空间（）及对所有正整数a 以I的有限 子集为指标，给定d上的-相容分布集，一定存在-概率空间及定义在其上以为状态 空间的随机过程具有所派定的联合随机变元分布；（4）口J积数值随机变量的期望为其对给定概率测度的枳分；（5）给定具有严格正概率的事件B.事件（可测集）A的条件概率是P（AB）/P（B） o由此 对固定B可得到新的概率.还可计算随机变量关于给定B的条件期望。更一般地.给定任意 一族随机变元.关于这族随机变元给定值的条件概率与期望必然是指派给这些条件随机变 元的值函数。即关于随机变元族的条件期塑.定义为关于该族随机变九所生成的子0代数 的条件期塑。可测集A的条

6、件概率则定义为在A上取值为1.其余取值为0的随机变量的* 件期望。基本爭件的集合是柯尔莫戈罗夫所定义的第一个基本概念。假设进行某随机试验.该试 验在理论上叮任总次卫复，每次都有一定的随机结果，所有可能结果的总体形成集介（空间） Q,称之为基本事件集合。集介Q的任总子集.即町能结果组成的任总集介.称之为随机弔件。 考虑到对爭件町做交并补等基本运算.产生了0域这种集合系。因其复杂性定义概率很难在 每个上面都具体定义出來，考左到只定义其中的一部分形式较为简单集介的概率值.希塑通 过它们就足以确定其他集合的概率值.则产生了诸如环.半环.域等概念。对于域中的每个爭件都有一个确定的非负实数与之对应.这个数

7、就是该事件的概率。如 此定义的概率不涉及频率或其他任何有具体背景的槪念.所定义集合Q的元素及相应概率 等都是抽象的。概率是定义在集合系（即集合组成的集合）上的函数.概率值是集合在映射下 的象。市于希望刻画较复杂的随机变量关系.而把考虑的随机变量视为同一个概率空间到实 数集的映射。2. 柯尔莫戈罗夫公理化理论意义测度的定义较为广泛，不仅包括概率，还包括最常见的Jebesg ue测度及计数测度。于 是可测空间再添加一个分量就有了测度空间的定义。建立测度扩张的理论，就能解决部分集 合的概率值决定所有集合概率值的问题。从测度论意义上讲.在柯尔莫戈罗夫公理化体系中 随机事件的概率是正规测度.而随机变量则

8、是定义在基本事件集合上的町测函数。即随机事 件及其概率的性质完全类似于图形及其而积（或体积;的性质。在此观点E,随机变量的运 算变得十分清晰.而概率论的运算法则成为可测函数运算规则的自然推论。同时在邻近数学 领域的问题中.概率方法不仅町触类旁通式地加以袭用而且町以形式完整地移植于新领 域。只要概率论公理能够成立.就可引用这些公理得出推论.即使与现实随机性没有任何共 性。故现有两种概率论并存：完全不管町能性的公理化概率论：研究爭件发生概率的概率 论。正如柯尔莫戈罗夫所说：由于有了公理化的概率论，就使得我们摆脱了试图寻找一种既具有自然科学的直观确凿性 又便于建立形式严整的数学理论方法来定义槪率的诱

9、惑。这样的定义就像在几何学中所定义 的点，即把点作为一个实在的物体经过四面八方无数次切削（每次切削均使得直径缩小 （例如一半）最后所剩余的东西。柯尔莫戈罗夫的概率论公理化体系充分显示了数学的简洁美与统一美.不仅给出无限随机 试验序列利一般随机过程的逻辑基础.而且也为应用于统计学提供了很大力便。柯尔莫戈罗 夫的公理化体系逐渐获得数学家的认可。随机分析的创立者伊藤清曾写道： 读了柯尔莫戈罗夫的槪率论基础，我信服地认为概率论可用测度论来发展，并且它和其 他数学分支一样地严格。当然.概率论公理化体系的构造并没有解决所有的概率论原则问题。概率论公理体系只 是结合直观.将概率的某些性质进行了公理化。关于随机性的本质这个基本问题仍未解决。 随机性与确定性的界限在什么地方.是否存在？这个问题带有竹学性质值得关注。后柯尔莫 戈罗夫为此付出了许多努力.试图从复杂性、信息和其它概念等方面來解决这个问题。晚年. 他提出了一个平行地研究确定性现象的复杂性和偶然性现象的统计确定性的庞大计划.其 基本思想是：有序王国和偶然性王国之间爭实上并没有一条真