数论--综合-第6讲初等数论竞赛班学生版

1、第六讲初等数论初等数论是主要用算术方法研究整数最基本性质的一个数学分支，是数学中最古老的分支之一.近几 十年来，初等数论在计算机科学、组合数学、代数编码、信号的数字处理等领域得到广泛应用.同时，初 等数论在各类数学竞赛中占有重要地位，以国际数学奥林匹克为例，约有四分之一的题目是主要用初等数 论知识来解的.一、基础知识1. 整除理论性质1：如果abt bct那么d|c；性质2：若act则对于任意整数x、y都有abx+cy2. 质数与合数性质1：设n为大于1的正整数，p是n的大于1的约数中最小的正整数，则p为质数；性质2：如果对任意1到亦之间的质数p,都有p不整除n,那么n为质数，这里n为大于1的

2、正整数；性质3：质数有无穷多个；性质4：质数中只有一个数是偶数，即2；3. 同余定义：如果a、b除以m (正整数)所得得余数相同，那么称a、b对模m同余，记作a=b (mod in)性质X如果a三b (mod则ma-bt性质 2：若a = b (mod m) f c = d (mod 加)贝ia + c = b + d (mod nt)a-c 三b-d (mod /h) , ac = bd (mod ni)性质 3： a = b (mod m), n 为正整数，则an = b (mod m)4. 费尔马小定理Fermat小定理：设p为质数，a为整数，则/三(mod “).特别地，如果a不能被p

3、整除，则三 l(mod p)二、例题部分例1 (2006年希望杯初二培训题)已知一个五位数用4, 5, 6, 7, 8五个数码各一次组成，如64875 等，在这样的五位数中，能被55整除的有几个，它们分别是多少？数理天地2005增刊P22, 80例2 (, 86年全国)设a、b. c是三个互不相等的正整数，求证：在 bc bF, c3a-ca3 三个数中，至少有一个数能被10整除；全国初中数学竞赛试题分类集锦代数分册，上海远东出版社，P28,三1例3 (, 1997年全国初中数学竞赛)已知定理“若大于3的三个质数纸b、c满足关系式2d + 5b = c, 则a+b+c是整数I)的倍数匕试问：上

4、述定理中的整数n的最大可能性值是多少？并证明你的结论.金牌之路竞赛辅导初中数学，山西师范大学出版社，P21,例12例4 ()设n是大于1的正整数，求证：川+半是个合数数学奥林匹克小丛书，初中卷9,整除、同余与不定方程华东师范大学出版社P1& 1例5 ()能否将1, 2, 3,，50两两配对，使得所配对的25对数之和两两不同，且都是质数? 数学奥林匹克小丛书，初中卷9,整除、同余与不定方程华东师范大学出版社P18, 3例6 ()设p为正整数，且2卩-1是质数，求证：p为质数；数学奥林匹克小丛书，初中卷9,整除、同余与不定方程华东师范大学出版社P18, 6例 7 ( )设a3b6c12d, 2-Z

5、2+c2-J2 =1749,求a2+b2+c2+d2 的所有可能值;数学奥林匹克小丛书，初中卷9,整除、同余与不定方程华东师范大学出版社P19, 20例8 ()设p、q都是质数，且7p+q, pq+11也都是质数，求(/，+”)(/ + “)的值数学奥林匹克小丛书，初中卷9,整除、同余与不定方程华东师范大学出版社P39, 1例9 () (1)试确定所有的正整数m使得2“-1能被7整除;(2)证明对所有的正整数m 2+ 1不能被7整除；例10 ()设正整数n至少有4个不同的正约数，且0 V 4 v cl2 心 Cx d的最小公倍数为a+b+c+d,证明:abed是3或5的倍数. 数学奥林匹克小丛

6、书，初中卷9,整除、同余与不定方程华东师范大学出版社P19, 29例15 ()求所有的正整数a、b、cr使得/ + 1和戸+ 1都是质数，且满足(/ + 1)(戸+ 1)=。2 + 1数学奥林匹克小丛书，初中卷9,整除、同余与不定方程华东师范大学出版社P20, 45三、习题部分1(, 2006年希望杯培训题)224 -1能被20以内的几个质数整除，那么这几个质数是.数理天地2005增刊P22, 462 (, 2006年希望杯培训题设n是大于2的整数，若/ 的值一定能被m整除，则m的最大值是么a的值为数理天地2005增刊P22, 484 （, 2006年希望杯培训题）由4, 5, 6, 7, 8五个数字组成的无重复数字的所有五位数之和除以90所得的商数理天地2005增刊P22, 4