双曲线题型归纳含(答案)

1、二、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 设P是双曲线 2 x 2 a 2 1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 9 3x 2 y 0，F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点若 | PFi | 3，则 |PF2 |( D. 9 B. 6C. 7 a的值，利用双曲线的定义求出 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出 | PF2 |的值. 2 x 解： 双曲线V a 2 才1渐近线方程为y= 3 x，由已知渐近线为3x 2y 0 , a a 2, |PF1| | PF21| 4 , |PF2| 4 |PFi |. Q| PF1 | 3,|PF2| 0, |PF2 | 7. 故选C. 归纳小

2、结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法. （二）基本量求解 例2（2009山东理）设双曲线 2 x 2 a 2 与 1的一条渐近线与抛物线 b2 1只有一个公共点, 则双曲线的离心率为（ C. B. 5 2 x 解析：双曲线 a 2 y b2 1的一条渐近线为 y bx，由方程组 a x a ，消去 y,得 x2 1 x2bx 1 a 0有唯一解，所以 K 所以 a .5，故选D . 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关 系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、 基本方法和基本技能. 切, 2 x 例3 （2

3、009全国I理）设双曲线2 a 则该双曲线的离心率等于（） 2 y b2 1 （a0, b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相 B.2 C. 5 yo 解析：设切点P（Xo,yo），则切线的斜率为 y |x X0 2xo 由题意有 y。 X0 2X0 .又有 22 b x01，联立两式解得：x01,2, e a (b)2 a .5 因此选c. 2 x 例4 （2009江西）设F-i和F2为双曲线一2 a 2 y b2 1(a 0,b 0）的两个焦点, % F2 , P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ B. D. 3 解析：由tan6 c 2b f 有3c2 4b24(

4、c2 a2)，则 e 2，故选B. 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征, 从而得出tan c 一 3 2b 3， 体现数形结 合思想的应用. （三）求曲线的方程 22 例5 (2009，北京) 已知双曲线C： b2 1(a0,b0)的离心率为.3，右准线方程 (1) 求双曲线C的方程； (2) 已知直线x y m 0与双曲线 C交于不同的两点 A, B,且线段 AB的中点在圆 2 2 C的方程；(2)将直线与双曲线方程 x y 5上，求m的值. 联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出 m的值. 2 a 解：(1)由题意，得 c 3 解得 a 1,c/3. c 3 a 2 .222几 b

5、c a 2, 所求双曲线 C的方程为x21 2 分析: 1 )由已知条件列出 a,b,c的关系，求出双曲线 (2)设A、B两点的坐标分别为xi,y1,x2,y2，线段AB的中点为Mx0,y0, 2 由x 2 y 1 2 得x2 2 2mx m 20 (判别式 x y m 0 x0 x1 % 2 m,y。 x0 m 2m, 点 M x0, y 在圆x2 y2 5上, 2 m 2m 2 5 , m 1. 0), 另解：设A、B两点的坐标分别为 x1,y1 , x2,y2，线段AB的中点为M x0,y0 , 2 1 1 1 X2)(X1 X2)尹 y2)(y1 y2) 2 2 y2 0. 2 Xi

6、，两式相减得(为 由 2 X2 由直线的斜率为1, X) 霸竺。工学 代入上式，得y0 2x0. 又M(yo,x。)在圆上，得y。2 X02 5，又M(yo,x。)在直线上，可求得 m的值. 归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识， 考查曲线和方程的 关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力. 2 2 例6过M (1,1)的直线交双曲线 1于A, B两点，若M为弦AB的中点，求直线 42 ab的方程. 分析：求过定点M的直线方程，只需要求出它的斜率为此可设其斜率是k，利用M为弦 AB的中点，即可求得 k的值，由此写出直线 AB的方程也可设出弦的两端点坐标用“点差

7、法” 求解. 解法一：显然直线AB不垂直于x轴，设其斜率是 k,则方程为y 1 k(X 1) 2 2 x_ y_ 1 由 42 消去 y 得(1 2k2)x24k(1 k)x 2k2 4k 60 y 1 k(x 1) 设Agy), B(x_, y_)，由于M为弦AB的中点， 所以x空兽1 k 1 21 2k22 1 显然，当k时方程的判别式大于零. 2 1 所以直线AB的方程为y 1-(x 1)，即x 2y 10 解法二：设 A(X1,yJ, B(x_, y_)，则 2 X1 2 y1 1 2 2 x_y_ 42 一得（Xi X2）（为X2） 2（力 y2）（yi y2） 0. 又因为XiX2

8、2,yiy 2，所以XiX22(yiy?). 2 得 XiX2i,yiy i. 若 XiX2,则 yi y，由 XiX22, yi y 则点A B都不在双曲线上，与题设矛盾，所以XiX2. 所以k 7丄. Xi x22 i 所以直线AB的方程为y i （x i），即x 2y i 0 . 经检验直线x 2y i 0符合题意，故所求直线为 x 2y i 0 . 解法三： 设 A ( X, y），由于A、B关于点M （i, i）对称， 所以B的坐标为（2 x,2 y ）, 2 y i, (2 y)2 则4 (2-x) 2 消去平方项，得x 2y i i. 0 . 4 2 即点A的坐标满足方程，同理点

9、B的坐标也满足方程. 故直线AB的方程为x 2y i 0 . 归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以 在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在. （四）轨迹问题 已知点R（Xq, yo）为双曲线 X2 8b2 i （ b为正常数）上任一点, F2为双曲线的右 焦点，过R作右准线的垂线，垂足为A,连接F2A并延长交y轴于F2.求线段Pi F2的中点P的 轨迹E的方程. 分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P是线段P F2的中点，可利 用相关点法. 解：由已知得F2（3b,0）, A（8b, y0），则直线F2A

10、的方程为：y3y0 （x 3b）. 3b 9yo，即巳（0,9y。）. Xo 设 P( X, y)， 2 yo 9yo 5yo Xo 即 yo 2x y代入 5 2 Xo 8b2 2 yo bT 1 得:竺 8b2 即P的轨迹E的方程为 2 X 2b2 2 丄1 25b (X R) 归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法. （五）突出几何性质的考查 2 2 X V 例8（ 2oo6江西）P是双曲线 916 1的右支上一点, M , N分别是圆（x 和（x 5）2 y2 1上的点，贝U |PM | | PN |的最大值为（） A.6B.7C.8D.9 解析：双曲线的两个焦点 Fd

11、5,o）与F2（5,o）恰好是两圆的圆心，欲使|PM 最大，当且仅当|PM |最大且|PN |最小，由平面几何性质知，点M在线段PF1 2 2 5） y 4 | |PN |的值 的延长线上， 点N是线段PF2与圆的交点时所求的值最大 此时 | PM | | PN | (PFi 2) (PF? 1)PF|PF2 3 9 因此选 D. 例9( 2009重庆)已知以原点 O为中心的双曲线的一条准线方程为 x 5 ,离心率e . 5 . 5 (1)求该双曲线的方程; (2)如图，点A的坐标为( . 5,0) , B 是圆 x2 (y Z5)2 1上的点，点M在双曲线右 支上，求|MA| |mb的最小值

12、，并求此时 M点的坐标 分析：(1 )比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程; (2 )利用双曲线的定义将 MA、MB转化为其它线段，再利用不等式的性质求解. (1 )由题意可知，双曲线的焦点在X轴上， 故可设双曲线的方程为 1 (a 0,b0)，设c y2 b2，由准线方程为 解得 a 1,c、5.从而b 2,该双曲线的方程为x2 （2）设点D的坐标为（.5,0），则点A、D为双曲线的焦点, D 则 |MA| |MD | 2a 2. 所以 |MA | |MB | 2 |MB | | MD | 2 | BD | 因为B是圆x （y .5） 1上的点， 其圆心为C（0,5），半径为1, 故 |BD|CD| 1,101,