初中几何综合复习

1、初中几何综合复习初中几何综合复习 折叠问题折叠问题 生活中的折叠生活中的折叠 一、一、 什么是什么是折叠折叠 二二 、 与折叠有关的问题与折叠有关的问题 一一. 折叠的意义折叠的意义 1折叠折叠 就是将图形的一部分沿着一条就是将图形的一部分沿着一条 直线翻折直线翻折180，使它与另一部分在这条，使它与另一部分在这条 直线的同旁，与其重叠或不重叠直线的同旁，与其重叠或不重叠.显然，显然， “折折”是过程，是过程，“叠叠”是结果是结果; AB O B?8 l 图1 如图（如图（1）是线段）是线段AB沿直线沿直线l折叠后的图形，折叠后的图形， 其中其中OB是是OB在折叠前的位置；在折叠前的位置； O

2、B=OB； 图（图（2）是平行四边形）是平行四边形ABCD沿着对角线沿着对角线 AC折叠后的图形，折叠后的图形，ABC是是ABC在折在折 叠前的位置，它们的重叠部分是三角形叠前的位置，它们的重叠部分是三角形EACEAC； ABCABC A B D B 图2 C E 2.2. 图形的翻折部分在折叠前和折叠图形的翻折部分在折叠前和折叠 后的形状、大小不变，是全等形后的形状、大小不变，是全等形; ; 3.3.图形的翻折部分在折叠前和折叠后图形的翻折部分在折叠前和折叠后 的位置关于折痕成轴对称的位置关于折痕成轴对称. . (2) (1) 猜猜看猜猜看: : 将一张矩形纸对折再对折，然后沿着图中的虚将一

3、张矩形纸对折再对折，然后沿着图中的虚 线剪下，得到线剪下，得到、两部分，将两部分，将展开后得到展开后得到 的平面图形是什么的平面图形是什么？ 问题2：将长方形纸片按如图的方式折叠， BC、BD为折痕，则CBD=_度 AE D B C E A 90 折叠前后重折叠前后重 合的图形关合的图形关 于折痕成轴于折痕成轴 对称。对称。 90 问题问题3 3： 如图，把一张长方形如图，把一张长方形ABCDABCD的纸片，沿的纸片，沿EFEF折叠后，折叠后， EDED与与BCBC的交点为的交点为G G，点，点D D、C C分别落在分别落在DD、CC的的 位置上，若位置上，若EFG=55EFG=55，求，求1

4、1、22的度数。的度数。 1 2 A BC DE F C D G 解决办法：解决办法： 找全等图形中找全等图形中 的对应等量的对应等量 问题问题4 4: 已知如图，在矩形已知如图，在矩形ABCD中，中，ADAB，O为对角线的为对角线的 交点，过交点，过O作一直线分别交作一直线分别交BC、AD于于M、N。 （1）求证：梯形）求证：梯形ABMN的面积等于梯形的面积等于梯形CDNM的面的面 积；积； A B D C O N M A B D C O N M （2）当）当MN满足什么条件时，将矩形满足什么条件时，将矩形 ABCD以以MN为折痕翻折后能使点为折痕翻折后能使点C恰好与恰好与 点点A重合（只写

5、满足的条件，不用证明）重合（只写满足的条件，不用证明） （3）在（）在（2）中条件下，若翻折后不重叠）中条件下，若翻折后不重叠 部分的面积是重叠部分面积的部分的面积是重叠部分面积的1/2，求，求 BMMC的值。的值。 A(C) BC D O N M D 问题问题5:5:如图，一张宽为如图，一张宽为3 3，长为，长为4 4的矩形纸片的矩形纸片 ABCDABCD，先沿着对角线，先沿着对角线BDBD对折对折, ,点点C C落在点落在点CC 的位置上（如图），的位置上（如图），BCBC交交ADAD于于G G，求，求BGDBGD 的面积的面积 . . BC DA C G 求边时，利求边时，利 用勾股定理

6、用勾股定理 建立方程建立方程 变一变：变一变：若将上题若将上题(图图a)再折一次，使点再折一次，使点D 与与A重合，得折痕重合，得折痕EN（如图（如图b），），EN交交 AD于点于点M，求，求EN的长。的长。 BC DA C G BC DA C GM N E 图a 图b 问题问题6:6:采用如图所示的方法，可以把梯形采用如图所示的方法，可以把梯形 ABCDABCD折叠成一个矩形折叠成一个矩形EFNM(EFNM(图中图中EF,FN,EMEF,FN,EM为折为折 痕痕) )，使得点，使得点A A与与B B、C C与与D D分别重合于一点分别重合于一点. .请请 问，线段问，线段EFEF的位置如何确

7、定的位置如何确定; ;通过这种图形变通过这种图形变 化，你能看出哪些定理或公式化，你能看出哪些定理或公式( (至少三个至少三个) )？ 证明你的所有结论证明你的所有结论. . a b 二、和折叠有关的问题二、和折叠有关的问题 F E A a 如图，将宽度为如图，将宽度为a a的长方形纸片的长方形纸片 折叠成如图所示的形状，观察折叠后折叠成如图所示的形状，观察折叠后重重 叠部分三角形叠部分三角形 A A EF EF F E A a 1 2 3 证明证明（方法一）（方法一） 图形在折叠前和图形在折叠前和 折叠后是全等的折叠后是全等的, 1= 2,1= 2, 又又矩形的对边是平行的矩形的对边是平行的

8、, , 1= 3,1= 3, 2= 3, 2= 3, F E A a 证明：证明：（方法二）（方法二） 图形在折叠前和图形在折叠前和 折叠后的形状、大小折叠后的形状、大小 不变，只是位置不同。不变，只是位置不同。 表示矩形表示矩形宽度宽度的线段的线段EPEP和和FQFQ相等相等, , 即即 P Q F E A 改变折叠的角度改变折叠的角度 的大小，三角形的大小，三角形 A A EF EF的面积是否会改变？的面积是否会改变？ F E A A 证证 明你的发现明你的发现. 1、矩形折叠给我们带来哪些信息？、矩形折叠给我们带来哪些信息？ 2、证明四边形是菱形通常有哪、证明四边形是菱形通常有哪 些方法

9、？些方法？ F E A A A是是A A 在折叠前在折叠前 对应的位置对应的位置, A 和和A 关于关于直线直线EF轴对称轴对称 , A A EF,EF,且且AO=AAO=A O,O, 又又AEAAEA F,F,EOOF=AOOEOOF=AOOA A , , EO=OFEO=OF， A A 与与EFEF互相垂直平分互相垂直平分 O 证明证明:（方法一）（方法一） A A是是A A 在折叠前对应的位置在折叠前对应的位置, , AEF AEF A A EF ,A E=AEF ,A E=A E,AF=AE,AF=A F F， 又又AEF AEF 是等腰三角形是等腰三角形,A,A E=AE=A F F

10、 （已证）（已证）, , AE=AF=AAE=AF=A E=AE=A F,F, (方法二方法二) 证明证明: F E A A 例例2 2 在前面的在前面的思考思考 题中题中, ,若翻折的角度若翻折的角度 =30,a=2. =30,a=2. 求四边形求四边形AEAAEA F F的面积的面积. . 分析：图中被覆盖的部分分析：图中被覆盖的部分 AEFEF是等腰三角形，其腰上的高就是原矩是等腰三角形，其腰上的高就是原矩 形的宽度形的宽度2,2,所以，本题的解题所以，本题的解题关键就是要求出关键就是要求出 腰腰A AF(AF(AE)E)的长。的长。 A F E A S S四边形 四边形AEAAEA F

11、 F= = 3 3 8 a 30 30 Q 2 30 30 例例3 3：如图：如图, ,将矩形将矩形ABCDABCD折叠折叠, ,使使B B 点落在点落在 MNMN上上, ,落点为落点为P. P. 已知已知 , , 3 分析分析: AE是直角三角形是直角三角形 ABE的斜边，的斜边，解决解决 本题的关键是求本题的关键是求PE(或或BE)的长的长 P 3 3 解法一解法一 M M、N N分别是分别是 矩形的边矩形的边ABAB和和CDCD 的中点，的中点， P MNAD BCMNAD BC MNMNANAN且且ANAN是是ABAB的一半的一半 又又AP=AB.AP=AB. AN AN是是APAP的

12、一半的一半 PAN=60PAN=60,PAE=BAE=30,PAE=BAE=30 AEcosAEcos 3030= , AE=2.= , AE=2. 3 3 解法二：解法二：延长延长EPEP交交ADAD 与与 F F则则FE=FA(FE=FA(已证已证) ) P M M、N N分别是矩形分别是矩形 的边的边ABAB和和CDCD的中点，的中点， MNADBCMNADBC EPPF=BNNA=11EPPF=BNNA=11， 又又APE=B=90APE=B=90, , AE=AFAE=AF AE=AF=EF, AE=AF=EF, 1=2=301=2=30, , AE=2.AE=2. AP=AP=3

13、3 3 2 3 1 F 解法二：连结解法二：连结PB,PB, F 2 3 1 P 3 M M、N N分别是矩分别是矩 形的边形的边ABAB和和CDCD的的 中点，中点， MNADBCMNADBC PNPN垂直平分垂直平分ABAB， PB=PA,PB=PA,又又PA=BAPA=BA， PA=BA=AB.PA=BA=AB. 2+3=60 2+3=60, , 2=3=30 2=3=30, , AE=2.AE=2. AP=AP=3 3 2 3 1 P 解法三：解法三： F 2 3 1 3 3 O 又又FE=FA(问题问题1的结论的结论) AE=AF=EF EAF=60, 1=2=30,3=30 AE=

14、2. 由由BC/MN/DA且且 M、N分别为分别为CD和和 AB的中点可得的中点可得 EP=PF，EO=AO PO= AF， 又又 EPF=90 PO= AE， AE=AF， 2 1 2 1 P A C B D E MN x F 555 分析：本题与上一题略有不同，分析：本题与上一题略有不同，MN由原来的由原来的 二等分线变为三等分线，其他条件不变。所二等分线变为三等分线，其他条件不变。所 以本题的解题关键还是求出以本题的解题关键还是求出EB(或或EP)的长的长 P A C B D E MN x 2x 3xF 5 5 解：解：延长延长EP交交AD于于F, 则则FE=FA(已证已证) M、N分别

15、是矩形的分别是矩形的 边边AB和和CD的三等分点的三等分点， MNADBC,EP PF=BN NA=1 2, 设设EP=x, EP=x, 则则PF=2x,AF=EF=3x,PF=2x,AF=EF=3x, 在在RtRtAPFAPF中有中有APAP+PF+PF=AF=AF , 5+(2x)=(3x), x=1, PE=1AE=1+5=6 AE= , 6 思考题：思考题： 如上题中如上题中M、N为四等分或五等为四等分或五等 分点，其它条件不变你还能求出折分点，其它条件不变你还能求出折 痕的长吗？痕的长吗？ 例例5 5 如图：将正方形如图：将正方形ABCDABCD对折，折痕为对折，折痕为MNMN， 再

16、沿再沿AEAE折叠，把折叠，把B B点叠在点叠在MNMN上（图中的上（图中的P P）, , 若若AB=3 ,(1)AB=3 ,(1)求求PMPM的长；的长；(2)(2)以以PE PE 为边长的为边长的 正方形的面积正方形的面积. . 分析：将本题与例题分析：将本题与例题3比比 较，不难看出它们的共较，不难看出它们的共 同之处，显然，解决本同之处，显然，解决本 题的关键是求题的关键是求PE和和PN的的 长。长。 E D C NM B A P 3 3 解解: (1) M、N分别是正方形 的边AB和CD的中点， MNAD BC, MNAN且AN= AB 又又AP=AB.AP=AB.AN= APAN=

17、 AP APN=30APN=30,PN= AN=,PN= AN= PM=3-PM=3- (2) APN=30APN=30, , PAN=60 PAN=60 EAB=EAP=30EAB=EAP=30, ,EP=BE= , 以以EP为边长的正方形的面积为为边长的正方形的面积为3. 2 1 2 1 3 3 2 3 3 2 3 3 E D C NM B A P 例例6 如图，将矩形如图，将矩形ABCD折叠，使折叠，使C点落在边点落在边 AB上，（如图所示），若上，（如图所示），若AB=10, BC=6,求四边求四边 形形CNMD的面积。的面积。 分析：本题与上一题分析：本题与上一题 区别在于点区别在于

18、点C折叠后折叠后 落在矩形的边落在矩形的边AB上，上， ACN和和AMN是是 全等的，所以，求四边形全等的，所以，求四边形CNMD的面积可以转的面积可以转 化为求化为求DCN或或DMN的面积，所以本题的的面积，所以本题的 解题关键还是求出解题关键还是求出NC(或或BN)的长的长. 解解:在直角三角形在直角三角形ADM 中中,AD=6,DM=DC=10, 由勾股定理可以求得由勾股定理可以求得 AM=8.BM=10-8=2. 设设NC=x,则则MN=x, BN=6-x,在在RtBMN中，中，MN2=BN2+BM2 x2=（6-x）2+4 x= S四边形 四边形CNMD=2SDCN= = 3 10

19、10 3 10 3 100 解法二：由折叠的意义解法二：由折叠的意义 可知可知 DMN=C=90 C=90 DMA+NMB= 90 NMB= 90 A=C=90 C=90 , , DMADMAMNBMNB， 6 6 8=2 (6-x), x= S四边形 四边形CNMD=2SDCN= = 3 10 10 3 10 3 100 例例7:7: 将长为将长为8，宽，宽 为为6的矩形的矩形ABCD折折 叠叠,使使B、D重合，重合， 1.求折痕求折痕EF的长。的长。 2.求求DEF的面积。的面积。 E F 分析：由矩形折叠的意义可知，分析：由矩形折叠的意义可知，EF垂直平分垂直平分 BD（O为为BD的中点

20、的中点),由由AB/DC可得可得 EO:FO=BO:DO=1:1 ,O为为EF的中点，所以的中点，所以 可设法先求出可设法先求出EO的长，或直接求的长，或直接求EF的长的长,进而进而 求求DEF面积。面积。 O 解（法一）：解（法一）： D、B关于关于EF成轴对称成轴对称 EF垂直平分垂直平分DB， 又又DCCB,DOEDCB 在在RtDCB中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得BD=10 DO=5,又又AB/DC,EO:OF=DO:OB=1 :1, (1)由由DOEDCB得得DO:DC=DE:BC EO:6=5:8 EO= , EF= (2)S DEF= EFDO= 5= 4 15 2 15 2 1 2 1 2 15 4 75 A B C D Q P E F O E F O P 解法二：解法二： (1)过过C作作CP/EF， 交交AB于于P, EFDB CPDB 易得易得CBPDCB CP:BD=CB:DC ,EF=