中考动点问题专题教师讲义带答案

1、中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ，它们在线段、射线 或弧线上运动的一类幵放性题目解决这类问题的关键是动中求静 ，灵活运用有关 数学知识解决问题 “动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能 力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对 称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解 题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观

2、察图形的变化情况， 理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是 解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学 本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 ，是初中数学的重要内容 动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化 ，引 起未知量与已知量间的一种变化关系 ，这种变化关系就是动点问题中的函数关系 例1（ 2015?兰州）如图，动点 P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立 即按原路返回，点 P在运动过程中速度不变，则以点 B为圆心，线段

3、BP长为半 径的圆的面积S与点P的运动时间 A.B. 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系 式，根据关系式可以得出结论. 解：不妨设线段ab长度为i个单位，点p的运动速度为i个单位，贝y： (1) 当点 P 在 AB 段运动时，PB=1-t，S=n ( 1-t) (2015?白银)如图，。O的圆心在定角/ a (00) 变化的函数图象大致是() ( 0K 1); (2) 当点 P 在 BA 段运动时，PB=t-1，S=n (t-1 ) 2 ( 12 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=n (t-1 ) 2 (0 t 0)， MPQ的面积为 S. (

4、1) 点A的坐标为，直线I的解析式为； (2) 试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的 t的取值范围； (3) 试求(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值； (4) 随着P，Q两点的运动，当点 M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直 线I相交于点N，试探究：当t为何值时， QMN为等腰三角形？请直接写出 t 的值. 思路分析：(1)利用梯形性质确定点 D的坐标，利用sin / DAB二特殊三角函 2 数值，得到 AOD为等腰直角三角形，从而得到点 A的坐标；由点A、点D的坐 标，利用待定系数法求出直线I的解析式； (2) 解答本问，需要弄清动点的运动过程： 当0 v

5、 t冬时，如答图1所示； 当1 v t冬2寸，如答图2所示； 当2 v tv 16时，如答图3所示. 7 (3) 本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据(2)中求出的S 表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值； (4) QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解. 解：(1 )T C (乙 4)，AB / CD， - D (0 , 4). sin / DAB= -1-, 2 / DAB=45 , OA=OD=4 , -A (-4, 0). 设直线I的解析式为：y=kx+b，则有 b 4 -4k b 0， 解得：k=1 , b=4 , y=x+4 . 点A坐标

6、为(-4 , 0),直线I的解析式为：y=x+4 . (2)在点P、Q运动的过程中： BC=5 . 过点 Q 作 QE 丄x 轴于点 E,J则 BE二BQ?cos / CBF=5t? - =3t 5 PE=PB-BE= (14-2t) -3t=14-5t , S= 1 PM?PE= 1 X2t X( 14-5t) =-5t2+14t; 2 2 当1 v t冬2寸，如答图2所示: 答图2 过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为 F, E, 则 CQ=5t-5，PE二AF-AP-EF=11-2t-( 5t-5)=16-7t， 112 S= 1 PM?PE= 1 X2t X( 16-7t) =-7t

7、2+16t; 22 当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7， 即(2t-4 ) + (5t-5 ) =7，解得 t= 16 . 7 11 S= 1 PM?MQ= 1 X4X (16-7t) =-14t+32 . 22 (3) 当 0 v t 冬1时,S=-5t 2+14t=-5 (t- ) 2+坐 55 a=-5 v 0，抛物线幵口向下，对称轴为直线 t=-， 5 当0vt冬时，S随t的增大而增大， 当t=1时，S有最大值，最大值为 9; 当 1 vt EM C .当x增大时，EC?CF的值增大 D .当y增大时，BE?DF的值不变 2. D 3 . （2015?盘锦）如图，将边长为4的正方

8、形ABCD的一边BC与直角边分别是2 和4的Rt GEF的一边GF重合.正方形 ABCD以每秒1个单位长度的速度沿 GE向右匀速运动，当点 A和点E重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间 为t秒，正方形ABCD与Rt GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为 （ ） 3. B 4 . (2015?龙岩)如图，在平面直角坐标系 xOy中，A (0, 2), B ( 0, 6),动点 C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的 个数是() A. 2B . 3 6. 如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm BC=6cn,点P沿AB边从点A幵始向 点B以2厘米/

9、秒的速度移动；点Q沿DA边从点D幵始向点A以1厘米/秒的 速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0 t 6)，那么： (1) 当t为何值时，三角形 QAP为等腰三角形？ (2) 求四边形QAPC勺面积，提出一个与计算结果有关的结 论； (3) 当t为何值时，以点 Q A、P为顶点的三角形与 ABC 相似？ 分析：(1)当三角形QAP为等腰三角形时，由于/ A为直角, 只能是AQ=AP建立等量关系，2t 6 t，即t 2时，三角形QAP为等腰三角 形； (2) 四边形QAPC的面积二ABCD的面积一三角形QDC的面积一三角形PBC 的面积 1 1 12 612 x (122x) 6

10、 =22=36,即当P、Q运动时，四边形QAPC勺面积 不变。 (3) 显然有两种情况： PAWA ABC QAPA ABC 2x 12 2x 6 由相似关系得 厂 云或 厂，解之得x 3或x 1.2 7. (2015年南安市)如图所示，在直角坐标系中，矩形 ABCD勺边AD在x轴上，点A在原点，AB= 3，AD= 5 .若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动.同时点 P从A点出发以每秒1个单 位长度沿A- B- C D的路线作匀速运动.当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动. 求P点从A点运动到D点所需的时间; 设P点运动时间为t (秒). 当t = 5时，求出点P的

11、坐标; 若OAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式(并写出相应的自变量t的取值范围). 解：(1) P点从A点运动到D点所需的时间=(3+5+3)+ 1= 11 (秒).卩门 (2)当t = 5时，P点从A点运动到BC上，此时 OA=10,AB+BP=5二BP=2.D占 过点 P 作 PEL AD 于点 E,贝U PE=AB=3,AE=BP=2. OE=OA+AE=10+2=1.2.点 P 的坐标为(12, 3). 分三种情况： .当0Vt 3时，点P在AB上运动，此时 OA=2t,AP=t , .当 3 V t 8 时，点 P 在 BC 上 运动，此时 OA=2t,. s=2 X 2t

12、 X 3=3 t. .当 8 V t V 11 时，点 P 在 CD上运动，此时 OA=2t,AB+BC+CP= t, 1 综上所述，s与t之间的函数关系式是：当 V 11 时，s=- t 2+11 t . 0Vt 3 时, s= t 2;当 3vt 8 时, s=3 t ;当 8 V t 8.(2014 济南)如图 在梯 形 ABCD 中 AD / BC, AD 3, DC 5, AB 2,Z B 45 .动点M从B点出发沿线段 BC以每 秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1 DP=(AB+BC+CD( AB+BC+CP)=11- t. s= 2 X 2

13、t X (11 - t)=- t2+11 t. 个单位长度的速度向终点 D运动.设运动的时间为t秒. (1) 求BC的长. (2) 当MN / AB时，求t的值. (3) 试探究：t为何值时， MNC为等腰三角形. 解：(1)如图，过A、D分别作AK BC于K , DH BC于H，则四边形ADHK 是矩形 KH AD 3. 在 RtA ABK 中, AK ABgsin454, 2.2 4 BK ABgcos45 4,視2 4 在 RtACDH 中, 由勾股定理得，HC . 52 42 3 BC BK KH HC 4 3 3 10 (2)如图，过D作DG / AB交BC于G点，则四边形 ADGB

14、是平行四边 MN / AB MN / DG BG AD 3 GC 10 3 7 (图) 由题意知，当 M、N运动到t秒时，CN t，CM 10 2t. (图) DG / MN MNCGDC .cn CM CD CG 即1 口 5 7 解得，t 50 17 (3)分三种情况讨论: 当NC MC时，如图，即t 10 2t 2t 5 2 10 由等腰三角形三线合一性质得 EM （I图）5 t t 3 5 2mc （图） 在 RtCEN 中，cosc 又在RtA DHC中, NC CH cosc CD .5 t t 解得t 3 5 25 8 解法二: / C / C, DHC NEC 90 NC EC

15、 即 t 5 t DC HC 5 3 25 t 一 -8分 8 当MN MC时, 如图, 过 M作MF 解法- 一：（方法同中 係法- -） cosC FC 1t 丄- 3 解彳 得 t 60 MC 10 2t 5 17 解法二 / C / C, MF :C DH IC 90 NEC DHC MFC DHC CN 于 F 点.FC - NC -t 2 2 （图） 1 FC MC 即 2!10 2 HC DC35 60 17 综上所述，当t 10、t罟或t等时， MNC为等腰三角形9分 9.（2015年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4,0），/AOC=60

16、 , 垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线 l与菱形 OABC的两边分别交于点 M N（点M在点N的上方）. 1. 求A、B两点的坐标; 2. 设AOMN的面积为S,直线I运动时间为t秒（0 t 6），试求S与t的函数表达式; 3. 在题 的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少? 1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标. 解：四边形 OABC为菱形，点C的坐标为（4,0）, OA=AB=BC=CO=4图，过点 A 作 ADL OC于 D. v/ AOC=60 , OD=2 AD= 一 . 2.分析：直线I在运动过程中，随时间

17、t的变化， MON的形状也不断变化，因此，首先要把所 有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一 直线I从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形 OABC勺两边相交有三种情况: 0Wt W2 2vt 4 4Vt 6 时, 直线l 1与OA 时, 直线l 1与AB 时， 直线l 1与AB OC两边相交（如图）. OC两边相交（如图）. BC两边相交（如图）. 1 S ON- MN=2 t2. 略解： v MNL OC ON=t. MN=ONtan6 = 無 1 1 S= ON- MN= 方法一：设直线 I与x轴交于点H. / MNk (t_4)=6 1 1 S

18、= MN- OH= (6 =t)t=- t2+3 t. (t-4)=2 |4-8 | 一广， S=8的-（的t-2耳）-（2工代卜8 启 )-(18 (6-t)(6-t)=18 -6 t+ : t2 t+ 7 t2, t. 方法二：设直线 I与X轴交于点 H. V S=SaomhS onh 2+3 方法三：设直线I与x轴交于点H. v S=： 宀 ：-7 ：-; -(t -2)= flOASC=4x3 =8J,乱曲=了 .2耳 3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值 略解：由2知，当OWt W2时, 只 =:.X2 2= 当2Vt4时, -賢 一；=4

19、 当t=3时，函数S=- t2+3：t的最大值是- B Q 0爲 当4Vt 6时，配方得S=- 2 (t-3) 2+ 2 爲 E9爲 3 t2+3 霍 3 t的最大值不是 但t=3不在4Vt 6内，.在 4Vt 3时，函数S=- 2+3t 随t的增大而减小，.当 4Vt W6时，SV 43 综上所述，当t=4秒时, 丄=4一 . 10. （2014年福建晋州）如图，在平行四边形ABCD中, AD=4cm / A=60, BDLAD.一动点 P从A出 发，以每秒1cm的速度沿AtBC的路线匀速运动，过点 P作直线PM使PMLAD. 1当点P运动2秒时，设直线 PM与AD相交于点丘，求厶APE的面

20、积; 2.当点P运动2秒时，另一动点 Q也从A出发沿Atb的路线运动，且在 AB上以每秒1cm的速 度匀速运动，（当 P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动 点Q运动的时间为t秒（0W t W 8）,直线 PM与 QN截平行四边形 面积为S ）过Q作直线QN使QN/ PM设 ABCD所得图形的 (cm2). (1) S关于t的函数关系式; S的最大值. 此题为点动题，因此，1）搞清动点所走的路线及速度, 1.分析： 分析在运动中点的几种特殊位置 这样就能求出相应线段的长; 2) 由题意知，点P为动点，所走的路线为：AtBtc速度为1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值, 进而求出厶APE

21、的面积. 略解：由 AP=2，/ A=60 得 AE=1, EP=J- 因此 2.分析：两点同时运动，点 2cm.P在AB边上运动后，又到 情况： P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离相差总是 BC边上运动.因此PM QN截平行四边形 ABCD所得图形不同故分两种 （1）当P、Q都在AB上运动时，PM QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形 此时 0W t W 6. 所成图形为六边形DFQBPG不规则 当P在BC上运动，而 Q在AB边上运动时，画出相应图形, 图形面积用割补法此时6v t W 8. 略解：当P、Q同时在AB边上运动时，OW t 6. AQ=t,AP=t

22、+2, AF=亍 t,QF=飞 t,AG=W (t+2). 由三角函数 PG= (t+2), FG=AG-AF= (t+2)- LL遇遇 t=1.S = 2 - (QF+PG) FG=2 2 t+ 2 (t+2)仁 当6Vt 易求S 平行四边形abc=16 - ,S 4AQ= 而 Sacg= _ 2 AF- QF=覆 t2. 亍 PC- PG,PC=4BP=4-(t+2-8)=10-t. PC PG CG 由比例式肚即QD可得 10 -t PG CG 44 S 1 1 =7 PC- PG=2 PG= L (10- t). *S CGI (10- t) 於(10-t)= (10-t) 2. S=

23、1 (10-t) (6 Vt 8 分析：求面积的最大值时，应用函数的增减性求若题中分多种情况，那么每一种情况都要分别 求出最大值，然后综合起来得出一个结论 此题分两种情况，那么就分别求出Ot 6和6Vt 8时的 最大值.0 t 6时，是一次函数，应用一次函数的性质，由于一次项系数是正数，面积S随t的增大而 增大当6 Vt 8时,是二次函数，应用配方法或公式法求最值 . 略解：由于 由于s=呂 所以t=6时，S最大= (6 V t 8,所以 t=8 时， S最大=6 综上所述,当t=8时，S最大=6_,- 11. (2015 年上海)如图，在厶 ABC中, / BAC=90 ,AB=AC=22

24、, O A 的半径 为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x, AOC勺面积为 (1) 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域. (2) 以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当O O与O A相切时， bohc 图8 AOC勺面积. / BAC=90 ,AB=AC=22 ,二 BC=4,AH=! BC=2. 2 OC=4-x. 1 :SAOC-0CAH， y x 4 (0 x4). (2)当。0与。A外切时， 在 Rt AOH中 ,OA=x 1,OH=2 x, .(x 1)222 (2 x)2. 解得x 此时， AOC勺面积y： 7 二 4- 17 6 石. 当。O与。A内

25、切时 在 Rt AOH中 ,OA=x 1,OH=x 2, .(x 1)222 (x 2)2. 解得x 解: 过点A作AHL BC,垂足为H. 7 6 此时, AOC勺面积y = 4 7 -. 2 2 综上所述，当。0与。A相切时， AOC勺面积为17或丄. 6 2 12. (2015福建福州)如图，已知 ABC是边长为6cm的等边三角形，动点 P、 Q同时从A、B两点出发，分别沿AB BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s, 点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时 间为t (s)，解答下列问题： (1) 当t = 2时，判断 BPC的形状，并说明理由

26、； (2) 设厶BPC的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式; (3)作QR/ BA交AC于点R,连结PR当t为何值时， APFA PRQ 分析:由t = 2求出BP与BQ的长度，从而可得厶BPC的形状； 作QEL BP于点E,将PB,QE用t表示，由S bpq=- X BPX QE可得 2 S与t的函数关系式；先证得四边形EPR(为平行四边形,得PR=QE, 再由 APRA PRQ对应边成比例列方程，从而t值可求. 解： BPQ是等边三角形 当 t=2 时,AP=2X 1=2,BQ=2X 2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4, 即BQ=BP又因为/ B=60,所以 BPQ是等边三

27、角形. (2) 过 Q作 QEL AB，垂足为 E,由 QB=2,得 QE=2t- sin60 0= 3t, 由 AP=t,得 PB=6-t,所以 S BPQ=- X BPX QE=1 (6- t) X . 31=三 12+3、3 t ; 2 2 2 (3) 因为 QR/ BA,所以/ QRCA=60，,Z RQCH B=600，又因为/ C=6 所以 QRC是等边三角形，这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t. 因为 BE=BQ cos60 =丄 X 2t=t, AP=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 2 所以EP=QR又 EP/ QR所以四边形EPRC是平行四边形，所以PR=EQ=3t, 由厶APF PRQ得到空 空，即t3L ,解得t= 6, PR RQv/3t 6 2t5 所以当 t= 6 时， APRA PRQ. 5 点评:本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试 题信息量大，对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和 变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化 中的不变量、不变关系或特殊关系 ，动中取静，静中求动. 13. (2015 广州)在中，AC= 5, BO 12,/ ACB= 90, P是 AB边上的动 点(与点A、B不重合