三角形的五心一次看个够0001

1、三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的五心”在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍.一、三角形外心的性质0C外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点 0,则有0A=0B=0C,故0也在A的中垂线上，因为 0到三顶点的距离 相等，故点0是厶ABC外接圆的圆心.因而称为外心.设ABC的外接圆为。G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c ,p=(a+b+c)/21:( 1)锐角三角形的外心在三角形内；(2)直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；(3 )钝角三角形的外心在三角形外点G是平面 ABC上一点，那么点G是ABC外心的充要条件是:2:/ BGC=2/

2、A,(或/ BGC=2(180 - / A).ABC的外心崗圖禺 (或ga2=wb2=gc 2)(点g到三顶点距离相等)(GA+GB) AB=(GB + GC) BC=(GC+GA) CA=0(G为三边垂直平分线的交点 )24:的充要条件疋:点G是平面阜ABC上一点，点P是平面 ABC上任意一点，那么点 G是ABC外心PAPG =(ta nB+ta nC) 或 PG =(cosA/2sinBsinC)PB +(ta nA+tanB)PC )/2(ta nA+ta nB+tanC).+(tanC+ta nA)PA+(cosB/2sinCsinA)PB +(cosC/2sinAsinB) PC .

3、5: R=abc/4S ABC.正弦定理：2R=a/si nA=b/si nB=c/si nC。6. 外心坐标：0(x, y)我们根据圆心到顶点的距离相等,给定A(xyj, BM y2),C(X3, y3)求外接圆心坐标.首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点, 可以列岀以下方程：(X1 x)2 (y1 y)2 (X2 x)2 (y2 y)2(X3 x)2 (y3 y)2 (X2 x)2 (y2 y)2.化简得到:2(X2 xjx 2(y2yjy x| y22X12 y122(X2 X3)x 2( y2 y3)y x?2y2令 A 2(X2 xj ； B1 2(y2%) ; C12

4、X22y22X12y1A 2(x2 x3) ； B22( y2y3); C22X22y22X3Ax Bi yCi；A2 xB2 yC2 ；C1B2 C2 B1Ai B2 A, B1A1C2A?CiB2A2b!.最后根据克拉默法则：x因此，x, y为最终结果；7.若 O是厶 ABC的外心，贝U Saboc Skaoc SaAo=sin / BOCsin / AOCsin / AOB=sin / 2A： sin / 2B : sin / 2C 故 sin / 2A- oA +sin / 2B - ob +sin / 2C oCO证明：设0点在ABC内部，由向量基本定理，有mOAnOB rOC0 m

5、,n,r R，则 S boc : S coa : Saobm : n ：:r设:mOAOD,nOBOE,rOCOF，则点0为A DEF的重心，又S boc丄sEOF 5s 1AOCs s 1 sS DOF ， S AOBS DOE，nrmrmnS boc:S coa : Saobm : n : r若 O是厶 ABC的外心，贝U SaBOC Saaoc： SaAo=sin / BOCsin / AOCsin / AO=sin / 2A: sin / 2B: sin / 2C故 sin/ 2AOA +sin/2BOB+sin/ 2C、三角形的内心内心定理的证明：如图，设/A、/ C的平分线相交于I

6、、过I作ID丄BC, IE AC, IF丄AB则有IE=IF=ID.因此I也在/ C的平分线上，即三角形三 内角平分线交于一点上述定理的证法完全适用于旁心定理， 请同学们自己完成.设 ABC的内切圆为。0(半径r),角A、B、C的对边分别为a、b、c, p=(a+b+c)/2。1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2、 三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。M F/3、r=S/p。证明： S a ABC =S a oab +s oac +S a obc =(cr+br+ar)/2=rp,即得结论。4、 ABC 中，/ C=90 , r=(a+b-c)/2。5、/

7、BOC=90 + / A/2。6、点0是平面ABC上任意一点，点 0是A ABC内心的充要条件是:7、点0是平面ABC上任意oL (aOA boB coC)-点，点 L是厶ABC内心的充要条件是:/(a+b+c)。8、 ABC 中，A(x1,y1), B(x2, y2),C(x3,y3)，那么 ABC 内心 L 的坐标是:ax1 bx2 cx3 ay1 by2 cy3 。a b c a b c9、 (欧拉定理) ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，0和I分别为其外 心和内心，贝U OL2=R2-2Rr。10、 内角平分线分三边长度关系：如图： ABC中，AD是/ A的角平分线，D在B

8、C 上，a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边，d=AD。设R1是厶ABD的外接圆半径， R2是厶ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC证明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC , d=2R1sinB=2R2sinC , R1/R2=si nC/si nB=c/b.又 BD=2R1si nBAD , CD=2R2s in CAD ,/ CAD= / BAD , BD/CD=R1/R2=c/b=AB/ACtan x (&+c-iE)11、内切圆半径r=2三、三角形的重心1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 : 1。2. 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积

9、相等。3. 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为X1 - X2 X3 y1y2 y3 。3 35. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。6. (莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G,点P为其内部任意一点，贝U4 AP2 BP2 CP2 AB2 BC2 CA2PG2397. 在三角形 ABC中，过重心 G的直线交 AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=38. 从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点AB为R，则P均在以重心G为圆心，r四、三角形的垂心 证明垂心定理 分析我

10、们可以利用构造外心来进行证明。证明 如图，AD、BE、CF为厶ABC三条高，过点 A、B、C分别作对边的平行线相交成ABC,显然AD为BC的中垂线；同理BE、CF也分别为 AC、AB的中垂线，由外心定理，它们交于一 点，命题得证.BC218CA为半径的圆周上A设厶ABC的三条高为 AD、BE、CF，其中D、 E、F为垂足，垂心为 H，角A、B、C的对边分别 为 a、b、c, p=（a+b+c）/2 .1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角 形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角 形外2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或 者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对

11、称点，均在 ABC 的外接圆上。4、 ABC中，有六组 四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形，且 AH-HD=BH HE=CH HF。5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为 一一垂心组）。6、 ABC , ABH , BCH , ACH 的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中，过H的直线交 AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP - tanB+AC/AQ - tanC=tanA+tanB+tanC 。8、设O, H分别为 ABC的外心和垂心，则/ BAO= / HAC，/ ABH= / OBC，/ BCO= / HCA。9、 锐角三角形的

12、垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三 角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）。11、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件 是该点落在三角形的外接圆上。12、设锐角 ABC 内有一点P ,那么P是垂心的充分必要条件是 PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA 。13、 设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC , CA , AB上的射影，H1 , H2 , H3 分别为 AE

13、F , BDF , CDE 的垂心，贝U DEF H1H2H3。14、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。15、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。(垂心伴随外接圆，必有平行四边形)推论(垂心余弦定理)：锐角三角形 ABC 的垂心为 H ,则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R(可引入有向距，推广到任意三角形)16、 等边三角形的垂心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分 之二。17、 垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量(与外心一样)： d“2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点

14、向量的点乘。C1 =d2d3， c2=d 1d3， C3=d1d2； c=C1+C2+c3。垂心坐标：(C1/C , C2/C , C3/C ) ABC 中，A(X1, yJ,B(X2, y2),C(X3, y3)， 垂心 H(m,n);分别做高线：AH丄BC;BH1 AC;Ximy2 *X2X31且垃丄乞上 x2 m x1 x3KAFDBCMI2I E解得:2 2 2 2 2 2X2*y1X3X2y2X1X3%x/zy?XzXsy?%y?讨2W丫3%y?%屮出影2x3X2y1X3y2x2畑？y1222222X1%y2X2y2y3蚂、人丫3畑创、*計計2X2X3X3X1X2X1人 X3X3X2

15、X$2*2丫3 X3% 人y *2丫1 心2五、三角形的旁心1:三角形的一条内角平分线 与其他两个角的外角平分线交于 一点，该点即为三角形的旁心。2 :旁心到三角形三边的距离 相等。3:三角形有三个旁切圆，三 个旁心。旁心一定在三角形外。4 :直角三角形斜边上的旁切 圆的半径等于三角形周长的一半。5: ABC的内心为I ,而BC,CA, AB边外的旁心分别为1 1, 1 2 1 3(1)、ABBDBNACDCNC ；MlMI1MB MC ； KI 2 Kl3 KBAD2ABAC DB DC ； AN2 NBABACAD AM AN AK ；AlI1M;(称为对称比定理).IDMDMlMBMC

16、,(俗称“鸡爪”定理).1 16： S ABC -(a b c)r 一(b c a)r1BIC2、KC ；、(5)、7 :旁心与内心的关系NC AB AC ；A ；2 ；交BC于N，显然，三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直，并且有AA, BI2C21-(a c b) r22如图，I ABC的内心，I A, lB，lc是厶ABC的三个旁心。注意：I Al ,1 Bl Jcl的中点D、E F都在 ABC外接圆上。这一点对内心来确定旁心的位置大有作用。1又由内心张角公式得：BIC 扌( BAC)，1又因为Ia、C I、B四点共圆，故BIaC -( BAC)1同理，AIBC( ABC);1AIC

17、B -( ACB)这便是旁心张角公式&旁心于半周长(P)形影不离如图：lA是厶ABC的旁心，作I AE垂直于AB于E, IA F垂直于AC于F。易得：BE=BD,CF=CD,AE=AF,AE+AF=(AB+BD)+(AC+CD)=AB+BC故AAE=AF=p9:旁心与三角形三个顶点构成三组三点共线如图：Ia，Ib，Ic分别是 ABC的三个旁心，由于 AIb，AIc是对顶角的平分线亦 为反向延长线，故Ib，A, lc三点共线。特别性质：1三角形所在平面内一点的向量与面积关系结论： 设O点在 ABC内部，若mOA nOB rOC Om,n,r R ，则S BOC : S coa : Saob m

18、: n : r证明：已知O点在ABC内部，且mOA nOB rOC Om,n,r R设：mOAOD, nOBOE,rOCOF，则点ODEF的重心,111乂 S bocS EOF ，S aocS DOF ， S AOBS DOE，nrmrmnSboc : S coa : Saobm: n : r说明：此结论说明当点 O在 ABC内部时，点O把 ABC所分成的三个小三角形的面 积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关 系式前面的系数之比。0 ,贝y ABC的面积与OBC的面积之比是：A. 2: 1B. 3： 1C. 4： 3D. 3： 2应用举例：设点O在 A

19、BC内部，且分析：由上述结论易得：S boc : S coa : Saob4:1: 1，所以s ABC : SOBC6 : 4 3 : 2 ,故选D当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。引申：设0点在 ABC内部，且角 A, B,C所对应的边分别为 a,b,c结论1若0为 ABC重心，则OA OB 0C 0分析：重心在二角形的内部，且重心把ABC的面积三等分.结论2:O为ABC 内心，贝U aOA bOBcOC 0分析：内心在二角形的内部，且易证Saboc:coa： Saob= a : b : c结论3：O为ABC的外心，贝U sin2AOAs

20、in 2BOBsi n2COC 0分析:易证 9 boc： Scoa： 9 AOB=sin2A： sin2B：si n2C.由结论3及结论：0为 ABC的外心，H为 ABC的垂心，则OH OA OB 0C可得结论4。结论4：若H为ABC垂心，贝Usin2B sin2C sin 2A HAsin2A sin2C sin2B HBsin2A sin 2B sin2C HC 0即 sinAcosBcosCHA sin BcosAcosCHB sinCcosAcosBHC 0证明：对任意 ABC有OH OA OB OC，其中O为外心，H为垂心， HA OB OC , HB OA OC HC OB OA

21、则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数X, y,z ,使得xHA yHB zHC 0,即yzOAz x OBxyOC0 ,由 结 论 3 得sin 2AOA sin2BOBsi n2COC0y zsi n2Axsi n2Bsi n2Csin 2A所以有：z Xsin2B ,ysi n2Csin 2Asi n2Bx ysin2Czsin 2Asi n2Bsi n2C所以可得r*sin2B sin2C sin2A HA sin2A sin2C sin2B HB sin2A sin2B sin2C HC 0化简后可得：si nAcosBcosCHA si nBcosAcosCHB si

22、 nCcosAcosBHC 0应用举例: 例1:已知0为 ABC的内心，且2OA 3OB 4OC 0 ,则角A的余弦值为分析：由结论2可得a:b:c 2:3:4，所以由余弦定理可得:16 9 47cos A -2 3 48例2 :已知 ABC的三边长为AB 1, BC6,CA 2，设ABC的外心为O ,若AO sAB tBC，求实数s,t的值。分析：AO sAO OB t BO OC，整理后即得:OAobs 1tOC s 1由结论3可sin 2Bsin 2Asin 2Csin 2Asin2A 仝闾 n2B8Hin2C 口416s ?,t5点评：此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组:A

23、OABAOBC2 sAB tBC AB - 2sAB BC tBC解方程组可得结果。例3：设H是 ABC的垂心，当 AB AC 5, BC 6时，AHmABnBC，求实数0.而B C，整理后得:sin AcosBcosC HA sinBcosAcosCHB sinCcosAcosBHC1 cosA HA cosAHB cosAHC 0由 AH mAB nBC，可得 m 1 HA m n HB nHC 0,m nncosA八 25 25 367m 1m 11cosA而 cosA2 5 525，解得14 m, n327, m3221 n32点评：此题的通用解法应该是仿例2的点评,构造与基底相关的方

24、程组。通过这样的思考、探究，不仅得到了与三角形的“四心”相关的有用结论，更为重要的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助，正契合了新课标对学生能力的要求。所以在平时的教学中要注意引导学生经常做一些类似的思考与探究，将极大地提高学生的数学素质及思维能力。特别性质：2三角形四心与面积关系).其中 AOB , AOC设O是 ABC内任一点，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系。并设 A(p,0),B(qcos ,qsin ),C(rcos , rsin显然OB,OC不共线，由平面向量基本定理，可设OA xOB yOC(x,y R),则p xq cos0 xq sinxyrcos解得

25、 yr sinpsi n qsi n()psi n rsin()qr sin()OA pr sin OBpq sin OCAOB,AOCBOC 2(),si n BOC sin(S BOC OA S AOC OB S AOB OC即 S BOC OAS AOC OB S AOB OC 0(i)若 O 是 ABC 的内心，贝U S BOC : S AOC : SBOCAOC -aob a： b: c故 aOA bOB cOC 0或 sin AOAsin BOBsin COC 0必要性得证同时还可得到以下结论(ii)若O是S BOCABC的重心，则S AOC SAOB1S3 ABC故OAOB OC 0(iii)若O是ABC的外心则 S boc: S aoc : S aob sin BOC :sinAOC :sinAOBsin2A : s