河南省安阳市（百师联盟）2023-2024学年高一下学期5月大联考数学试题（人教版）（解析版）

百师联盟高一五月大联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间120分钟，满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数，则z的共轭复数在复平面中对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法及共轭复数的概念求出，即可得解.【详解】因为,所以，故复数在复平面中对应的点所在的象限为第四象限.故选：D2.下列命题正确的是（）A.过三个点有且只有一个平面B.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面C.四边形为平面图形D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】D【解析】【分析】根据平面的基本性质可判断A，D，由推论可判断B，根据特例可判断C.【详解】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误；因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内，故这条直线也在这个平面内，所以三条直线共面，故B错误；由空间四边形不是平面图形可知，C错误；由公理知，两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确.故选：D3.若单位向量，的夹角为，则（）A.B.C.4D.5【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积定义及运算法则求解.【详解】因为单位向量，的夹角为，所以，故选：A4.在正四面体中，，，则点E到直线BC距离为（）A.B.C.12D.【答案】D【解析】【分析】做出并证明,再根据余弦定理及勾股定理求解即可.【详解】取中点，连接，由正四面体可知，所以，所以.在中由余弦定理可知，，所以在中，,故选：D5.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化为三角形式，根据棣莫弗定理求解.【详解】.故选：B6.已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，则的值为（）A.14B.－14C.38D.－38【答案】C【解析】【分析】把根代入方程，利用复数相等可求答案.【详解】由题意，即，，解得，所以.故选：C7.如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（）A.5B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将与同时展平形成一个四边形，对角线即为所求得答案，利用勾股定理和余弦定理求出答案.【详解】连接，将与同时展平形成一个四边形，如图，则此时对角线达到最小，在等腰直角三角形中，，，在直角中，，在中，，，，所以，即，对于展开形成的四边形，在中，，，，由余弦定理有．故选：A．8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则ab的值为（）AB.C.D.3【答案】C【解析】【分析】先化切为弦，再利用正弦定理可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，，所以，所以，即.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，若，，若，则可能是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.含角的钝角三角形【答案】BC【解析】【分析】利用向量平行得出等量关系，利用边角互化可得答案.【详解】因为，，，所以，因为，所以，，所以，由正弦定理得，即，所以或，即或，所以可能是等腰三角形或直角三角形.故选：BC10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的有（）A.B.与异面C.与异面D.【答案】AC【解析】【分析】可画出展开图对应的立体图形，根据图形即可判断每个选项的正误，从而得出正确的选项.【详解】根据正方体的展开图画出正方体如图所示：可以看出：，与相交，与异面，相交.故选：AC.11.设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（）A.若点O是的重心，则B.若点O是的垂心，则C.若，则点O是的外心D.若O为的外心，H为的垂心，则【答案】ACD【解析】【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A，根据垂心的性质及向量的线性运算判断B，根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断C，根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D.【详解】取中点，如图，因为点O是的重心，所以，故A正确；因为点O是的垂心，所以，故，故B错误；因为，所以，同理可得，所以，即为外心，故C正确；如图，因为，所以，两式相减可得，同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以，即，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：涉及三角形中重心、外心、垂心、内心问题，需要掌握它们的性质，其次需要根据向量的线性运算、数量积运算及数量积的性质与其结合，属于应用比较灵活问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，且，则________．【答案】3【解析】【分析】根据向量平行得到方程，求出，再化弦为切，代入求值.【详解】，，由，可得，所以，所以．故答案为：3．13.设M为内一点，且，则与的面积之比为______．【答案】##0.25【解析】【分析】根据题意结合三点共线的结论确定点的位置，进而分析运算即可.【详解】在取中点，则，可知点为的中点，可得，即，所以与的面积之比为.故答案为：.14.在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为______；平面与底面ABCD所成锐二面角的余弦值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】设平面交于点，可知平面截正方体所得截面为，推导出点为的中点，计算得知四边形是边长为的菱形，并求出菱形的对角线长，由此可求得该截面的面积，再由二面角余弦公式求值即可.【详解】如图，在正方体中，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可证，四边形是平行四边形，，，又，，，，则为的中点，，同理，所以截面是边长为的菱形，其对角线，，故截面面积．设平面与底面ABCD所成锐二面角为，因为截面在底面的射影为正方形，所以.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？（1）实数；（2）纯虚数；（3）在复平面内表示的点位于第四象限．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）若为实数，可知虚部为0，列式求解即可；（2）若为纯虚数，可知虚部不为0，实部为0，列式求解即可；（3）由题意可知虚部小于0，实部大于0，列式求解即可.【小问1详解】若为实数，则，解得或．【小问2详解】若为纯虚数，则，解得．【小问3详解】若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则，解得．16.在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若，，CH为AB边上的高，H为垂足，，其中m，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得，可求的值.（2）以为基底，由，代入数据运算得的关系；或利用余弦定理和勾股定理，求出，由平面向量基本定理求的值.【小问1详解】中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系，得，由倍角公式得．又因为为的内角，所以，，所以．所以，，则有，得．【小问2详解】，，如图，则，所以，由题意知，所以，即．所以，所以．17.如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，．（1）求的面积（用字母表示）；（2）若，，，，，求M，N之间的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理表示出边，利用面积公式可求答案；（2）先利用正弦定理求出再利用余弦定理可求答案.【小问1详解】由题意可知，由正弦定理，得，面积.【小问2详解】由（1）知，在中，，，在中，，由余弦定理可得，所以.18.如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点．（1）证明：平面；（2）若，，，求到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作辅助线，利用中位线得到线线平行，结合线面平行的判定得证结论；（2）利用等体积法可求到平面的距离.【小问1详解】连接，交于，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点，因为D为线段AC的中点，所以，因平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为，，D为线段AC的中点，所以，且，，因为直棱柱中平面，面，所以，因为，平面，所以平面，即点到平面的距离为，由线面垂直的性质易得，在直角三角形中，，，所以面积，又三角形的面积为.设到平面的距离为，因为，所以，所以，解得，即到平面的距离为.19.数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题：（1）如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：.（2）如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值.【