均值不等式与不等式的证明

1、 均值不等式与不等式的证明 均值不等式和不等式的证明 一.已知不等式的关系，求目标式的取值范围 例1: （2019辽宁理14）已知1 x 丁 1且2弋y 3,则/3y的取值范 围。 变式1:已知且 4:丨 I, J十 求f（3）的范围。 x2x3 变式2：（ 2019江苏12）设x,y为实数，满足2 逊 变式1.（ 1）求函数y x 1 2 （2）求函数? （3）求函数y x2 3x 1 2 的最小值； 5x 1 2 的最小值。 II.通过代数变换凑配成使用均值不等式的形式 51 例1：已知X ，求函数y -1 x 2的最大值。 4-lx 5 ax 2 x 工 1且白（j的最小值。变式i ：求

2、函数y X 1 6x2 1 变式2：求y最大值。 x2 4 iii. “ 1”的变换例1：已知S 且 变式1 ：（ 2019重庆理7）已知Hi a J殳，则 变式2：函数y 1 1 X 19 1,求X ;的最小值。xy 14 的最小值是ab i. “小1的图像恒过定点 A,若点A在直线inx 11 y 1 I 川J 0上，则1 1的最小值为 变式3： n h c,证明： 变式4：已知n S y 7.1,求 1113。 i血壷区I c 149 的最小值。xyz IV. 注意转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用例1：若正数a,b满足 （ib ;j b ：1，贝V：（ 1）ab的取值范围是

3、；（2） fi h的取值范围是。 变式1 ：（ 2019重庆理7）已知工）满足工2xy X,则工2、：的最小值是 V. 灵活选择和运用均值不等式的变形形式 y2 1,则工疋的最大值为。例1：设工叱U, X 2 2 11 变式1 ：已知h 0：h|匚，求 nb的最小值。 a.b vi.合理配组，反复应用均值不等式例1 ：设日b 0，则a 2 22 11的最小值是。注说b2 2 11 、变式1:若x,y是正数，则的最小值是却出 三利用均值不等式证明不等式 例1 ：（ 1）设儿h：（:毗求证：ti h 1 1 1。 fib c a2b2c2 1. ) (jo(2) a,b , u R,求证：bca

4、(3)已知纭和l K,且兀y z 1,求证：a y z 3 变式1若a, K c K ,且日b c 1 o求证： 变式2：证明：若n R ，儿H，贝y 1 1 1 111 8o a b c b c2c b2 x y l dbc 2 XV 7Z zx 四不等式的证明 I. 比较法(插值法、比值法) 例1：已知a,b,m均为正实数，且ti ：)，求证： 变式1:已知儿h乩且21 h I h求证： 匕h J匕 n a ma ii 1 bn 1。 ii.利用函数的单调性 例1 ：已知0 x 1，求证：x sirix 13 x 。 6 变式1 ：证明：当0 x 2 2x sii.M Xo iii. 综合

5、法（由因导果）与分析法（由果索因） 例1 ：证明：26 f。 变式1:设_亡a h ，求证： “ 0 例2:设川宀巳hn N ,求证： al b1a2- 62 i I ci 2 l：j?。 b2 ac 变式1：若fi b c，且fi h 求证： 。 a IV. 反证法 例1：已知a,b,c为不小于1的正数，求证：h 1： 、h 1i：.1 I不可能 同时大于 1。4 变式1：已知儿h it , fl b 求证：fl h 2o 33 V. 放缩法 例1:已知正数a,b,c满足fi )c 1 ,求证：肘1创1机1 h。 变式1:证明：川 匸1 例2:求证1 例3:设役h|出且满足$| b C,问m取何值时，以a,b,c为边可构成三角形， m m m n 1 n 2, n R bcda 2j., I).:、 K 。 a. b co c do d ad a b 并判断该三角形的形状 例4:设实数a,b,x,y满足讥I1虫,求证：恥叶 变式1 ：设y R ，、丄 :芒1，求证: a；/5。 3412 VI. . 构造法 例1 ：设儿h比:!，若o ；：1 例2:已知a,b,c为三角形的三边长，求证: 变式1：已知戈；（.1且x 1, i 110,求证：I 例3:证明：当）：