多元函数的极限与连续习题

1、多元函数的极限与连续习题 用极限定义证明：lim (3x 2y)二14。 1. X 2 y 1 2. 讨论下列函数在(0,0)处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的 存在性。 f (x, y)二； x + y f(x, y) = (x 【 xy. 0 + f(x, y) 2 x + f (x, y)二 ysin 求极限 (1) lim(x： XT0 y 0 (1) 3. (2) lim x.O y 0 y2)x2y2 ； 1 。 x 3 y ； y 1 . 1 sin ； x y x1 2 y2； 1x2y2 -1 ? -可编辑修改- (3) y2 4. (4) lim XrO y 0

2、sin (x2y2) 0 x2y2 试证明函数f(x, y) ln(1 xy) y x = 0 在其定义域上是连续的。 x = 0 1.用极限定义证明：lim(3x2 2y) = 14。 XT 2 y 1 因为 x 2, y 1，不妨设 | x - 2 卜：0, | y - 11 ： 0 , 有| x 2 |=| x - 2 4 x - 2 | 4 ： 5 , |3x2 2y-14卜|3x2-12 2y - 2| 乞 3|x-2|x2| 2|y-1|：15|x-2| 2|y-1| ：15|x-2| |y-1| v 0，要使不等式 |3x2 2y-14|： 15|x-2| |y-1| :;成立

3、取=min ,1，于是 30 v 0，我=mi n,10，v (x, y) ： |x 2卜 6 , | y 1|c 6 30 且(x, y) = (2,1)，有 |3x2 2y _ 14| ：；，即证。 2.讨论下列函数在（0,0 ）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限 的存在性。 (1) f (x, y)二 x 一 y lim lim1， X;0y0 x y 二重极限不存在。 lim lim -1， y；0 xr0 x y x 一 y lim xrO x y y =2x 或 lim x一 二 0 ， xto x + y y =x f (x, y) = (x y)sin sin ； x

4、y 0 勻(x y)sin-sin |-|x| y | x y 所以 lim f (x,y) = 0 x )0 y o 可以证明 lim(|x| |y|) = 0 XtO 1 当x , y 0时, k 二 y 0 f(x, y)二(x y)sinsin 极限不存在, x y 因此 lim lim(x y)sin sin 不存在, Xr 00 同理 lim lim(x y)sin sin 不存在。 y.0 x.0 f(x, y)二 33 x y -2 x y lim f(x,y) Xr0 y =x X ox x 当P( x,y )沿着y = -x2+x3趋于(0,0 )时有 lim Xr0 y

5、x2 x3 f (x, y)二 lim XT0 X3(X3-X2)3 x2 x3 - x2 1, 所以lim f (x, y)不存在; XT0 y0 lim lim f (x, y) = 0， Xr0yr0 lim lim f (x, y) = 0。 yr Ox 0 1 f(x, y)二 ysin x 1 0o lim lim ysin0 , X；0 yr 0 x lim lim ysin 不存在。 y；0 x；ox 2 2 3.求极限 (1) lim(x 2limx2y2 ln(x2+y2) lim(x2y2)x ye(x,y) (0,0)1 x 0 y 0 y2)x y XTO y 0 0

6、 斗 x2y2ln(x2 y2片 (x2 y2) |ln (x2 y2)|, / 222 limln(x2 x 04 y 0 y2)= limt：ln-0, tTO+4 (2) lim XT0 y0 x2y2 7 2 lim x 0 y;0 x2 .1x2y2 - 1 (x2 + y2)(j1+x2 + y2+1) 二 lim2 x01 x2 v-1 y-0 (3) lim (x y)sin = xtox + y y 0、 | (x y)sin 1 22 x2 y2 l-|x y|. 而 lim (x y) = 0 Xr0 y o 故 lim (x y)s in =2 = 0。 iox2 +

7、y2 y oy (4) lim Xr0 y 0 sin (x2y2) x2y2 令 x = r cos , y = r si n , (x, y) (0,0)时，r 0, . 2 sin r lim r 0 r2 lim竺二心 x 0 x2y2 y-；0 W( 1 + xy)x“ 4试证明函数f(x,y)二 x x 0在其定义域上是连续的。 y x= 0 证明：显然f (x, y)的定义域是xy-1. 当x = 0时，f(x, y)是连续的，只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连 续。 以下分两种情况讨论。 (1) 在原点(0,0 )处 f (0, 0)=0, 当 X 式 0 时 0丄y x

8、yin(1+xy)xy y 0 i 由于 lim ln(1 xy)xy = 1 XT0 y 0 丄 不妨设|ln(1xy) -1卜：1， |ln(1 xy)xy 卜：2， 从而 当 0 ：|x| ：、，0 | y | ：、时, 1 ln(1 xy) 0|=|y| n(1 xy)| x 丄 -|y|ln(1 xy)xyF2|y|， 于是，无论x = 0, x = 0，当| x卜：-；,| y 时，都有 lim f (x, y) = 0 二 f (0,0) xrO y0 (2)在(0,y)处。(y = 0) 丄 当 x = 0 时，|f(x,y)- f(0,y)|=|yl n(1 xy)xy_yi 丄 =|y(ln(1 xy)xy -1) (y-y)| 1 ylll n(1 xy)Xy -1| |y-y| 当 x=0 时,| f(x,y) - f (O,y)| = |y - y |, i 注意到，当 y- 0 时 lim In(1 xy)xy 二 1, XtO y y 于是，无论x = 0, x = 0,当y = 0时 lim |f(x,y)-