实际问题与一元二次方程利润问题3实际问题与一元二次方程面积问题

1、 1能根据实际问题中的数量关系，正确列出一能根据实际问题中的数量关系，正确列出一 元二次方程； 2通过列方程解应用题体会一元二次方程在实通过列方程解应用题体会一元二次方程在实 际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问 题的过程，提高数学应用意识 学习重点：学习重点： 正确列出一元二次方程，解决有关的实际问题正确列出一元二次方程，解决有关的实际问题 例1如图，一块长和宽分别为 60厘米和40厘米的 长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正 方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面 积为800平方厘米.求截去

2、正方形的边长。 1创设情境，导入新知 如图，一块长和宽分别为 60厘米和40厘米的长方形铁皮， 要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的 长方体水槽，使它的底面积为 800平方厘米.求截去正方形 的边长。 x解：设截去正方形的边长厘米， 则图中虚线部分长等于_ 厘米， 宽等于 _厘米 ? 60- 240- 2800 xx ?依题意得： 答：截去正方形的边长为10厘米。 ? 602x? ? 40 - 2x 解得 x1=40(不合题意，舍去), x 2=10 例2.在长方形钢片上冲去一个长 方形，制成一个四周宽相等的长 方形框。已知长方形钢片的长为 30cm，宽为20cm,要使制成的长

3、方形框的面积为400cm 2，求这个 长方形框的框边宽。 X X 30cm 解:设长方形框的边宽为 xcm,依题意,得 3020(302x)(202x)=400 x2 25+100=0 解得 x1=20(不合题意，舍去), x 2=5 答:这个长方形框的框边宽为 5cm 例例5.某校为了美化校园 ,准备在一块长32米米,宽宽20 米的长方形场地上修筑若干条道路 ,余下部分作草 坪,并请全校同学参与设计 ,现在有两位学生各设 计了一种方案(如图如图),根据两种设计方案各列出方根据两种设计方案各列出方 程,求图中道路的宽分别是多少 ?使图(1),(2)的草 坪面积为540米2. (1)(2) (1

4、) 解:(1):(1)如图，设道路的宽为x米， 则 540)220)(232(?xx 化简得， 02526 2 ?xx 0)1)(25(?xx 1,25 21?xx 其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去 . 图(1)中道路的宽为1米. 则横向的路面面积为， 分析：此题的相等关系是矩 形面积减去道路面积等于 540 米2。 解法一、 如图，设道路的宽为 x米， 32x 米2 纵向的路面面积为。 20 x 米2 注意：这两个面积的重叠部分是x2米2 所列的方程是不是3220(3220)540 xx? 图中的道路面积不是?3220 xx? 米2。 (2) 解法二：解法二： 我们利用我们利用“图形

5、经过移动，图形经过移动， 它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理， 把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列 方程容易些（目的是求出路面的 宽，至于实际施工，仍可按原图 的位置修路）的位置修路） (2) 横向路面， 如图，设路宽为x米， 32x米2 纵向路面面积为。 20 x米2 草坪矩形的长（横向)， 草坪矩形的宽（纵向）。 相等关系是：草坪长草坪宽=540米2 (20-x)米 （32-x)米 即 ? 3220540.xx? 化简得： 2 12 52 1000,50,2xxxx? 再往下的计算、格式书写与解法1相同。 练习：练习： 1.如图是宽为20米,长为

6、32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米? 解:设道路宽为x米，则 570)220)(232(?xx 化简得，03536 2 ?xx 0) 1)(35(?xx 1,35 21?xx 其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去. 答:道路的宽为1米. 1.如图，在长为40米，宽为22米的矩形地面上，修 筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的铺上草坪， 要使草坪的面积为 760平方米，道路的宽应为多少？ 40米 22米 3巩固训练 2.如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，

7、修筑 同样宽的三条道路，（两条纵向，一条横向，横向 与纵向相互垂直），把耕地分成大小相等的六块试 验地，要使试验地面积为 570m2，问道路的宽为多少？ 18米 2米 3.如图，有一面积是 150平方米的长方形鸡场， 鸡场的一边靠墙（墙长 18米），墙对面有一 个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围 成，篱笆总长33米求鸡场的长和宽各多少 米？ 1.1.用长为用长为18m18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的 苗圃苗圃.要围成苗圃的面积为 81m81m2 2, ,应该怎么设计? ? 解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则 81)18(?

8、? x x 化简得，化简得， 08118 2 ?xx 0)9( 2 ?x 答答: :应围成一个边长为 9 9米的正方形. 9 21?xx 2解决“面积问题” 例例3.要设计一本书的封面，封面长要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽，宽 21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色 边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、 左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ 27 21 还有其他方法列出方程吗？ 方法一 27 21 解：可设四周边衬的宽度为 x cm，则中央

9、矩形的面 积可以表示为积可以表示为（）（）27-2x21-2x （）（）27-2x21-2x? 21272127 4 1 ? 方法二 利用未知数表示边长，通过面 积之间的等量关系建立方程解决问 题 27 21 解：可设四周边衬的宽度为 x cm，则中央矩形的面 积可以表示为（）（）27-2x21-2x （）（）27-2x21-2x2127 4 3 ? 例4. 要设计一本书的封面，封面 长 27 cm，宽 21 cm，正 中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如 果要使四周的彩色边衬所占面积 是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边 衬的宽度（结果保留小数点后一

10、位） ？ 分析：封面的长宽之比是封面的长宽之比是 97，中央的矩形的长宽之比也 应是 97 27 21 9a 7a 设中央的矩形的长和宽分别 是 9a cm和 7a cm，由此得上、下 边衬与左、右边衬的宽度之比是 （）（）27-9a 21-7a = 97. 2 1 2 1 整理得：16y 2 -48y+9=0 解法一：设上、下边衬的宽均为 9y cm，左、右边 衬宽均为 7y cm，依题意得 方程的哪个根合乎实际意义？为什么？方程的哪个根合乎实际意义？为什么？ 解方程得 4 33 6? ?y 4 33 6? ?y 4 32754 9 ? ?y 4 32142 7 ? ?y1.8 cm，1.4 cm （）（）27-18y21-14y2127 4 3 ? 解法二：解法二：设正中央的矩形两边分别为 9x cm，7x cm， 依题意得 故上、下边衬的宽度为： 2127 4 3 79?xx 解得：，（不合题意，舍去） 2 33 1 ?x 2 33 2 ?x 左、右边衬的宽度为： ? ? 2 2 33 927 2 927x 4 32754? 1.8 cm， （） ? ? 2 2 33 721 2 721x 4 32142? 1.4 cm （） 2.用一根长22厘米的铁丝，能否折成一个面积是 30厘 米的矩形？能否折成一个面积为 32厘米的矩形？说明 理由。