上册第四章第1-2节正弦、余弦;正切

1、课程信息年 级初三学 科数学版 本湘教版内容标题正弦、余弦和正切编稿老师阳矩红【本讲教育信息】一.教学内容：正弦、余弦和正切教学目标（一）知识与技能1 . 了解一个锐角的正弦、余弦、正切的概念，能够正确地应用 sina、cosa、tana表示直 角三角形两边之比。2 .熟记30、45、60角的正弦、余弦、正切值，会计算含有这三个特殊锐角的直角 三角形的边长，会由一个特殊锐角的正弦值、余弦值、正切值说出这个角。3 . 了解一个锐角的正弦值与它余角的余弦值之间的关系。4 .会用计算器计算锐角的正弦值和余弦值。（二）过程与方法：经历探索锐角的正弦值、余弦值与正切值的过程，在探索中总结规律，体验学习的

2、乐趣。（三）情感态度与价值观体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习自信心。教学重点1 .正弦、余弦、正切的定义。2 .特殊角30、45、60的正弦值、余弦值、正切值。3 .互余角之间的正弦值、余弦值之间的关系。教教学难点1 .锐角的正弦值、余弦值、正切值的计算。2 .综合运用正弦、余弦、正切的关系求直角三角形的边。主要内容1.正弦、余弦、正切的定义：（1）如图，在rta abc中，锐角a的对边与斜边的比，叫做/ a的正弦。 目口 /a的对边记作 sin a,即 sin a =斜边a的余弦。(2)在rtaabc中，锐角a的邻边与斜边的比叫做/记作 cos a,即 cos a =/a的邻边 b

3、斜边a的正切。(3)在rtaabc中，锐角a的对边与邻边的比叫做/ 目口 /a的对边 a记作 tan a,即 tan a = 一/a的邻边 b当锐角a确定后，这些比值都是固定值。2.特殊角30、ot45 、 60八30的正弦值、余弦值、45正切值。八060sin ：cos：tan：如图，在1232.33rtaabc 中,c = 90 , / a = 30.3k2kk3k设 bc = k,则 ab = 2k由勾股定理得ac 3k：s1r3* =bcab 2k 2ac cos30 =abbc t a i30=ac用同样的方法可求4560角的三角函数值。3 .互为余角的正弦、余弦之间的关系:aa由t

4、e乂知：sin a = , cos b =ccsina = cosbip si na =cos90 - a）同理：cosa = sin（90 - a）语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。比如：sin60 = cos30cos52 =sin384 .同角的三角函数之间的关系：,22sina cos a = 1si na1t a na =, tan a =；cos atan（90 - a）5 . 090间正弦值、余弦值、正切值的变化规律：0 ： s i na ： 1, 0 ： c o a 1在090间的角：正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小

5、）；余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）。6 .会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。【典型例题】例 1.已知 abc 中，ac = 7, bc = 24, ab =25,求 sina, cosa , tana, sinb , cosb , tanb分析：根据正弦、余弦、正切的定义知，应首先判断abc是直角三角形。bc解：ac = 7, bc = 24, ab =25 _222_ 2ac bc 7724 =625ab2 =252 =625. .abc为直角三角形, 由三角函数定义得：/ c=90. .ac2 bc2 = ab2. bc

6、24sin a =ab 25 ac 7cos a =二ab 25,a bctan a =24ac13k13由互余角的关系得:s i nb=cos a725cos b = sin a2425tan b1_ 7tan a 24例2.已知rtabc中, a54aasin a =，求 cos a, tan a 13分析：可用引进参数法，也可利用同角的正弦、余弦关系求解。法一：如图.5解：: si na =13.设bc=5k, ab = 13k由勾股定理得：ac = 12ka ac 12k12ab:cos a = 一bct a na = ac5k 512k12法二：解:.225s i n a cos a

7、 = 1, sin a = 13225212 2cos2 a =1 -sin2 a =1 -()2 =(一)21313又/a为锐角，-12c o sa =13cosa 0,a si na tana =- cosa_ j3一 1212135变式训练： 已知在rtabc中，/ c=90 , sin a =，周长为60cm,求斜13边c的长。提示：可引进参数法。例3.计算:1.。.(1) sin 30+ (sin 45+cos45 ) - sin 20- cos 202(2) sin2 60sin2 451 tan451，4 一。tan60 , cos30分析：略-11.2.22。2。解：(1)原式

8、=+ x(+)- (sin 20+ cos 20 )2222二一 12(2)原式=（涉噂211一1一 3v3 x 2=3 2 2_14 43213 2 31=43 12例4.已知锐角值满足2cos2 a +73since -1 = 0,求值的值。的值。分析：把条件式看作关于 sin “的一元二次方程，利用解方程求出sin a ,再确定 22解：. si na + cosa =1条件式子可化为：2 - 2cos2 ：;： : 3sin -3 = 0即 2si n 1,3si n -3=0得(2si n 一, 3) (sin 3) = 0: 0 :二 sin ： ： 1, sin 工工 j3w 0

9、 .2si n = 33sin 二2.3、一sin60 =，a为锐角2： = 60练习1求适合条件的锐角：(1) 2sin 二, = 1,则)=(2) 2 cos =庭,则 ot =(3) 2v3sin(a -10 )=3,则a =(4) 3 tan a = 3,则口 =答案：(1) 30(2) 30(3) 70(4) 30例 5.如图在 rtaabc 中，/ c = 90 , bc = 5, ac = 6。c(1)求 sina , sinb 的值。(2)过点c作cd lab于d,求cos/acd的值。分析：(1)利用正弦定义来解决。.cd(2)求cos/acd,在rtaacd中求较麻烦，但利

10、用互余角的关系将 ac/acd转化为/ b则非常简便。解：(1)在 rtaabc 中，/ c=90 , bc = 5, ac = 6. ab2 - ac2 bc2 .ab = 62 52 = 61.八 bc 55 61 s i na =ab 6161_ ac66、61s i nb =ab6161(2) / acb = 90 ,a + z b=905.6161又 cdab 于 d, ./ acd +/a = 90 . b = / acdbc cos / acd =cosb =ab1例 6.如图在 abc 中，/ a = 30 , tanb = , bc = y10,求ab的长。 3e分析：根据条

11、件知： abc不是直角三角形，应添加辅助线，构造直角三角形。 解：过c点作cd lab于d,设cd = x在 rtaacd 中，z a = 30 .tai30。=-ad .adx.3二3x在 rtzxbcd 中，tan b = cd =1bd 3bd = 3x.222又bc -cd bd. . ( 10)2 = x2 (3x)2x= 1. .ad = 3x = 3bd = 3x = 3. .ab = ad bd = 33【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、填空题：,1。,2。1 .求值：一 x sin 60 x cos45 =。2 22. 在 rtaabc 中，/ c=90 , a= 1,

12、 b = 2,则 cosa =3. tan10 - tan20 - tan30 - tan70 - tan80 =。4. aabc 中，/ c = 90，若 sin a =2 ,则 tanb =。35. j(cos45-1)2 -|tan60-sin30 | =。6. j3tan(80 口)= 1,贝ua=o7. 在 rta abc 中，/ c= 90 , 3a = 45时,b. 90 c. 105sina的值()d. 1207，一 2a.小于2b.大于红2c.小于学11.已知0 90 , sin豆=cos30 ，则豆=(c. 45d.无法确定a. 30b. 6012 .下列结论中不正确的是（

13、a. sin48 37 ： cos410 2022b. rtzxabc 中，/c=90 ,则 sin a + cos a = 1c. rtaabc 中，/ c=90 ，贝u tanb sin b = cosbbd. rt abc 中，/c=90 , ac = b,则 ab =sin b13 .如图cd是平面镜，光线从a点出发经cd上点e反射后照射到b点，若入射角a （入 射角等于反射角），accd, bdlcd,垂足为 c、d,且 ac = 3, bd = 6, cd= 11,贝u on a =（ ）11a.314.如果/ a为锐角，且a. 0 a30c. 45:二 a :二 6015.如图

14、rtaabc 中, ( )4a.33b.11a 1 cos a = 一 ，49c. 一1111d.一9b.d./ acb =90300600:二 a :二 45 a 90,cdxab 于 d,若 ac = 4, bc = 3,贝u sin/acd3b.44c.53d. 一5三、解答题:16.计算:(1) 、(1 -sin45 )2 -|2sin60-sin30 |(2) 1sin60 + cos45 +sin30 , cos30 222tan3021 - tan2 3017.如图 rtaabc 中，/ c=90 , b= 8, z a 的平分线ad=0求/b及3值。18.如图在等腰 abc中，

15、ab=ac,若ab=2bc,试求/ b的正弦值和正切值。19. rtaabc，、一 2中，/ c= 90 ,万程x 3sin a x + 3sin a -1 = 0有两个相等的实数根,斜边为c,方程2cx -2x+c = 0也有两个相等的实根，求这个直角三角形的三边的长。20.如图在abc中，ad是bc边上的高,tanb= cos/ dac 。(1)求证：ac = bd o12(2)右 sin c = bc 12 ,求 ad 的长。13学习永应不嗓，一一高尔基【试题答案】-、填空题：,31. 一82.2,55.33.3,5 4.25.6. 507. 308.23,12 8、3二、选择题:9.

16、c13. d10. b14. d11. b15. c12. c三、解答题:16.解:(1)(2)1、, 原式=一乂2m3-2 3.2、3+ -x21-()23 3 1= 十2217.解:在 rtaadc 中，ac = 8, ad16.3ac 8, 3又 cos / dac =尸=ad 16 323 ./ dac =30又ad平分/ bac ./ bac =60 , z b = 30c= 16, a= 8318.解：如图，过a点作adbc于dc. ab =ac , ab =2bc-1bd = cd = ab4设 bc =2a,贝ubd =a, ab = 4a在 rtaabd 中，ad =)ab2 - bd2 = j(4a)2 - a2 = vt5a,c ad15a.15sin b =ab4a4t a rbadbd219.解：:万程x 3sinax+3sin a -1 = 0有两个相等的头根(-3sir a)2 -4(3sln a -1) -0一 2一一9sin a -12sln a 4 =02(3si na-2)2 =02 . sin a =3又 方程cx2 -2x+c =