【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题6不等式理(2000-2006)

1、【2006高考试题】、选择题(共15题)1.(安徽卷)不等式 1 1的解集是()x 2a. (-0o,2) b . (2, +oc) c . (0,2) d . (*,2)=(2*)-11112-x解：由一 得：=0,即 x(2 -x) 2( d) ja+3 ja+1 mqa+24 aa - b. 1斛：运用排除法，c选项a -b十主2,当a-b0, b0,则不等式be1。等价于()xa.1x或 0cx工 b. - 1x1 c.x2的解集为log3(x -1),x-2,(a) (1, 2) = (3, +8)(b)(10 , +2(c) (1, 2)=(布 ，+8)(d)(1, 2)解：令 2

2、ex2 (x2),解得 1。2 (x2)解得 x= ( j10 , +8)选c5.(陕西卷)已知不等式(x+y)( 1 + a) 9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值a.2b.4c.6d.8解析；不等式(a-y)( 1+- )?对任意正实数工，j恒成立，则x y1 + ”占+巴之廿+ -石+1由/石32或后三一4倍去)，所以正实数学的最小值为4,x v选艮6 .(陕西卷)已知函数 f(x)=ax 2+2ax+4(0a3),若 xix2,x i+x2=1 a,贝 ()a.f(xi)f(x2)d.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定解析：函数f (x)= ax2+2ax+4(0 a3)

3、,二次函数的图象开口向上，对称轴为x=1,0a3,xi+x2=1 a c ( 2, 1), xi与x2的中点在(一1,二)之间，xix2, . x2到对称轴的距离大2于x1到对称轴的距离，f(x1)0),若 x1x2, x 1+x2=0 ,贝心)a.f(x1)f(x2)d.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定解析工函数其%=6二-22二辛欠函数的图象开口向上，对称轴为后q, ，阳工】马岑的中点为0,可小，不到对称轴的距离大于工:到对称轴的距离，二 儿丫 ，选人.14 , 一，8.(陕西卷)设x,y为正数，则(x+y)( x + y)的取小值为()a. 6b.9c.12d.151 4y 4x解

4、析：x, y 为正数，(x+y)( + ) 1+4+上+9,选 b.9 .(上海卷)若关于x的不等式(1 +k2)xw k4 +4的解集是m,则对任意实常数k，总有( )(a)2cm,0cm;(b)2乏 m0 星 m；(o 2cm 0 乏m；(d)2乏m,0cm解：选(a)方法1：代入判断法，将x =2,x =0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为r;方法2:求出不等式的解集：(1+k2)xwk4+4n xek44=(k2+1)+5-2= x(k2+1)+5-2min =2拈2;k2 1k2 1k2 110 .(上海卷)如果a 0 ,那么，下列不等式中正确的是()，一、 11 -2.

5、 2.(a) 一 一(b) j_ajb(0 a |b|a b1 111解：如果 a 0，那么一0,- bc” 是 “abv a一b” 的2(a)充分而不必要条件(b)必要而不充分条件(c)充分必要条件(d)既不允分也不必要条件解析士由。占0能推出口bv三二二；但反之不然，因此平方不等式的条件是7一a=b cr.12.(浙江卷)“ a0, b0” 是 “ab0” 的(a)充分而不必要条件(b)必要而不充分条件(c)充分必要条件(d)既不允分也不必要条件解：由“ a0, b0”可推出“ab0”，反之不一定成立，选 a13.(重庆卷)若 a, b, c 0 且 a( a+b+c)+ bc=4-2 j

6、3 ,贝u 2a+b+c 的最小值为(a) . 3 -1(b).3+1(c) 2.3+2(d) 2. 3 -2解析；sab.c + d +c)= 4-23, btihg1 +ab + ac= 4- 23 4 -烧, +口占 + a。+ 占。-+4口6 +4a匚 +二+: (4口 +4b+ 4ac + +c;)(2口一b + c ,贝1(2白 十 占一这二招一二 选 d,14 .(重庆卷)若 a,b,c 0 且 a2+2ab+2ac + 4bc = 12 ,则 a + b + c 的最小值是(a) 2/3(b) 3(c) 2(d)庭解：(a+b+c) 2= a2+b2+c2+2ab+2ac+ 2

7、bc=12+ ( b c) 212,当且仅当 b=c 时取等号，故选a15 .（上海春）若a、b、cw r, ab,则下列不等式成立的是 （）（a）-b2.（c）-7ab.（d）a|c|b|c|.a bc2 1 c2 1解;应用间捋排除法.取上=0,扫滁a.取0r=l排除比取e,日除d.故应该选c.显然篇十】 , :对不等式ab的两边同时乘以门口十1,立得 tt *产+】 成立.二、填空题（共6题）x+- 016.（江苏卷）不等式iog2（x + - +6） e3的解集为 x【解析】log：不 3=1。口 0 （ x+ + 6 ax在1, 12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.

8、甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.丙说：“把不等式两边看成关于 x的函数，作出函数图像”.参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是x =5w1,12时成立；且|x25x户0,等号当且仅当解：由 x2 + 25 + | x3 5 x2 | ax,1 x w12n a 160,当1600 =4x即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。xxx，119 .（浙江卷）不等式 二a 0的解集是。.x -2x x 1_,斛： :0y （x+1） （x2） gx2.x-220 .（

9、上海春）不等式 上丝_0的解集是 . x 1解；应用结论：不等式 三口等价于也就是或一石（力+1） v。它，从而应填21 .（上海春）已知直线 l过点p（2, 1）,且与x轴、y轴的正半轴分别交于 a、b两点，o为坐标原点，则三角形 oab面积的最小值为.解；设直线1为三sa 口 .小曾，则有关系对应用2元均值不等式，得一点七.一 s,即a怔s.于是，aoab面积为 毋7*从而应填工三、解答题（共1题）22.（湖南卷）对1个单位质量的含污物体进行清洗 ，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为:1-污物质量物体质量（含污物）为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择方案甲：一次清

10、洗；方案乙：两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为 x0.8a（1 waw3）.设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是 （xa-1）,用y质量的水x 1第二次清洗后的清洁度是-yac ,其中c（0.8 c 0.99）是该物体初次清洗后的清洁度.y a（i）分别求出方案甲以及c =0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（n）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.，x 08解：（i ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有x 0.8 =0.99,解得x=19.x 1由c

11、 = 0.95得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程：19与.=0.99,解得y=4 a ,故z=4 a +3.即两种方案的用水量分别为y a4 a+3.因为当1 2 - xlooa(l-c)-r-ll=-7+4 -1.v 5(1-c)当且仅当一? = 100(1-0时等号成立一此时5(l-e)c = l+(不合题意,舍司或c = 1-= = (0 0.991idyjsawyj5u将e = l=代入(*)-1 a-l v =10四故c = l-=时总用水量最少.此时第一次与第二次用水量分别为 102 tx1与55口 a.最少总用水量是r鲂=4+4 j1 一一 -3次当1“430由丁=平

12、-1 0,故1m是噌函数他可以用二次函数的单调性判断）.这说明.随着a的值的最少总用水量,最少总用水量最少总用水量.【2005高考试题】、，2x 1八八一1 .（福建卷）不等式 0的解集是选择题:3x - 1a . ,11、. ， 11、a x|x一 b. x| x0且x #1时，lg x十 至2 b当x0日,x += 2 2 lg xx一,1，一,1 一一，一c.当x之2时，x+的最小值为2 d.当0b”是“ a2b2”的充分条件；“ a5”是“ a3”的必要条件.其中真命题的个数是（b ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 44.（辽宁春）6.若14r.,11工之0,则叮的取值范围是（c

13、）1 + aa. 4+工）氏（l+h） c.（11） d. （0=1） i.5 .（辽宁卷）在r上定义运算芯：金丁二一 丁）若不等式（，一切。（工 +/v1对任意实数成立，则（c ）1331a. 1 v 口 10 q 2 ci 一 v 仪 .- d* 口 一） ） ， ）6 .(全国卷 i )设 0 ca 1 ,函数 f (x) =loga(a2x 2ax -2),则使 f (x) 0的 x 的取值范围是(b)(a) (-0,0) (b) (0,收)(c) (*,loga3) (d) (log a 3,收)7 .(山东卷)0a 2 (b) 10g 0 切(1 - a) log 3(1+ a)(

14、c)10g(i.)(1-a)+log(1 (1+a)卜 110g(i.)(1-a) +|logg)(1 + a)(d)10g(i加(1 一a) log (3 (1 + a) 1)的反函数，则使f,(x)1 2成立的x的取值范围为(a )222a/a-1a-1、,a -1a. (*) b,(3,)c, (, a) d . a,f)2a2a2a9 .(天津卷)已知 10gl bv log1a v log 1 c,则222a. 2b2a2cb. 2a2b2cc. 2c2b2ad. 2c2a2bflx-2|1(a) (0， 邪)；(b)(黎,2) ；(c)(6,4) ;(d) (2,4)。il(江西卷

15、)已知买敬小方满足等式尸二g式下列五个关系式：耳中不可能成立的关系式有(b )a.1个民2个c. 3个d. 4个填空题7.(全国卷i) (13)若正整数m满足io”】 2n:iog2 n,其中n为大于2的整数，log 2 n表示不超 2 3n2过10g2n的最大整数.设数列为的各项为正，且满足,nan 1a1 =b(b 0),an-,n =2,3,4;n an（出）试确定一个正整数 n,使彳导当n解：（i）证法1： 当n之2时,0 n时，对任意b0,都有an 3时有， _ _ 下log 2n. an a12八 1112 blog 2 n2ba1 =b, - - -log 2n = .an ；a

16、nb 22b2 blog 2 n证法n设/6)=+l,首先利用数学归纳法证不等式 二 311.ri - 3.4.5. . 1+ fb-当皿时由小知不等式成立.5)假设当k (k3)时，不等式成立，即g -1 +伏+ d生+1) + 口;.江+1 j 0+1t+11 + /伏)6 tb+1)b伏 +1) + (k +1)+ b6 b1 +(/(jt)+i+ f 驻+i*k + l即当1时，不等式也成立.由(i)、(ii)知，an b,n =3,4,5，.1 f(n)b又由已知不等式得an ：二b =2b,n =3,4,5;.12 blog 2 n1 log 2 nb2(n)有极限，且lim a0

17、.nn(m)2b2 blog 2 n2log 2 n21n时，都有an 1.5【2004高考试题】1 . （2004年辽宁卷）对于0 a 1 ,给出下列四个不等式_11 loga(1 +a) loga(1 +)aa1 -aaa a a其中成立的是a.与b.与c.与d.与2. （2004年浙江卷）设式中变量x和v满足条件产款则工的最小值为 i x - -u 0. * 一（a ）（a）l-1（03）-33. q004年重庆卷）不等式k+二 2的解集是（a ）x+1a.（-to）ua+x） 民（7du（oj）c. （to）u（ojd.（一工+ 到x 14. （2004年天津卷）不等式-一1之2的解集

18、为（a ）xa. -1, 0） b. -1,二）c.（-二，-1 d.（-二，-1 （0,二）5. （2004年重庆卷）一元二次方程 ax2+2x+1=0,（ a# 0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（c ）a . a 0 c. a 16. （2004年重庆卷）若an是等差数列，首项a1 0,a2003 +a2004 0相2003a004 0成立的最大自然数 n是： （b ）a. 4005b. 4006c. 4007 d . 40087. （2004年北京卷）已知a、b、c满足cb a ,且ac0,那么下列选项中不一定成立的是 （c ）22a. ab . ac b. c(b - a)

19、 ： 0 c. cb :二 abd.ac(a -c) ： 08. (2004年湖北卷)函数f(x) =a2+log a(x+1)在0,1上的最大值和最小值之和为a,则a的值为(b )a. - b. -c. 2 d. 442 , _- 119. (2004年湖北卷)若0,则下列不等式 a+b| b |;a 2中，正确的不等式有(b )a ba. 1个b. 2个c. 3个d. 4个10. (2004 年湖南卷设集合u =v= (j;jf)|2x-y+m0,8 = (x1y)x-y-n -l.n 5. w -lj7 1, m 5 d. m 5il (2004年湖南卷设口 0. 0.则以下不等式中不恒

20、成立的是(b ) * * *a.(白-5乂一工)之43. a -bi lab*a bc. 口-5一 + 工2 2口 + 25 d. ab y/a /b12. (2004年福建卷)命题p：若a、be r,则| a|+|b|1是| a+b|1的充分而不必要条件；命题 q：函数 y= j| x -1| -2 的定义域是(00, 1 u 3 , +8 ) .则(d )a. p或q”为假b. “p且q”为真c. p真q假d. p假q真13. (2004年全国卷i) a2+b2 =1,b2+c2 =2,c2+a2 =2,则ab + bc+ca的最小值为(b )a. 33 -b. 1 - 33c.- - -

21、 33d.1 + v3222214. (2004年全国卷iii)不等式x(x + 2)0的解集为(a ) x - 3a. x | x -2,或0 x 3b. x |2 x 2,或x a 3c. x | x -2,或x a 0 d. x | x 0,4x 3(x +1) , x 115.(2004年全国卷iv)设函数f(x) =, ，则使得f(x)之1的自变量x4 j x 1, x 之 1的取值范围为(a )a.一二,一2k 0,101b.一二，一2口0,11c.-二,-21 1,101d. -2,0 1,10 116. (2004年全国卷iv)不等式1|x+1 /(工+2)三5的解集是(一层1

22、支(?口。4年北京卷在函数=g二+必+匚中，若a,b,匚成等比薮到且(0)二t.则f有最大一值(填大或一小1且该值为-220. (2004年全国卷iv)某村计划建造一个室内面积为800m的矩形蔬菜温室。 在温室内，沿左.右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的 能力.解：设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m,则ab=800.蔬菜的种植面积s =(a -4)(b -2) = ab -4b -2a 8 = 808 - 2(

23、a 2b).所以 s 4,有 一+一+一 :+(-l);:4j7l(出)证明：由通项公式得 a4 =2.11311当n 上3且n为奇数时， + =3丁一+f- an an 12l2n 12n,-13=x 2 22n-3n 1n -2/2- 2-13 2一m 22 2n 3a4 a5ama4a5a6113111 、一)( -)34m.4 ,am 22 222当m 4且m为奇数时,2m- 4)1+3 = 72 8 8a411+a5am4,有 一 一 一 ：-.a4 a5am822. (2004年江苏卷)已知函数 f (x)(xw r)满足下列条件：对任意的实数x1, x2都有2mx - x2 )

24、_(x - x2 ) f (x1) - f (x2)和|f(x1) f (x2) x1 -x2 ,其中入是大于0的常数.设实数 a0, a, b 满足f (a0) =0和 b =a f(a)(i)证明入1 ,并且不存在b0 #a0 ,使得f (b0)=0；(n)证明(b -a0)2 (1 一 f)(a-a0)2 ；(ni)证明f (b)2 (1-22)f (a)2 .本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力一满 分u分.证明二任取工卜三二&修工1则由z(i _ y：)： w (三一切)/(均)一/3)和/(均)-/(石)国阳一片|可知2(均 (巧-巧s演- 国事

25、一盯j从而z 与即为一!或上二时，4尸 尸+5a-970而此时 04 bl 所以 2 pp |:8xl2 = 10.fc pp 24k2 ppx 2 d 2k(ii)当0 1幻啖=即kw(一二,。)一(01)时 4k: |p|; +5sxl + 2 = 10m2 pp.- :u: pr : +5.ik24. （2004年福建卷）某企业 2003年的纯利润为 500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500

26、（1+工）万元（n为正整数）.2n（i ）设从今年起的前 n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为a万元，进行技术改造后的累计纯利润为 b万元（须扣除技术改造资金），求a、b的表达式；（n）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识 解决实际问题的能力.满分12分.解：(i)依题设，a=(500 20)+(500 40)+(500 20n)=490n 10n2;bn=500(1+ 1)+(1+ -1-)+ - +(1+ ) - 600=500n- 500-10

27、0.2222n2n00(ii ) bfcaa-(500n 100) (490niqn2) 2k,50050=10亡-1皿一100-10n(n-l , - 一10.一兰一10在（0, -x）上为噌函数,7万当 lwns?时，ncn-1)5050当庞:4 时，n（n-l）1012 1020 100.16，仅当位4时，511aal1.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利用司超过不进行技术改造的累计纯【2003高考试题】、选择题1. (2003 京春文，1)设 a, b,c, de r且ab, cd,则下列结论中正确的是（a.a+cb+db. a cb dc.acbda bd.-d c2.

28、（2002京皖春，1）不等式组2x2x-1：0的解集是（- 3x :二 0a.x i - 1x 1b. x i 0x 3 c.x | 0x 0 的解集是(a.x | 0 x 1b. x | xv 0 且xw 一1c.x | - 1x0的解集为（x - 3a. x| x3c. x| x3d.x|1xb0是a2b2的（）a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既非充分条件也非必要条件26. （2000 全国，7）若 ab1, p=、一 lg a lg b , q= - （lg a+lgb）, r= 1g （ab）, 22则（）a.rv pv qb. pv qk rc.qk pv rd.

29、pv r qm8. （2000全国，6）中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过 800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（）a.800 900 元b.900 1200 元c.1200 1500 元d.1500 2800 元1|a|9. （1999上海理，15）若ab 均不能成立b |a| |b|.11 一1212c.不等式 a和（a+ ） （

30、b+一） 均不能成立a - baba. .111212d.不等式 和（a+） （b+一） 均不能成乂|a|b|ab、0. （1999全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）a.5种b.6种c.7种d.8种x 011. (1997全国，14)不等式组3x 2 - x的解集是()1|l3 + x 2 + x1. x | 0x 2b. x | 0x 2.5 2. x | 0x 6 d. x | 0vxv 312. (1994上海，12)若0va 0d. (1 a) (1甸 1

31、a. (1 a) 3 (1 a) 2c. (1 a) 3 (1 + a) 2、填空题13. （2002上海春，1）函数y=的定义域为 .3-2x-x214. （1999全国，17）若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.12 o15. （1995全国理，16）不等式（-）x 3的解集是.2x-116. （1995上海，9）不等式 1的解是 -x 317. （1994上海，1）不等式|x+ 1|1的解集是.三、解答题18. （2002 北京文，17）解不等式 x.19. （2002 北京理，17）解不等式 | j2x-1 -x| 0.(1)解不等式f (x) wi；(2)求a的取值

32、范围，使函数 f (x)在区间0, +8)上是单调函数26. (1999 全国理，19)解不等式 j3loga x 2 0 且 a1).27. (1998 全国文，20)设 aw b,解关于 x 的不等式 a2x+ b2 (1x) ax+b(1 x) 2.飞,(wps全国文二京理工二)如图61,为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从j孔流入，经沉淀后从3孔流出，设 舛豆7-箱体的长度为白米.高度为5米.已知流出的水中该杂质的质量分数与小 m:i的乘积计成反比现有制箱材料s3平方米一间当口、b各为多少米时，经 吃图61沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(小看孔的

33、面积忽略不计)、二。一1英7全国，22)甲、乙两地相距$千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得 超过。千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成： 可变部分与速度t(千米/时)的平方成正比，比例系数为%固定部分为定元一(1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？30. (1997 全国理，24)设二次函数 f (x) =ax2 + bx+c (a0),方程 f (x) x=0 的两根 xi、x2满足 0xix2v . a(i)当 xc (0, xi)时，证明：xv

34、f (x) v xi；(n)设函数f (x)的图象关于直线 x=xo对称，证明:31. (1996 全国理，20)解不等式 log a (1 - - ) 1.x32. (1996 全国文，20)解不等式 log a (x+1 - a) 1.33. (1996 全国理，25)已知 a、b、c 是实数，函数 f (x) =ax2+bx+c, g (x) =ax+b, 当一1w xl 时，|f (x) | 1.(i )证明：| c| w 1 ;(n)证明：当一1w x0,当一iwxwi时，g (x)的最大值为2,求f (x).34. (1994 全国文，22)已知函数 f (x) =log ax (a0,且 al), xc 0, +8).若x2c 0,+oo),判断 1 f(xi)+f(xz)与 f (x1+ x2 )的大小，并加以证明.22答案解析l答案工a解析：,si cdi工答案w c 11 x 1解析：原不等式等价于：n l= 0a1