福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题

1、福师09秋学期高等代数选讲考试复习题一 本复习题页码标注所用教材为：高等代数19.50主张禾瑞、郝丙新2007年第5版高等教育出版社书如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、单项选择题（每小题4分，共20分）1设是阶方阵，是一正整数，则必有（ ）； ； 。 考核知识点：矩阵的运算，参见P178-181； 行列式的性质，参见P113； 矩阵乘积的行列式，参见P197；2.设是一个阶行列式，那么（ ）(A) 行列式与它的转置行列式相等； (B) 中两行互换，则行列式不变符号；(C) 若，则中必有一行全是零； (D) 若，则中必有两行成比例。考核知识点：行列式的性质，参见P111-113；3设矩

2、阵的秩为，那么（ ）(A) 中每个。考核知识点：向量内积和长度的性质，参见P299-302；5、欧氏空间中的标准正交基是（ ）(A) ； (B)；(C) ； (D)考核知识点：标准正交基的定义，参见P308；二、填空题（共20分，每空4分）1计算行列式 ； 。考核知识点：利用行列式性质计算行列式，参见P111-116；行列式依行依列展开，参见P124；2当k= 时，向量正交。考核知识点：向量正交的定义，参见P305；3设矩阵A=，则秩A= 。考核知识点：利用初等变换求矩阵的秩，参见P248；4. 设三阶方阵A的特征值为1，2，3，则 。 考核知识点：矩阵的特征值与行列式的关系，参见P283；三

3、（10分）设，求矩阵考核知识点：矩阵的逆矩阵的求法，参见P193-194；四（10分）设线性方程组 （1）为何值时，方程组有唯一解、无解；（2）为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解。考核知识点：线性方程组解的判别，参见P155-156；五（10分）证明：有理数域上含有实数根的不可约多项式必是2次多项式。考核知识点：有理数域上的不可约多项式，参见P71-74；六（15分）设二次型(1)写出这个二次型的矩阵A；(2)求A的特征值及其线性无关的特征向量；(3)求一个正交线性替换X=TY，将化为标准形；考核知识点：二次型和对阵矩阵的关系及二次性的标准形，参见P346-354；矩阵特征值和特征向量的

4、求法，参见P282-284；七（15分）设A，B都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T，使得的充分必要条件是A，B有相同的特征值。考核知识点：相似矩阵具有相同的特征值，参见P281； 实对称矩阵的对角化和正交矩阵的定义，参见P337和P319；福师09秋学期高等代数选讲考试复习题三 本复习题页码标注所用教材为：高等代数19.50主张禾瑞、郝丙新2007年第5版高等教育出版社书如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、单项选择题（每小题4分，共20分）1. 若矩阵，满足，则（ ）。(A)或； (B)且；(C)且； (D)以上结论都不正确。考核知识点：矩阵的乘法运算，参见P181；2. 在欧几里得

5、空间V中，为一正交向量组，则一定是（ ）(A)线性无关； (B)线性相关； (C)正交单位向量组 ； (D)无法判断。考核知识点：正交向量组的性质，参见P309；3. 若矩阵的特征根为0，2，则的特征根为（ ）(A)0，2 ； (B)0，4； (C)1，3 ； (D)0，3。考核知识点：矩阵特征根的求法，参见P282；4.在一个矩阵上添加两行或两列后，所得到的矩阵的秩（ ）(A)不变； (B)增加1；(C)增加2 ； (D)以上都不是。考核知识点：矩阵秩的相关知识，参见P152；5设A与B是n阶矩阵,A与B相似。以下论断错误的是( )(A)存在可逆矩阵P,使得 ； (B)；(C)A与B有相同的

6、特征根 ； (D) A与B有相同的特征多项式。考核知识点：相似矩阵的关系，参见P281-283；二、填空题（共20分，每空4分）1设，则 ； 。考核知识点：代数余子式的定义，参见P121；2.阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类。考核知识点：二次型的类型，参见P362；3.若线性变换关于基的矩阵为，那么关于基的矩阵为 。考核知识点：线性变换和矩阵的对应关系，参见P266；4.四阶行列式的值为 。考核知识点：行列式的定义，参见P108；三（10分）设为阶方阵，且满足，(1)证明：均可逆；(2)当时，求矩阵。考核知识点：可逆矩阵的定义，参见P187；矩阵的运算，参见P183；矩阵的逆矩阵的求法，参见P192-193；四（10分）当k取何值时，线性方程组 有非零解？并求出它的一般解。考核知识点：线性方程组有解的判定，参见P155-156；五（10分）求矩阵的特征值与特征向量。考核知识点：矩阵特征值和特征向量的求法，参见P282-284；六（15分）将二次型用非退化线性替换化为标准型考核知识点：二次型和对阵矩阵的关系及二次性的标准形，参见P346-354