双曲线及其标准方程教案

1、双曲线及其标准方程（第一课时） 教学目标： 1 掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义； 2 能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标准方程； 3 能解决较简单的求双曲线标准方程的问题； 4 培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。 教学重点：双曲线的定义和标准方程。 教学难点：双曲线标准方程的推导过程。 教学过程： 一、创设情景，弓I入新课： 师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点Fi（ 1,0）和F2（1,0），定圆Ci的圆心为Fi， 且半径为r，动圆C2过定点F2，且与定圆相切。 （1）若r 4，试求动圆圆心的轨迹；（2）若r 1,试求动

2、圆圆心的轨迹。 （教师结合几何画板演示分析）： 师：当r 4时，我们得到的轨迹是什么？ 生：是椭圆。 师：为什么？ 生：因为当r 4时动圆C2内切于定圆C1，所以两个圆的圆心距MF1满足MF14 MF?，移项后可 以得到：MF1| |MF2 4满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以 F1、F2为定点，4为定长的椭圆。 师：很好。那么，当r 1呢，此时动圆C2与定圆6相切有几种情况？ 生：有两种情况：内切和外切。 师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距 MF1满足 MF1 1 MF2，移项后可以得到：MFj M

3、F? 1。（教师演示轨迹） 师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距 MF1满足 mfJ |mf2 1，移项后可以得到：mf/ |mf2 1。（教师演示轨迹） 师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足 mfJ |mf2 1即|mfJ |mf 1，圆心的轨迹我们称之为双曲线。 二、新课讲解： 1、定义给出 师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？ 生：双曲线是到平面上两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫 做双

4、曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支， 什么情况下表示的是双曲线的左支？ 生：当MF1I MF? 2a时，表示的是双曲线的右支，当MF|MF22a时，表示的是双曲线的左支。 2、定义探究 （教师引导学生分情况讨论）： 师：这个常数2a有没有限制条件？ 生：有。这个常数2a要比焦距F1F2小。 师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下： （1） 若a=0，则有mfMF? 0即mfJ |mf2，此时轨迹为线段的中垂线； （2） 若2a= F1 F2 ,则有MFMF?F1F

5、2，此时轨迹为直线F1F2上除去线段F1 F2中间部分，以F1、 F2为端点的两条射线； （3）若2a F1F2 ,则根据三角形的性质，轨迹不存在。 3、双曲线标准方程的推导过程： 师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动， 共同推导之） 第一步：建立直角坐标系； 第二步：设点：设M（x，y），焦点分别为F1（ c,0）和F2（c,0），M到焦点的距离差的绝对值等于 2a； 第三步：启发学生根据定义写出 M点的轨迹构成的点集： p m|mf1 第四步：建立方程： MF22a ； J(x c)2 y2 J(x c)2 y22a ； 第五步：化简，得到

6、产b 1（a 0，b 0） 教师强调：我们得到了焦点在X轴上，且焦点是Fi（ c,0）和F2（c,0）的双曲线标准方程为 22 xy T22 ab 1(a 0,b 0)，这里 c2 a2 b2 师：那么如果焦点在y轴上呢？（学生练习） 2 2 生（练习后）：此时的标准方程应该是 每 笃1（a 0,b 0）。 a b 4 .双曲线标准方程的探讨： 师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关 系如何？是不是a b ? 生：a、b、c满足等式c2 a2 b2，所以有a2 c2 b2，可以得到a,b c，但不能判断a b。 师：很好。我们在求双曲线标准方程

7、过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根 据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？ 2 2 2 2 生：由于焦点在X轴和y轴上标准方程分别为笃笃1和笃与1，我们发现焦点所在轴相关 a ba b 的未知数的分母总是a,所以可以由a来判定。 2 2 师：很好。如果我们知道的方程是 Z 厶1，那么你如何寻找a? 32 生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了 2 2 师：如果方程是y 1呢？ 32 生：先化成标准方程。 师：请同学总结一下。 生：化标准，找正号。 5.运用新知： 2 2 【练习】已知方程J 1表示双曲线，则m的取值范围是，此时双曲线的焦点坐 9 m

8、1 标是，焦距是； 【变式】若将9改成2 m，则m的取值范围是。 【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为FN 5,0）、F2 （5,0），双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的 绝对值等于6，求双曲线的标准方程。 解：因为双曲线的焦点再X轴上，所以设它的标准方程为 2 X 2 a 2 y b2 1(a0,b 0)， 因为 2a=6, 2c=10,所以 a=3，c=5。 所以 b2523216， 所以所求双曲线的标准方程为 2 y_1。 16 【变式】已知两个定点的坐标为 轨迹方程。 解：因为PF1 |PF2 x2 y2 221(a0, b a b Fi( 5,0)、 0), 2 X 9 F2(5,

9、0)，动点P到F1、F2的距离的差等于6，求P点的 P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为 因为 2a=6, 2c=10，所以 a=3，c=5。 所以 b2523216 , 2 所以所求P点的轨迹方程为- 9 【例2】已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为(3, 4 2)(-,5)，求双 4 曲线的标准方程。 解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 2 2 与笃 1(a 0, b 0), a b 因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程，代入得： 看1 b2 9 2 可解得：a2 b 4 产1 (4 2)2 25 -2 a 52 2 y 1(x 3)。 16 a2 16 。 9 所以所求双曲线得标准方程为: 2 y 16 2 X 1 I 。 9 【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为(3, 4. 2)、(舟,5)，求 双曲线的标准方程。(分情况讨论) 【练习】(1) ABC 边两个端点是B(0,6)和C(0, 6)，顶点A满足AB AC 8 , 求A的轨迹方 程。 (2) ABC 一边的两个端点是B(0,6)和C(0, 6)，另两边所在直线的斜率之积是-，求顶点A 9 的轨迹。 三、本课小结： 师：我们总结一下本