大学物理学（第3版）：大学物理学（第3版）：3-2 力矩 刚体定轴转动的转动定律

1、3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 1 一一 力矩力矩 定义定义：作用于质点的力对惯：作用于质点的力对惯 性系中某参考点的力矩，等性系中某参考点的力矩，等 于力的作用点对该点的位矢于力的作用点对该点的位矢 与力的矢积，即与力的矢积，即 FrM M 的方向垂直于的方向垂直于r和和F所决定的平所决定的平 面，指向用右手法则确定。面，指向用右手法则确定。 yzx zFyFM zxy xFzFM xyz yFxFM 在直角坐标系中，表示式为在直角坐标系中，表示式为 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转

2、动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 对固定轴的力矩对固定轴的力矩 方向：方向：转轴方向转轴方向( (Mz正负号：力矩的方向沿转轴正负号：力矩的方向沿转轴OZ方向方向 时，时， Mz为正值，反之，为负值为正值，反之，为负值) ) 力矩的单位：牛顿力矩的单位：牛顿米（米（N N）一般不记做）一般不记做 J J。 力矩是决定刚体力矩是决定刚体转动转动状态变化快慢的物理量状态变化快慢的物理量 FrM z 1.1.定义：定义： sinFrFdM z 大小：大小： F r o d Z 力矩是矢量（大小、方向）力矩是矢量（大小、方向） 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动

3、的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 （3 3）当几个外力同时作用在刚体上，对轴的合外）当几个外力同时作用在刚体上，对轴的合外 力矩的大小就等于几个力对该轴力矩的力矩的大小就等于几个力对该轴力矩的代数和代数和； (4)(4)当力的作用线通过转轴或力与转轴平行时，力对当力的作用线通过转轴或力与转轴平行时，力对 该轴的力矩为零。该轴的力矩为零。 (1)(1)若力不在转动平面内，只有若力不在转动平面内，只有 F 对对Z Z轴有力矩；轴有力矩； 是由转轴指向力的作用点的矢径；是由转轴指向力的作用点的矢径； （2）r 讨论：讨论： 1 F 2 F 3 F 1 d 2 d 3 d Z o

4、223311 dFdFdFM Z 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 4 二二 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 由牛顿第二定律由牛顿第二定律 iiii amfF 切向运动方程为切向运动方程为 iiitiitit rmamfF 在外力矩的作用下，绕定轴转动的刚体的角速度在外力矩的作用下，绕定轴转动的刚体的角速度 会发生变化，即具有角加速度。下面讨论外力矩与角会发生变化，即具有角加速度。下面讨论外力矩与角 加速度之间的关系。加速度之间的关系。 i m i r o Z i F i f 在刚体上任取质点在刚体上任

5、取质点 i，其其 质量为质量为mi 。设质点设质点i受受 两个力：外力两个力：外力 内力内力 i F i f 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 将上式两端乘将上式两端乘ri，得得 对刚体的全部质点，有：对刚体的全部质点，有： )( 2 ii i iit i iit i rmrfrF 转动惯量转动惯量 2 i i ir mJ 转动定律转动定律（与牛顿第二定律相类比（与牛顿第二定律相类比) ) 要重点掌握！要重点掌握！ 0 iit i rf ziit i MrF 外力和内力的法向力均通过转轴，所以其对轴的力矩为零。外力和

6、内力的法向力均通过转轴，所以其对轴的力矩为零。 2 iiiitiit rmrfrF d d iz MJJ t 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 6 绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上 的的合外力矩合外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比. . d d iz MJJ t 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 7 刚体的转动惯量就是组成刚体的各质元的质量与刚体的转动惯量就是组

7、成刚体的各质元的质量与 其到转轴的距离的平方的乘积之和是刚体转动时惯其到转轴的距离的平方的乘积之和是刚体转动时惯 性大小的量度性大小的量度 转动惯量的单位：转动惯量的单位：千克千克米米2 2（kgmkgm2 2） 对于单个质点对于单个质点 2 Jmr 质点系质点系 2 i i Jmr 2 2d d m m JrmrV 若物体质量连续分布若物体质量连续分布 三三 转动惯量转动惯量 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 8 解解 (1)(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直转轴通过棒的中心并与棒垂直 22 dddJxmxx 例例3

8、.13.1如图所示，求质量为如图所示，求质量为m，长为，长为l的均匀细棒的均匀细棒 的转动惯量：的转动惯量：(1)(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；转轴通过棒的中心并与棒垂直； (2)(2)转轴通过棒一端并与棒垂直转轴通过棒一端并与棒垂直. . m l ddmx 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 9 22 2 2 1 dd 12 l l JJxxml 整个棒对中心轴的转动惯量为整个棒对中心轴的转动惯量为 (2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为转动惯量为

9、22 0 1 d 3 l Jxxml 由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同量不同. 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 10 解解(1)(1) 在环上任在环上任 取一质元，其质量取一质元，其质量 为为d dm，距离为，距离为R， 则该质元对转轴的则该质元对转轴的 转动惯量为转动惯量为 2 ddJRm 例例3.23.2设质量为设质量为m，半径为，半径为R的细圆环和均匀圆盘分的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和别绕通过各自中心并与圆

10、面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量圆盘的转动惯量. . 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 11 考虑到所有质元到转轴的距离均为考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为中心轴的转动惯量为 222 ddd mm JJRmRmmR (2)(2)求质量为求质量为m，半径为，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量的圆盘对中心轴的转动惯量 2 d2d ,dd2d m Sr rmSr r R 如图 23 dd2dJrmrr 32 0 1 d2d 2 R JJrrmR 3 32 2 力矩力矩

11、刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 12 竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ 3 32 2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 第第3 3章章 刚体力学基础刚体力学基础 13 例例3.43.4转动着的飞轮的转动惯量为转动着的飞轮的转动惯量为J，在，在t0时角速时角速 度为度为 . .此后飞轮经历制动过程，阻力矩此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小的大小 与角速度与角速度的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为k(k为大于零为大于零 的常数的常数) )，当，当 时，飞轮的角加速度是多少？时，飞轮的角加速度是多少？ 从开始制动到现在经历的时间是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？ 0 0 1 3 解解(1)(1) ，故由转动定律有，故由转动定律有 2 Mk 2 2 k kJ J 即 0 1 3 四四 转动定律的应用转动定律的应用 2 0 9