大学物理学：振动与波动习题课

1、 m k x t x 且且0 d d 2 2 2 f =-kx )cos( tAx 线谐运动线谐运动(定义兼判据定义兼判据) J k t 且且0 d d 2 2 2 f=-k )cos( t 角谐运动角谐运动 )cos( tAx )sin( tAv )cos( 2 tAa 振幅振幅A、周期、周期T、频率、频率 、角频率、角频率 、相位、相位( t+ ) 初相位初相位 k Ev xA 2 2 2 0 2 0 A x0 cos A v0 sin , m k 弹弹簧簧振振子子： 12 T l g 单单摆摆： )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA )cos()cos( 221121 tA

2、tAxxx 仍为简谐运动仍为简谐运动,其中其中: 同相同相: k=0,1, 2, 3. 2211 2211 coscos sinsin tan AA AA k2 12 21 AAA 反相反相: )12( 12 k 21 AAA k=0,1, 2, 3. )(sin 2 1 2 1 2222 tAmmvEk )(cos 2 1 2 1 222 tkAkxE p 2 2 1 kAEEE pk 2 4 1 kAEk 2 4 1 kAE p T u 波波速速 各质点的振动状态的差别各质点的振动状态的差别仅在于仅在于，后开始振动的，后开始振动的 质点比先开始振动的质点，在步调上落后一段时间。质点比先开始

3、振动的质点，在步调上落后一段时间。 )cos( tAy 当坐标当坐标原点原点x=0m 处简谐振动的方程为处简谐振动的方程为 当波以波速当波以波速u向向x正方向传播正方向传播,则平面简谐波波函数则平面简谐波波函数: )(cos u x tAy 单位体积内波的能量单位体积内波的能量,即即能量密度能量密度为为: )(sin 222 u x tAw 单位体积内波的平均能量单位体积内波的平均能量, 即即平均能量密度平均能量密度为为: 22 0 2 11 Awdt T w T 平均能流密度平均能流密度波的强度波的强度为为: uAI 22 2 1 uAI 22 2 1 矢量式 在波动中，每个质元都起着能量转

4、换的作用在波动中，每个质元都起着能量转换的作用- 不断地吸取能量，又不断地放出能量。因此说振动不断地吸取能量，又不断地放出能量。因此说振动 的传播过程也就是的传播过程也就是能量能量的传播过程。的传播过程。 频率相同、振动方向相同、相位差恒定频率相同、振动方向相同、相位差恒定. 其中其中: k=0,1,2,3 )( 2 cos2 121221 2 2 2 1 rrAAAAA 21 21 1212 12 22 AAA AAA k k rr 减减弱弱 加加强强 )( )( 当当 1 = 2时时,干涉点的相位差干涉点的相位差由波程差由波程差 =r2- - r1决定决定 (1)合成以后合成以后各点振幅不

5、同各点振幅不同 波腹波腹 波节波节 4 (2k+1)x 2 kx 5.驻波驻波：两列振幅相同的两列振幅相同的相干波相干波,在同一直线上在同一直线上,沿沿 相反方向传播时所产生的叠加：相反方向传播时所产生的叠加： 相邻波节间相邻波节间的各点步调一致（即相位的各点步调一致（即相位相同相同）, 波节两边波节两边各点的步调正好相反（相位各点的步调正好相反（相位相反相反）。）。 (2)合成以后各点的振动：合成以后各点的振动： (3)驻波进行中没有能量的定向传播，总能流密度驻波进行中没有能量的定向传播，总能流密度 为零。能量在波腹和波节之间转换。为零。能量在波腹和波节之间转换。 当各质点振动达到当各质点振

6、动达到平衡位置平衡位置时，时，动能集中在波腹。动能集中在波腹。 当各质点振动达到当各质点振动达到最大位移最大位移时，时，势能集中在波节。势能集中在波节。 L u n n 2 驻驻波波系系统统的的本本征征频频率率 观察者接收到的频率观察者接收到的频率有赖于有赖于波源波源或或观察者运动观察者运动的的 现象，称为现象，称为多普勒效应多普勒效应。 相对于媒质相对于媒质，波源和观察者，波源和观察者时时 s s R R Vu Vu 观察者接收到的频率与波源的频率之间的观察者接收到的频率与波源的频率之间的 关系关系 1.1.符合什么规律的运动是简谐运动符合什么规律的运动是简谐运动? ?判断下列物判断下列物

7、体体( (物理量物理量) )的运动是不是简谐运动的运动是不是简谐运动? ? (1)(1)完全弹性球在钢板上的上下跳动完全弹性球在钢板上的上下跳动; ; (2)(2)活塞的往复运动活塞的往复运动; ; (3)(3)如图所示如图所示, ,一小球在半径很大的一小球在半径很大的 光滑凹球面上滚动光滑凹球面上滚动( (滚动距离很短滚动距离很短);); (4)(4)长为长为l, ,质量为质量为m的均质细杆的均质细杆, ,顶端悬挂在固定顶端悬挂在固定 的光滑轴上的光滑轴上. .今将其下端稍微偏离平衡位置今将其下端稍微偏离平衡位置( (角度角度 很小很小),),使其摆动使其摆动; ; 提示提示：简谐运动不是一

8、般的往复运动：简谐运动不是一般的往复运动,要判断一个物理量是要判断一个物理量是 否作简谐运动必须严格按照谐运动的运动学或动力学特征是否作简谐运动必须严格按照谐运动的运动学或动力学特征是 否得到满足来判定否得到满足来判定. 分析分析 否否 否否 是是 是是 (7)两个固定在两个固定在2R距离上的小球各带电量距离上的小球各带电量Q,在其中点在其中点 处放一电量为处放一电量为q的点电荷的点电荷A,令令A在固定电荷连线上振在固定电荷连线上振 动动(xR),是不是简谐运动是不是简谐运动?如果如果A的上下前后左右的上下前后左右 都对称地放置同样的固定电荷都对称地放置同样的固定电荷,A是否简谐运动是否简谐运

9、动?从从 而体会晶体内的离子在它的平衡位置附近的运动而体会晶体内的离子在它的平衡位置附近的运动. (5)(5)一质点做匀速圆周运动一质点做匀速圆周运动, ,它在直径上投影的运动它在直径上投影的运动; ; (6)由交流发电机发出的由交流发电机发出的50Hz的交流电的交流电; 分析分析 是是 是是 是是 2. *-+-若若F代表质点所受合外力代表质点所受合外力,M代表刚体代表刚体 所受合外力矩所受合外力矩, x是质点位移是质点位移, 是刚体离开平衡是刚体离开平衡 位置的角位置的角, v是质点运动速度是质点运动速度, k、k1、k2 、A、B、 D、J为正常数为正常数. 在下列各式中在下列各式中,哪

10、种情况质点哪种情况质点(或或 刚体刚体)作谐运动作谐运动(或角谐运动或角谐运动)? (1)F=-k- k1 x; (2) F=- k1 x2; (3) F=-kv; (5) M=-D ; (6) x=Asin2Bt; (7) x=A- B x2; (4) F=k x; (8) x=5sin( t+ /2); (9) x=e-At 5cos t; x t x 2 2 2 d d )10( . d d )11( 2 2 D t J 是是 否否 是是 是是 否否 否否 否否 否否 否否 是是 否否 波长是描述波动的空间周期性的物理量波长是描述波动的空间周期性的物理量. 对波长的定义对波长的定义 通常

11、有如下三种说法通常有如下三种说法: 3 .关于波长定义的讨论关于波长定义的讨论 (1)是振动在一个周期内传播的距离是振动在一个周期内传播的距离; (2)是同一波线上相位差为是同一波线上相位差为2 的两个振动点之间的距离的两个振动点之间的距离; (3)是同一波线上相邻的振动步调一致的两点间的距离是同一波线上相邻的振动步调一致的两点间的距离; 试分析上述说法是否一致试分析上述说法是否一致. 4 .关于叠加原理和干涉条件的讨论关于叠加原理和干涉条件的讨论 (1)波的相干条件是什么波的相干条件是什么?有人说两列波不满足相干条有人说两列波不满足相干条 件不能叠加，对不对？件不能叠加，对不对？ (2) 两

12、列简谐波叠加的区域内两列简谐波叠加的区域内,各点的运动是简谐运动各点的运动是简谐运动, 但运动方向与该点的分振动不相同但运动方向与该点的分振动不相同,这两列简谐波是否相这两列简谐波是否相 干波干波?它们的频率和相位差怎样？它们的频率和相位差怎样？ 两频率相同两频率相同,振动方向相互垂直的简谐振动叠加振动方向相互垂直的简谐振动叠加. 当当 =0, 时时. (3) 波的能量与振幅的平方成正比波的能量与振幅的平方成正比,两列振幅相同的相两列振幅相同的相 干波叠加后加强点的振幅加倍干波叠加后加强点的振幅加倍,能量便为分振动的能量便为分振动的4倍倍,这这 是否违反了能量守恒定律？是否违反了能量守恒定律？

13、 5 .关于驻波和行波的特征与区别的讨论关于驻波和行波的特征与区别的讨论 (1) 驻波和行波中各质元的相位分布有什么特征驻波和行波中各质元的相位分布有什么特征?有没有没 有相位的传递有相位的传递? (2) 驻波和行波中各质元的能量如何变化驻波和行波中各质元的能量如何变化?有没有能量有没有能量 的传播的传播? (3) 驻波和行波的波形有什么特征驻波和行波的波形有什么特征?有没有波形的传播有没有波形的传播? 2 . 如图如图,长方形物体长方形物体B质量质量m, 横截面积横截面积S , 放入密度为放入密度为 的液体中的液体中,同时由劲度系数同时由劲度系数 为为k 的弹簧吊起的弹簧吊起, 使之部分露出

14、液面使之部分露出液面. 起始起始 时时B静止不动静止不动.现将沿竖直方向向下压现将沿竖直方向向下压 x 后后 放手放手,求物体求物体B 的振动方程的振动方程(忽略摩擦力忽略摩擦力, 分分 别取向上向下为别取向上向下为x 轴正方向轴正方向). k B 解解:设平衡时物体浸入水中为设平衡时物体浸入水中为a,弹簧伸长为弹簧伸长为x0 )1(0 0 kxgasmg 取取x轴向上为正轴向上为正,由平衡位置向上移由平衡位置向上移x 时时 ) 2( d d )()( 2 2 0 t x mmgxxkgsxa )1(0 0 kxgasmg ) 2( d d )()( 2 2 0 t x mmgxxkgsxa

15、2 2 d d )( t x mkgs m kgs 2 ?)cos( 0 txx )cos( 0 txx 取向上为正：取向上为正： 取向下为正：取向下为正： txx cos 0 4 . 倾角为倾角为 的固定斜面上放一质量为的固定斜面上放一质量为m物体物体B,由细绳由细绳 跨过定滑轮与劲度系数为跨过定滑轮与劲度系数为k的弹簧相连如图的弹簧相连如图,弹簧下弹簧下 端固定在地面端固定在地面. 滑轮可视为均质圆盘滑轮可视为均质圆盘,半径半径R, 质量为质量为 M, 绳与轮不打滑绳与轮不打滑, 摩擦力忽略不计摩擦力忽略不计. (1) 求证求证:B的振动是简谐运动的振动是简谐运动; (2) 在弹簧不伸长在

16、弹簧不伸长,绳子不松绳子不松 的状态下将物体的状态下将物体B由静止释放由静止释放 并开始计时并开始计时,取沿斜面向下为取沿斜面向下为x 轴正方向轴正方向,求求B的振动方程的振动方程. m R M B k （1）能量微分法，）能量微分法， 平衡时为势能零点平衡时为势能零点 0 sinkxmg CJxxkmgxmv 22 0 2 2 1 )( 2 1 sin 2 1 C R v MRxxkmgxmv 2 2 22 0 2 2 1 2 1 )( 2 1 sin 2 1 m R M B k C R v MRxxkmgxmv 2 2 22 0 2 2 1 2 1 )( 2 1 sin 2 1 CMvxx

17、kmgxmv 22 0 2 2 1 2 1 )( 2 1 sin 2 1 : d d t 02 2 1 2 1 )(2 2 1 sin2 2 1 0 vaMvxxkmgvvam 0 2 1 )(sin 0 Maxxkmgma 0 2 1 Makxma 0 2 1 x Mm k a Mm k 2 1 2 是谐振动！是谐振动！ （2） k mg xA sin 0 Ax 0 x k mg sin 2 1 cos t Mm k 10 .一平面简谐波一平面简谐波t =0.1s时的波时的波 形曲线如图形曲线如图, 求求: (2)画出画出O O点的振动曲线和旋转矢量点的振动曲线和旋转矢量. x (m) y(

18、m)u=4m/s O 0.1 1.01.80.2 (1)写出此波的波动方程写出此波的波动方程. 解解:(1)由题知由题知 u=4m/s, =1.6m 故故 =2 =2 u/ = 5 a= 5 (0.10.2/4)+ 0= /2 0 = /4 a a a点：点：当当t=0.1s, x=0.2m时时, ya=0, (dy/dt)a0 a A=0.14m Acos(0.5 + /4)= 0.1 a点点： 4 ) 4 (5cos14. 0 x ty A0 a M0 t (s) y(m) 0.1 0.40.3 0.2 O O y (2)O O点振动方程为点振动方程为: t y(m) O 0.1 4 )

19、4 (5cos14. 0 x ty ) 4 5cos(14. 0 ty 11. A B C O 解：解： 两束波到达两束波到达B点时的波程差为点时的波程差为 =AB-BC+ /2 16.湖面上方湖面上方h=0.50m处放一电处放一电 磁波接收器磁波接收器,当某射电星从地平当某射电星从地平 面渐渐升起时面渐渐升起时,接收器可测到一接收器可测到一 系列极大值系列极大值.已知射电星所发射已知射电星所发射 的电磁波的波长为的电磁波的波长为20cm,如图所如图所 示示.求出现第一极大值时射电星求出现第一极大值时射电星 的射线与铅直线间的夹角的射线与铅直线间的夹角(湖水湖水 可看作是电磁波的波密反射体可看

20、作是电磁波的波密反射体). 由图知：由图知：AB =h / cos , BC=ABcos( -2 )=AB(1-2cos2 ) = 2hcos + /2, 接受器收到的干涉第一极大所接受器收到的干涉第一极大所 对应的波程差为对应的波程差为 ， 则则 cos = /4h, =84.260 A B C O 分析分析: mgmg sin sinmg mgl t m 2 2 d d gl t 2 2 d d 即即 返回返回 Q Qq x f )( 1 )( 1 4 22 0 xrxr qQ f 晶格点阵 )( 2 )( 2 4 2222 0 xr x xr rqQ 4 0 4 4r rxqQ 3 0 r