华罗庚学校五年级数学(上册）教材（第915讲共15讲）

1、本系列共 15 讲第九讲“牛吃草”问题.文档贡献者： 与 你 的 缘有这样的问题，如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周。那么它可供 21 头牛吃几周？ 这类问题称为“牛吃草”问题。 解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的 ：（1）某个时间期限前草场上原有的草量；（2）这个时间期限后草 场每天（周）生长而新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来 。下面就用开头的题目为例进行分析。（见下图）从上面的线段图可以看出 23 头牛 9 周的总草量比 27 头牛 6 周的总草量多，多出

2、部分相当于 3 周新生长的草量。为了求出一周新 生长的草量，就要进行转化。27 头牛 6 周吃草量相当于 276=162 头牛一周吃草量（或一头牛吃 162 周 ）。23 头牛 9 周吃草量相当于239=207 头牛一周吃草量（或一头牛吃 207 周）。这样一来可以认 为 每周新生长的草量相当于（207162）（96）=15 头牛一周的 吃草量。需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用 27 头牛6 周的总吃草量减去 6 周新生长的草量（即 156=90 头牛吃一周的 草量）即为牧场原有的草量。所以牧场上原有草量为 266156=72 头牛一周的吃草量（或者为 239159=72）。牧场

3、上的草 21 头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21 头牛分成两部分。一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看 成专吃新生长的草。但是新生的草只能维持 15 头牛的吃草量，且 始终保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够 15 头 牛 吃 一 周 ）。 故分出 15 头牛吃新生长的草，另一部分 2115=6 头牛去吃原有的 草。所以牧场上的草够吃 726=12 周，也就是这个牧场上的草够 21 头牛吃 12 周。例 2：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果 10 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水 8 小时淘完。如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？分析与解答：这类

4、问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水 的延长而增加。所以总水量是个变量。而单位时间内漏进船的水的 增长量是不变的。船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水 量）也是不变的量。对于这个问题我们换一个角度进行分析。如果设每个人每小时的淘水量为“1 个单位”，则船内原有水 量与 3 小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量时间人 数 ， 即 1310=30。船内原有水量与 8 小时漏水量之和为 158=40。 每小时的漏水量等于 8 小时与 3 小时总水量之差时间差，即（4030）（83）=2（即每小时漏进水量为 2 个单位，相当于 每小时 2 人的淘水量）。船内原有的水量等于 10 人 3 小时

5、淘出的总水量3 小时漏进 水量，3 小时漏进水量相当于 32=6 人 1 小时淘水量。所以船内原 有水量为 3023=24。如果这些水（24 个单位）要 2 小时淘完，则需 242=12 人 。 但与此同时，每小时的漏进水量又要安排 2 人淘出，因此共需要 122=14 人。从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必 须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量。有 了这两个量，问题就容易解决了。例 3：12 头牛 28 天可以吃完 10 公亩牧场上全部牧草，21 头牛 63 天可以吃完 30 公亩牧场上全部牧草。多少头牛 126 天可以吃完 72 公亩牧场上全部牧草（每

6、公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场 每天生长草量相等）？分析：解量的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头 牛吃一天，一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。12 头牛 28 天吃完 10 公亩牧场上的牧草，相当于 1 公亩原来 的牧草加上 28 天新生产的草可供 33.6 头牛吃一天（122810=33.6）。21 头牛 63 天吃完 30 公亩牧场上的牧草，相当于 1 公亩原有 的草加 上 63 天新生 长的草可供 44.1 头牛吃 一天（ 632130=44.1）。1 公亩一天新生长的牧草可供 0.3 头牛吃一天，即： (44.133.6)(6328) = 0.3（头）1 公亩原有的牧草

7、可供 25.2 头牛吃一天，即：33.60.328=25.2（头）72 公亩原有牧草可供 14.4 头牛吃 126 天，即：7225.2126=14.4（头）72 公亩每天新生长的草量可供 21.6 头牛吃一天，即：720.3=21.6（头）所以 72 公亩牧场上的牧草可供 36（=14.421.6）头牛吃 126 天，问题得解。解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？（632130122810）（6328）=0.3（头） 一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？1228100.328=25.2（头）72 公亩的牧草可供多少头牛吃 126 天？7225.2126720.3= 36(头)例 4：一

8、块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供 16 头牛 吃 20 天，或者供 80 只头吃 12 天。如果一头牛一天的吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 分析：由于 1 头牛每天的吃草量等于 4 只羊每天的吃草量，故60 只羊每天的吃草量和 15 头牛每天的吃草量相等，80 只羊每天吃 草量与 20 头牛每天吃草量相等。解：60 只羊每天吃草量相当于多少头牛每天的吃草量？604=15（头）草地原有草量与 20 天新生长草量可供多少头牛吃一天？1620=320（天）80 只羊 12 天的吃草量可供多少头牛吃一天？80412=240（头） 每天新

9、生长的草量够多少头牛吃一天？（320240）（2012）=10（头） 原有草量可够多少头牛吃一天？3202010=120（头）原有草量可供 10 头牛与 60 只羊吃多少天？120（6041010）=8（天）例 5：一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。5 台抽水机连 续 20 天可抽干，6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干。若要求 6 天 抽干，需要多少台同样的抽水机？解：水库原有的水与 20 天流入水可供多少台抽水机抽 1 天？205=100（台）水库原有水与 15 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？615=90（台）每天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？（10090）（2015

10、）=2（台） 原有的水可供多少台抽水机抽 1 天？100202=60（台）若 6 天抽完，共需抽水机多少台？6062=12（台）例 6：有三片草场，每亩原有草量相同，草的生长速度也相同。三 片草场的面积分别为 3 1 亩、10 亩和 24 亩。第一片草场可供 12 头3牛吃 4 周，第二片草场可供 21 头牛吃 9 周。问：第三片草场可供 多少头牛吃 18 周？用方程解：解：设每亩草场原有的草量为 a，每周每亩草场新生长草量为b。依题意第一片草场（ 3 1 亩）原有的草与 4 周新生长的草量之和为：3（3 1 ）a（43 1 ）b33每头牛每周的吃草量为（第一片草场 3 1 亩 ）：3 (3

11、1)+ 4 (3 1)(124)=10(a + 4b) = 5(a + 4b)(1)3 a3 b3 12 472第二片草场（10 亩）原有的草与 9 周生长出来的草为：10a(109)b每头牛每周的吃草量为：（第二片草场）a10 + (10 9)b(2)21 9由于每头牛每周吃草量相等，列方程为：b10a + (10 9)b = 5(a + 4 )(3)21 9725a=60ba=12b（表示 1 亩草场上原有草量是每周新生长草量的 12 倍）将 a=12b 代入（3）的两边得到每头牛每周吃草量为 10。9 b设第三片草场（24 亩）可供 x 头牛吃 18 周吃完，则由每头牛每周吃草量可列出方

12、程为：b24a + b (18 24) = 10(4)18x9x=36答：第三片草场可供 36 头牛 18 周食用。这道题列方程时引入 a、b 两个辅助未知数，在解方程时不一 定要求出其数值，在本题中只需求出它们的比例关系即可。习题九1一场牧场长满草，每天牧草都均匀生长。这片牧场可供 10 头 牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。问：可供 25 头牛吃多少 天？222 头牛吃 33 亩草地上的草，54 天可以吃完；17 头牛吃 28亩同样的草地上的草，84 天可以吃完。问：同样的牧草 40 亩可供多少头牛食用 24 天？（每亩草地原有草量相等，草生 长速度相等）3有一牧场，17 头牛

13、 30 天可将草吃完；19 头牛则 24 天可以吃 完。现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再 吃两天便将草吃完。问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？4现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8 台抽水机 10 天可以抽干；用 6 台抽水机 20 天能抽干。问： 若要 5 天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？本系列共 15 讲第十讲列方程解应用题.文档贡献者： 与 你 的 缘列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是列出方程，然后解出未知数的值。列方程 解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。解这类应用题的 关键在于能够正

14、确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。而 找出等量关系又在于熟练运用数量之间的各种已知条件。掌握了这 两点就能正确地列出方程。列方程解应用题的一般步骤是：（1）弄清题意，找出已知条件和所求问题；（2）依题意确定等量关系，设未知数 x；（3）根据等量关系列出方程；（4）解方程；（5）检验，写出答案。例 1：列方程，并求出方程的解。（1） 11 减去一个数，所得差与 1.35 加上 13 的和相等，求这36个数。解：设这个数为 x，则依题意有11 x=1.35 1336即11 x= 27 133206x=11 27 133206x= 320检验：把 x=3 代入原方程，左边= 3 2 3203

15、20= 3 31 与右边相等，60所以 x= 320是原方程的解。（2）某数的 1 比它的 21 倍少 11，求某数。28解：设某数为 x，依题意，有：21 x 1 x=1182即17 x=118x= 8817例 2：已知篮球、足球、排球平均每个 36 元，篮球比排球每个多 10 元，足球比排球每个多 8 元，每个足球多少元？分析：（1）篮球、足球、排球平均每个 36 元，购买三种球的 总价是：363=108（元）（2）篮球和足球都与排球比，所以把排球的单价作为标准量， 设为 x。（3）列方程时，等量关系可以确定为分类购球的总价=平均值 导出的总价。解：设每个排球 x 元，则每个篮球（x10）

16、元，每个足球（x8）元。依题意，有：xx10x8=3633x18=1083x=90x=30x8=308=38 答：每个足球 38 元。例 3：妈妈买回一筐苹果，按计划天数，如果每天吃 4 个，则多出48 个苹果；如果每天吃 6 个，则又少 8 个苹果。问：妈妈买回苹果多 少个？计划吃多少天？分析 1根据已知条件分析出，每天吃苹果的个数及吃若干天 后剩下苹果的个数是变量，而苹果的总个数是不变量。因此列方程 的等量关系是苹果总个数=苹果总个数，方程左边，第一种方案下 每天吃的个数天数剩下的个数，等于右边第二种方案下每天吃 的个数天数所差的个数。解：设原计划吃 x 天。4x48=6x82x=56x=

17、28苹果个数：42848=160（个）分析 2列方程解等量关系确定为计划吃的天数=计划吃的天数。解：设妈妈共买回苹果 x 个。x 48 = x + 8464x32=6x2882x=320x=160 (16048)4=28(天)答：妈妈买回 160 个苹果，原计划吃 28 天。例 4：甲、乙、丙、丁四人共做零件 270 个。如果甲多做 10 个，乙 少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的零 件数恰好相等。问：丙实际做了多少个？（这是设间接未知数的例 题）分析根据“那么四人做的零件数恰姨相等”，把这个零件相 等的数设为 x，从而得出：甲10=乙10=丙2=丁2=x根据这

18、个等式又可以推出：甲10=x，（ 甲 =x10）；乙10=x，（ 乙 =x10）丙2=x，（ 丙 = x ）2丁2=x，（ 丁 =2x）又根据甲、乙、丙、丁四人共做零件 270 个，可以得到一个方 程，它的左边表示零件的总个数，右边也表示零件的总个数。解：设变换后每人做的零件数为 x 个。x10x102x x =27022x2xx4x=5409x=540x=60 丙2=60， 丙=30 答：丙实际做零件 30 个。例 5：某图书馆原有科技书、文艺书共 630 本，其中科技书占 20%。 后来又买进一些科技书，这时科技书占总数的 30%，买进科技书多 少本？分析依题意，文艺书的本数没有变，如果设

19、买进科技书 x 本 ， 那么，原来的本数x 本=增加后的本数。文艺书占增加后总本数的70%，相当于原有书总数的 80%，所以，增加后总本数70%=原来总 本数80%，即原先的文艺书本数=后来的文艺书本数。解：设买进科技书 x 本。（630x）(130%)=630(120%)44170%x=50470%x=63x=90 答：买进科技书 90 本。例 6：一块长方形的地，长和宽的比是 5：3，长比宽多 24 米，这 块地的面积是多少平方米？分析要想求这块地的面积，必须先求出长和宽各是多少米。 已知条件中给出长和宽的比是 5：3，又知道长比宽多 24 米，如果 把宽设为 x 米，则长为（x24）米，

20、这样确定方程左边表示长与 宽的比等右边长与宽的比，再列出方程。解：设长方形的宽是 x 米，长是（x24）米。x + 24 = 5x35x=3x722x=72x=36x24=3624=60，6036=2160（平方米）答：这块地的面积是 2160 平方米。例 7：某县农机厂金工车间有 77 个工人，已知每个工人平均每天可以加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个，或丙种零件 3 个。但加工 3 个甲种零件，1 个乙种零件和 9 个丙种零件才恰好配成一套。问： 应安排生产甲、乙、丙种零件各多少人时，才能使生产的三种零件 恰好配套？分析如果直接设生产甲、乙、丙三种零件的人数分别为 x 人 、 y 人、

21、z 人，根据共有 77 人的条件可以列出方程 xyz=77，但解 起来比较麻烦。如果仔细分析题意，会发现除了上面提到的加工甲、乙、丙三 种零件的人数这三个未知数外，还有甲、乙、丙三种零件的各自的 总件数。而题目中又有关于甲、乙、丙三种零件之间装配时的内在 联系，这个内在联系可以用比例关系表示，而乙种零件件数又在中 间起媒介作用。所以如用间接未知数，设乙种零件总数为 x 个，为 了配套，甲种、丙种零件件数总数分别为 3x 个和 9x 个，再根据生 产某种零件人数=生产这种零件的个数工人劳动效率，可以分别 求出生产甲、乙、丙种零件需安排的人数，从而找出等量关系，即 按均衡生产推算的总人数=总人数，

22、列出方程。解：设加工乙种零件 x 个，则加工甲种零件 3x 个，加工丙种 零件 9x 个。加工乙种零件需安排 x 人，加工甲种零件需安排 3x459x人，加工丙种零件需安排 3 人。3x x 9 x =775 4312x5x60x=154077x=15403x = 3 20=12x=205 5x14 = 4 20=59x3 =320=60答：应安排加工甲、乙、丙三种零件工人人数分别为 12 人、5人和 60 人。习题十1妈妈带一些钱去买布，买 2 米布后还剩下 1.80 元；如果买同样的布 4 米则差 2.40 元。问：妈妈带了多少钱？2第一车间工人人数是第二车间工人人数的 3 倍。如果从第一

23、 车间调 20 名工人去第二车间，则两个车间人数相等。求原来两个车间各有工人多少名？3两个水池共贮水 40 吨，甲池注进 4 吨，乙池放出 8 吨，甲池 水的吨数与乙池水的吨数相等。两个水池原来各贮水多少 吨？4两堆煤，甲堆煤有 4.5 吨，乙堆煤有 6 吨，甲堆煤每天用去0.36 吨，乙堆煤每天用去 0.51 吨。几天后两堆煤剩下吨数相等？5小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有 45 个球，但不知道每 个人各有几个球，如果变动一下，小龙的球减少 2 个，小虎 的球增加 2 个，小方的球增加一倍，小圆的球减少一半，那 么四个人球的个数就一样多了。求原来每个人各有几个球？6有一批旅游者需用轿车接送

24、，轿车有甲、乙两种，用 3 辆甲 种轿车，4 辆乙种轿车（恰满载）需跑 5 趟；如果用 5 辆甲 种轿车和 3 辆乙种轿车（恰满载）只需跑 4 趟。请问哪种轿 车坐的乘客多？本系列共 15 讲第十一讲简单的抽屉原理.文档贡献者： 与 你 的 缘把 3 个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或 3 个苹果放在某一个抽屉 里。尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少 有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把 5 个苹果任意放到4 个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果。由此我们可 以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证

25、至少有一 个抽屉里有两个或两个以上的苹果。道理很简单：如果每个抽屉里 的苹果都不到两个（也就是至多有 1 个），那么所有抽屉里的苹果 数的和就比总数少了。由此得到：抽屉原理：把多于 n 个的苹果放进 n 个抽屉里，那么至少有一 个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结 论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理。不要小看这个“原理”， 利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。比如，我们从街上随便找来 13 人，就可以断定他们中至少有 两个人属相（指鼠、牛、虎、兔等十二种生肖）相同。怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚。事

26、实上，由于人数（13）比属相（12）多，因此至少有两个人属相 相同（在这里，把 13 个人看成 13 个“苹果”，把 12 种属相看成 12 个“抽屉”）。应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一 定要大于抽屉的个数。例 1：有 5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意 摸出 3 枚棋子。请你证明，这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋 子的颜色的配组是一样的。分析与解答首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同 的情况，可以有：3 黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 种配组情况 ， 看作 4 个抽屉，把每人所拿 3 枚棋子按其颜色配组情况放入相应的

27、抽屉，由于有 5 个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少 有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一 样的。例 2：一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多 少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同 的？分析与解答扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃 4 种花色，2 张牌的花色可以有：2 张方块，2 张梅花，2 张红桃，2 张黑桃，1张方块 1 张黑桃，1 张方块 1 张梅花，1 张方块 1 张红桃，1 张梅花1 张黑桃，1 张梅花 1 张红桃，1 张黑桃 1 张红桃共计 10 种情况。 把这 10 种花色配组看作 10 个抽屉，只要苹果的个数比

28、抽屉的个数 多 1 就可以有题目所要的结果。所以至少有 11 人。例 3证明：任意取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数。 分析与解答在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数 a、b，它们除以自然数 m 的余数相同，那么它们的差 ab 是m 的倍数。根据这个性质，本题只需要证明这 8 个自然数中有 2 个自 然数，它们除以 7 的余数相同。我们可以把所有自然数按 7 除所得 的 7 种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6 分成七类，也就是 7 个抽 屉。任取 8 个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中 ， 也就是它们除以 7 的余数相同，因此这两个数的差一定是 7 的

29、倍数 。 把所有整数按照除以某个自然数 m 的余数分为 m 类，叫做 m 的 剩余类或同余类，用0，1，2，m1表示。每一个类 含有无穷多个数，例如1中含有 1，m1，2m1，3m1，。在 研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉，根据抽屉原理，可以证明：任意 n1 个自然数中，总有两个自然数的差是 n 的倍 数。在有些问题中，“抽屉”和“苹果”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“苹果”。如果制造“抽屉”和“苹果”可能是很 困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需 要多做一些题积累经验。例 4：从 2、4、6、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中 一定有两个

30、数之和是 34。分析与解答我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉：4 6 810 12 14 16 230 28 26 2422 20 18凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是 34。现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数，由抽屉原理（因为抽 屉只有 8 个），必有两个数在同一个抽屉中。由制造的抽屉的特点， 这两个数的和是 34。例 5：从 1、2、3、4、19、20 这 20 个自然数中，至少任选几 个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是 12。分析与解答在这 20 个自然数中，差是 12 的有以下 8 对：20，8， 19，7 18，6 17，516

31、，4 15，3 14，2 13，1另外还有 4 个不能配对的数9， 10， 11， 12，共 制 成12 个抽屉（每个括号看成一个抽屉）。只要有两个数取自同一个抽 屉，那么它们的差就等于 12，根据抽屉原理至少任选 13 个数，即 可办到取 12 个数：从 12 个抽屉中各取一个数（例如取 1，2，3，12），那么这 12 个数中任意两个数的差必不等于 12。例 6：从 1 到 20 这 20 个数中，任取 11 个数，必有两个数，其中一 个数是另一个数的倍数。分析与解答根据题目所要求证的顺题，应考虑按照同一抽屉 中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉，把这 20 个数分成 以下十组，看成

32、10 个抽屉（显然，它们具有上述性质）：1，2，4，8，16， 3，6，12， 5，10，20， 7，14，9，18， 11， 13， 15， 17， 19。从这 10 个数组的 20 个数中任取 11 个数，根据抽屉原理，至 少有两个数取自同一个抽屉，由于凡在同一抽屉中的两个数都具有 倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。 例 7：证明：在任取的 5 个自然数中，必有 3 个数，它们的和是 3 的倍数。分析与解答按照被 3 除所得的余数，把全体自然数分成 3 个剩余类，即构成 3 个抽屉。如何任选的 5 个自然数中，至少有 3 个数在同一个抽屉，那么这 3 个数除以 3

33、得到相同的余数 r，所以它 们的和一定是 3 的倍数（3r 被 3 整 除 ）。如果每个抽屉至多有 2 个选定的数，那么 5 个数在 3 个抽屉中 的分配必为 1 个，2 个，2 个，即 3 个抽屉中都有选定的数。在每 个抽屉中各取 1 个数，那么这 3 个数除以 3 得到的余数分别为 0、1、2。因此，它们的和也一定能被 3 整除（0+1+2 被 3 整 除 ）。例 8：某校校庆，来了 n 位校友，彼此认识的握手问候。请证明无 论什么情况，在这 n 位校友中至少有两人握手的次数一校多。分析与解答共有 n 位校友，每个人握手的次数最少是 0 次 ， 即这个人与其他校友都没有握过手；最多有 n1

34、 次，即这个人与 每位到会校友都握了手。校友人数与握手次数的不同情况（0，1，2，n1）都是 n，还无法用抽屉原理。 然而，如果有一个校友握手的次数是 0 次，那么握手次数最多的不能多于 n2 次；如果有一个校友握手的次数是 n1 次，那么 握手次数最少的不能少于 1 次。不管是前一种状态 0、1、2、3、 n2，还是后一种状态 1、2、3、n1，握手次数都只有 n1 种情况。把这 n1 种情况看成 n1 个抽屉，到会的 n 个校友每人 按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。习题十一1某校的小学生年龄最小的 6 岁，最大的 13

35、 岁，从这个学校中 任选几位同学就一定保证其中有两位同学的年龄相同？2中午食堂有 5 种不同的菜和 4 种不同的主食，每人只能买一 种菜和一种主食，请你证明某班在食堂买饭的 21 名学生中， 一定至少有两名学生所买的菜和主食是一样的。3证明：任取 6 个自然数，必有两个数的差是 5 的倍数。4为了欢迎外宾来校参观，学校准备了红色、黄色、绿色的小 旗，每个同学都左右两手各拿一面彩旗列队迎接外宾。至少 有多少位同学才能保证其中至少有两个人不但所拿小旗颜色 一样，而且（左，右）顺序也相同？5从 10 至 20 这 11 个自然数中，任取 7 个数，证明其中一定有 两个数之和是 29。6从 1、2、3

36、、20 这 20 个数中，任选 12 个数，证明其中 一定包括两个数，它们的差是 11。720 名小围棋手进行单循环比赛（即每个人都要和其他任何人 比赛一次），证明：在比赛中的任何时候统计每人已经赛过的 场次都至少有两位小棋手比赛过相同的场次。8从整数 1、2、3、199、200 中任选 101 个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍 数。本系列共 15 讲第十二讲抽屉原理的一般表述.文档贡献者： 与 你 的 缘我们知道，把 3 个苹果随意放进两个抽屉里，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把 5 个苹果放进两个抽屉里，上 述结果当然还能成立。能不能有更强一

37、点的结果呢？我们发现把 5 个苹果往两个抽屉里放，即使每个抽屉都放 2 个还剩 1 个苹果，这 个苹果无论放到哪个抽屉里都会出现有一个抽屉里有 3 个苹果。同 样，如果苹果个数变为 7 个，那么就可以保证有一个抽屉里至少有4 个苹果了。 这里有什么规律呢？先将苹果平均分到各个抽屉里，如果至少还余 1 个苹果，那么 多余的苹果无论放入哪个抽屉中都可以保证至少有一个抽屉里有（商+1）个（或更多的）苹果。 这样，可得到下述加强的抽屉原理：把多于 mn 个苹果随意放进 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有（m+1）个或（m+1）个以上的苹果。例 1：（ 1）求证：任意 25 个人中，至少有 3 个人的

38、属相相同。（2）要想保证至少有 5 个人的属相相同，但不能保证 6 个人属相 相同，那么人的总数应在什么范围内？分析与解答（1）把 12 种属相看作 12 个抽屉。 因为2512=21所以，根据抽屉原理，至少有 3 个人的属相同。（2）要保证有 5 个人的属相相同，总人数最少为：4121=49（人）不能保证有 6 个人属相相同的最人数为：512=60（人）所以，总人数应在 49 人到 60 人的范围内。例 2：放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球。有 66 名同学来仓库拿球，要求每人至少拿 1 个球，至多拿 2 个球。问： 至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的？分析与解答拿球的配组方式

39、有以下 9 种： 足 ， 排 ， 篮 ， 足 ， 足 ， 排 ， 排 ， 篮 ， 篮 ， 足 ， 排 ，足 ， 篮 ，排 ， 篮 。把这 9 种配组方式看作 9 个抽屉。因为 669=73，所以至少有 71=8（名）同学所拿的球的 种类是完全一样的。例 3：一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出多少张牌才 能保证（1）至少有 5 张牌的花色相同；（2）四种花色的牌都有；（3）至少有 3 张牌是红桃。分析与解答一副扑克牌有四种花色，每种花色各 13 张，另 外还有两张王牌。（1）为了“保证”5 张牌花色相同，我们应从最“坏”的情况 去分析，即先摸出了两张王牌。把四种花色看作 4 个抽屉，要想

40、有5 张牌属于同一抽屉，只需再摸出 441=17（张），也就是共摸 出 19 张牌。即至少摸出 19 张牌，才能保证其中有 5 张牌的花色相 同。（2）因为每种花色有 13 张牌，若考虑最“坏”的情况，即摸 出了 2 张王牌和三种花色的所有牌共计 1332=41（张），这时， 只需再摸一张即一共 42 张牌，就保证四种花色的牌都有了。即至 少摸出 42 张牌才能保证四种花色的牌都有。（3）最坏的情形是先摸出了 2 张王牌和方块、黑桃、梅花三种花色所有牌共计 41 张，只剩红桃牌。这时只需再摸 3 张，就保证有 3 张牌是红桃了。即至少摸出 44 张牌，才能保证其中至少有 3张红桃牌。例 4：平

41、面上给定 17 个点，如果任意三个点中总有两个点之 间的距离小于 1，证明：在这 17 个点中必有 9 个点可以落在同一半 径为 1 的圆内。分析与解答如果 17 个点中，任意两点之间的距离都小于 1， 那么，以这 17 个点中任意一点为圆心，以 1 为半径作一个圆，这 17 个点必然全落在这个圆内。如果这 17 个点中，有两点之间距离不 小于 1（即大于 1 或等于 1），设这两点为 o1、o2，分别以 o1、o2 为圆心，1 为半径作两个圆（如图），把这两个圆看作两个抽屉，由 于任意三点中总有两个点之间的距离小于 1，因此其他 15 个点中的 每一点，到 o1、o2 的距离必须有一个小于

42、1，也就是说这些点必 落在某一个圆中。根据抽屉原理必有一个圆至少包含这 15 个点中 的 8 个点。由于圆心是 17 个点中的一点，因此这个圆至少包含 17 个点中的 9 个点。例 5：把 1、2、3、10 这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于 17。图一分析与解答把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记 为 a1、a2、a3、a10(见图一)。相邻的三个数为一组，有 a1a2a3、a2a3a4、 a3a4a5、a9a10a1、a10a1a2 共 10 组。这十组数的总和为：（a1a2a3）(a2a3a4)(a10a1a2)=3(a1a2a3a10)=355

43、=165=16105 根据抽屉原理这十组数中至少有一组数的和不小于 17。 这道题还可以用下面的方法证明：在 10 个数中一定有一个数是 1，设 a10=1，除 去 a10 之外，把 a1、a2、 a3、a9 这 9 个数按顺序分为三组 a1a2a3、a4a5a6、a7a8a9。下面证 明这三组中至少有一组数之和不小于 17。因为这三组数之和的总和为（a1a2a3）（a4a5a6）(a7a8a9)= a1a2a3a9=23410=54=3166 根据抽屉原理这三组数中至少有一组数之和不小于 17。 第二种证法中去掉了最小数 1，其实若去掉 2、3、4 也可以的 ，因为 54=3173，所以用第

44、二种证法还可以得出至少有一组数的 和不小于 18 的结论，而第一种证法却不能得出这个结论。此外，由于 54=318，因此即使第二种证法也不能由抽屉原 理得出三组数中至少有一组数的和不小于 19 的结论。事实上，如 下图所示，划了线的三组数的和都是 1 8（并且其他任何三个相邻数 之和都小于 18）。例 6：在边长为 3 米的正方形内，任意放入 28 个点，求证：必有 4 个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过 1 平方米。分析与解答根据题目的结论，考虑把这个大正方形分割成面 积为 1 平方米的 9 个小正方形（如下图一）。图一图二 因为 28=391，所以根据抽屉原理，至少有 4 个点落在同一

45、个边长为 1 的小正 方形内（或边上）（图二），这 4 个点所连成的四边形的面积总小于 或等于小正方形的面积，即以这 4 个点为顶点的四边形的面积不超 过 1 平方米。例 7：在边长为 1 米的正方形内，任意放入 9 个点，求证：至少有 3 个点，以这三个点为顶点的三角形面积不大于 1 平方米。8分析与解答把边长为 1 米的正方形取各边中点，把对边中点相连将它分成四个边长为 1 米的小正方形（如图一）。把这四个小2正方形看成 4 个抽屉，把 9 个点随意放入 4 个抽屉，根据抽屉原理 ，有一个抽屉至少有 3 个点。现在证明以在边长为 1 米的小正方形内2的这三个点为顶的三角形的面积不大于小正方

46、形面积的一半。设a、b、c 三点在同一个小正方形内。如果abc 中的某一条边 bc与小正方形的边平行（如图二），则11111sabc= bch米米=平方米。如果abc 的22228三边均与小正方形的边不平行（如图三），则可过其中一点 b 作 bd与小正方形边平行，它将abc 分成两个三角形：abd 与bcd。则11sabc=sabdscbd= bdh1bdh2221111=bd(h1h2)米米2= 1 平方米8222由以上证明可知，至少有 3 个点，以这三个点为顶点的三角形面积不大于 1 平方米。8习题十二1.“幼苗杯”数学竞赛获奖的 87 名学生来自 12 所小学，证明： 至少有 8 名学生

47、来自同一所学校。2.在一米长的线段中任意放入 7 个点，证明：不论怎样放，至少 有两点之间的距离小于 17 厘米。3.52 张扑克牌有红桃、黑桃、方块、梅花 4 种花色各 13 张，问：（1）至少从中取出多少张牌，才能保证有花色相同的牌至少 2张？（2） 至少从中取出几张牌，才能保证有花色相同的牌至少5 张？（3）至少从中取出几张牌，才能保证有 4 种花色的牌？（4）至少从中取出几张牌，才能保证至少有 2 张梅花牌和 3 张 红桃？（5）至少从中取出几张牌，才能保证至少有 2 张牌的数码（或 字母）相同？4.学校图书馆里有 a、b、c、d 四类书，规定每个同学最多可以 借 2 本书，在借书的

48、85 名同学中，可以保证至少几个人所借书的类型是完全一样的？5.把 1 到 30 这 30 个自然数摆成一个圆圈，则一定有三个相邻的 数，它们的和不小于 47。6.在一个边长为 1 米的正三角形内随意放置 10 个点，证明：至少有 2 个点之间的距离不超过 1 米。3本系列共 15 讲第十三讲染色中的抽屉原理.文档贡献者： 与 你 的 缘根据抽屉原理可以解决许多有趣的问题，关键在于根据不同的问题制造抽屉。如研究整除问题时常用剩余类当作抽屉，研究长度 和面积时用图形制造抽屉等等。在这一讲中将研究如何用颜色当作 抽屉来解决一些问题。例 1：平面上有 a、b、c、d、e、f 六个点，其中没有三点共

49、线，每两点之间任意选用红线或蓝线连接，求证：不管怎样连接， 至少存在一个同色的三角形。分析与解答连彩线的方式很多，如果一一画图验证结论，显 然是不可取的。这个问题如果利用抽屉原理去解决，就不是难事了 。 从任意一点比如点 a 出发，要向 b、c、d、e、f 连 5 条线段 。 因为只有两种颜色，所以根据抽屉原理，至少有 3 条线段同色。不 妨设 ab、ad、ae 三线同色（如下图）。如果 b、d、e 这三点之 间所连的三条线段中有一条是红色的，则出现一个三边为红色的三 角形。如果这三点之间所连线段都不是红色，那么就是蓝色的，这 样，三角形 bde 就是一个蓝色的三角形。因此，不管如何连彩线，总

50、可以找到一个三边同色的三角形。如果我们把上面例题中的点换成人，把红蓝两种颜色连线换成人与人之间的关系，又可以解决某些实际问题。如：证明在任意的6 个人之间，或者有 3 个人互相认识，或者有 3 个人互相都不认识。 我们只需要把互相认识的两人用红线连接，互相不认识的用蓝 线连接，那么所要证明的结论就变成证明存在一个红色或蓝色的三角形了。例 2：从同一个小学毕业的同学之间的关系可以分为三个等级 ： 关系密切、一般关系、毫无关系。请你证明在这个学校的 17 名校 友中，至少有三个人，他们之间的关系是同一个等级的。分析与解答把 17 个人看成平面上的 17 个点，用红、蓝、白 三种颜色的连线表示同学之

51、间三种不同等级关系，那么这个实际问 题就转化为：证明用红、蓝、白三种颜色的线段连接平面上的 17 个点（没有三点共线），一定存在一个同色的三角形。因为一个点要与其他 16 个点连线，只有三种颜色，所以根据 抽屉原理，从一点至少引出 6 条同色的线段。不妨设点 a 与 b、c、d、e、f、g 六点是用白色线段连接的。如果 b、c、d、e、f、g 这六点之间有一条白色连线，那么就会出现一个三边为白色的三角 形。否则，这六个点只能用红、蓝两种颜色连接了。根据例 1 的证 明可得，这六个点之间必有一个红色边或蓝色边的三角形存在。从例 2 的证明看出，它的论证方法与例 1 是相似的，只不过比 例 1 多

52、用了一次抽屉原理。例 3：用黑、白两种颜色把一个 25（即 2 行 5 列）的长方形 中的每个小方格都随意染一种颜色，证明：必有两列，它们的涂色 方式完全相同。分析与解答因为每列只有两格，而这两格的染法只有（下图 ） 四种，将 4 种染色方式当作 4 个抽屉，题中所有的方格共有 5 列 ， 根据抽屉原理，至少有两列的染色方式完全相同。例 4：如果有一个 3n 的方格阵列，每一列的三个方格都任 意用红、黄、蓝、绿四色之三染成三种不同颜色，问 n 至少是多少 时，才能保证至少有 3 列的染色方式完全相同。分析与解答每一列都从 4 种颜色中选出三种分别染上这列 中的三个小格，染色的方式共有 432=24（种）。若要保证至少有 3 列的染色方式完全相同，那么 n 至少是 2421=49。下面研究另一类长方形阵列小格的染色的问题。例 5：对一块 3 行 7 列的长方形阵列中的小方格的每一格任意 染成黑色或白色，求证：在这个长方形中，一定有一个由小方格组 成的长方形，它的四个角上的小方格同色。证法 1：每一列的三个格用黑、白两种颜色染色，所有可能的 染法只有如下图中的八种。如果在所染色的 3 行 7 列阵列中某一列是第（1）种方式，即 三格均为白色，则其余 6 列中只要再有第（1）（ 2）（ 3）（ 4）种方 式