动能及动能定理典型例题剖析

1、动能和动能定理、重力势能典型例题剖析 例1一个物体从斜面上高 h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停 止，量得停止处对开始运动处的水平距离为S,如图8- 27,不考虑物体滑至斜面底端的 碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的摩擦因数相同求摩擦因数“ 罠1 8-2T 思路点拨以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，考查全过 程中物体的动能没有变化，即 EK=0因此可以根据全过程中各力的合功与物体动能的变 化上找出联系. 解题过程 设该面倾角为a,斜坡长为I,则物体沿斜面下滑时， 重力和摩擦力在斜面上的功分别为二* sine;=吨h, COSCd. 物体在平面上滑行时仅有摩擦

2、力做功，设平面上滑行距离为S2,则 W自=-mgS2. 对物体在全过程中应用动能定理：工W=A Ek mgl sin- a mgl c a mgS2=0 得h a S a S2=0 式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离故 h h P =. 小结本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分 别为匀加速运动和匀减速运动.依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题.比较上 述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性.用动能定理解题，只需抓住始、 末两状态动能变化，不必追究从始至末的过程中运动的细节，因此不仅适用于中间过程为 匀变速的，同样适用于中间过程是变加速的

3、.不仅适用于恒力作用下的问题，同样适用于 变力作用的问题. 例2 质量为500t的机车以恒定的功率由静止出发，经 5min行驶2.25km，速度达 到最大值54km/h，设阻力恒定且取 g=10m/s2 .求：机车的功率 P=? (2)机车的速度为 36km/h时机车的加速度 a=? 思路点拨因为机车的功率恒定，由公式P=Fv可知随着速度的增加，机车的牵引力必 定逐渐减小，机车做变加速运动，虽然牵引力是变力， 但由W=Pt可求出牵引力做功，由 动能定理结合P=fvm，可 卩 求出机车的功率利用求出的功率和最大速度可求阻力，再根据F =, v 求出36km/h时的牵引力，再根据牛顿第二定律求出机

4、车的加速度a. 解题过程(1)以机车为研究对象，机车从静止出发至达速度最大值过程，根据W=A Ek 有 宀 1 , Pt-宀二严爲 当机车达到最大速度时，F=f所以 P=F vtn =f * vm.(2) 朕立(1)、(2)式有卫二仍心沪砥 2(畑t - 3) P一 * 心 由f二丄可求岀机车受到的阻力 f = = 2.5X W4 N. VjH 当机车速度v=36km/h时机车的牵引力 p=P= 175X10 = 375X1o4n_ y W 根据工F=mj可得机车v=36km/h时的加速度 500X 1()3 小结 机车以恒定功率起动，直到最大速度，属于变力做功的问 題.由于阻力恒定所以机车在

5、任一时刻运动的加速度 mv m 由于速度增大导致加速度减小， 汽车做加速度逐渐减小而速度逐渐变大的变加速运动.此 类问题应用牛顿第二定律求解，在中学物理范围内是无法求解的.但应用动能定理求解变 力做功，进而求解相关物理量是一种简捷优化的解题思路与方法. 例3 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳 PQ提升井中质量为 m的物体，如图8-28所 示：绳的P端拴在车后的挂钩上， Q端拴在物体上，设绳的总长不变；绳的质量、定滑轮 的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并 且是竖直的，左侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从 A经过B驶向C.设 A到B的距离也为H,

6、车经过B点时的速度为vB.求车由A移到B的过程中，绳 Q端的 拉力对物体做的功？ 思路点拨汽车从A到B把物体提升的过程中，物体只受到拉力和重力的作用，根据 物体速度的变化和上升的高度，特别是汽车运动速度vB与物体上升过程中的瞬时速度关 系，应用动能定理即可求解. 解题过程以物体为研究对象，开始动能Ek1=0,随着车的加速拖动，重物上升，同时 速度在不断增加当车运动至B点时，左边的绳与水平面所成角0 =45；设物体已从井底 上升高度h,此时物体速度为 vQ,即为收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量， 如图8- 29 _麗 、亠 亦= VE1 = VB * CO245 = 设汽车拉力对物体所

7、做的功为W. 因为物体上升高度h= -H = （72-0 H. cosn 所以 W = mgG/2 - 1） H + =+mg（72 - 1） H. 小结 此题需明确：速度分解跟力的分解相似，两个分速度方向应根据运动的实际效 果确定车子向左运动时，绳端（P）除了有沿绳子方向的分运动外 （每一瞬间绳均处于张紧 的状态），还参与了绕定滑轮 o的转动分运动（绳与竖直方向的夹角不断变化 ），因此还应 该有一个绕 O点转动的分速度，这个分速度垂直于绳长的方向.所以车子运动到B点时 的速度分解如图 8 29所示，有 vQ=vB仁vBco0 =vBcos45. 例4 在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒

8、力甲推这一物体，作用一段时 间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体. 当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同 时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为 32J,则在整个过程中，恒力甲做的功和恒力 乙做的功各等于多少？ 思路点拨由题意：物体先做匀加速运动，后做匀减速运动回到原处.整个过程中的 位移为零，根据牛顿第二定律和运动学公式，即可确定两个力的大小关系，然后根据全过 程中两个力做功和动能的变化即可得解. 解题过程 物体从静止受水平恒力 F甲作用，做匀加速运动，经过一段时间t后的速度 为 勺= 此后物体竟反方向水平恒力F乙作用7做匀减速运动，七二巨， m 经时间t后回到原处，前后两段时间内的位移

9、大小相等，方向相反，所以 因此F乙=3F甲. 设在F甲作用下物体的位移为 S,对全过程应用动能定理 F甲S+ F乙S=A E代入F乙=3F 甲，F甲S+ 3F甲 S=A E所以恒力甲和乙做的功分别为 1 、 1 W甲千 S =-X32 = 8Jf S = S = | X 32 = 24J. 小结 本题属多阶段物理过程求功问题，运动往复性的不同阶段有不同的恒力作用， 运用功能定理从整体上考证功能转换比从力和运动关系去研究要简便.当然此题也可根据 两个力作用时间相同、 两个物理过程中的位移大小相等，由平均速度的大小相等找出两者 末速度的关系求解；也可以利用v t图线更直观地得到启发，根据图线上下方

10、与t轴间 的面积相等求两段加速度之比，进而求解. 例5如图8 30所示，长为L,质量为ml的木板A置于光滑水平面上，在 A板上 表面左端有一质量为 m2的物块B, B与A的摩擦因数为 仏A和B 一起以相同的速度 v 向右运动，在 A与竖直墙壁碰撞过程中无机械能损失，要使B 一直不从A上掉下来，v 必须满足什么条件（用ml、m2、L、表示）？倘若V0已知，木板B的长度L应满足什么 条件（用ml、m2、VO、卩表示）? r r r B 畀V r r r _11 广 ，- 圈 d-30 思路点拨A和墙壁碰撞后，A以大小为v的速度向左运动，B仍以原速向右运动以 后的运动过程有三种可能：若ml m2，则

11、ml和m2最后以某一共同速度向左运动； （2）若m仁m2,则A、B最后都停在水平面上，但不可能与墙壁发生第二次碰撞；（3）若ml v m2，则A将多次和墙壁碰撞、最后停在靠近墙壁处. 解题过程 若ml m2,碰撞后的总动量方向向左，以向左为正方向，系统A p=0 m1v m2v=（m1 + m2）v ； 所以 竝_呵 mi + ma 若相对静止时B刚好在A板右端，则系统总机械能损失应为卩m2gL则功能关系为 1 2 1 2 1 -mLv +-m2v -(fin +ni2) (mi 一ni2)2 / F 4护一 g込 (mi +m2) 解得 1 卩 gL(nii +叫) 7_ 若VO已知，则板长 L应满足 g迅.二知+叱用如f力詈蕃晞 所以 B在A的右端， 若m仁m2，碰撞后系统总动量为零，最后都静止在水平面上，设静止时 始终向右运动，设最后 A静止在靠近墙壁处, B静止在A的右端，则有 所以 若V。己亂 则板长L应为匸=（叫十曲 B相对于A 若ml v m2,则A与墙壁将发生多次碰撞，每次碰撞后总动量方向都向右，