专题--多面体的外接球问题

1、精品文档专题 多面体的外接球问题一、考点分析：有关多面体外接球问题， 是立体几何中的一个重点， 也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系， 而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。二、教学目标1、了解多面体与其外接球的关系2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。三、教学重点、难点不同类型的多面体与其外接球半径的求法四、教学过程（一）球的性质性质1:用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。大圆-截面过球心，半径等于球半径；小圆-截面不过球心性质2:球心和截

2、面圆心的连线垂直于截面.性质3：球心到截面的距离d与球的半径r及截面的半径r下面的关系：rjr2d2（二）球体的体积与表面积:1、v球 4 r32、s球面 4 r23（三）球与多面体的接、切1.外接球球心到各顶点的距离相等 （r） 2. 内切球球心到各面的距离相等 （r）五、经典模型：（一）汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为 4,体积为16.其外接球的表面积是 例2:直三棱柱abc ab1g的各个顶点都在同一个球面上，若 ab=ac=aa2, bac=20o,则此球的表面积等于（）（二）对棱相等模型题型：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别

3、相等（ 求外接球问题ab=cd,ad=bc,ac=b)d,第一步：画出一个长方体（补形），标出三组互 为异面直线的对棱；第二步：设长方体的长宽高分别为a,b,c.ad=bc=x,ab=cd=y,ac=bd二z,歹u出方程,2,22abx,222bcy222acz22,222r a b cc例3:三棱锥a-bcd, ab=cd=2,ad=bc=3,ac=bd=4则三棱锥 a-bcd勺外接球的表面积为（第2 5m迎谯4页（三）墙角模型（三条两两垂直的棱）解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可: 22222r a2 b2 c2r .a2 b2 c2j3,其外接球的表面积是（例题4

4、: （1）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为（2）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为 1正方形，则该几何体外接球的体积（四）垂面模型题型一、侧棱垂直于底面的棱锥（步骤：第一步： 将 abc画在小圆面上,一个端点，作小圆的直径pa 平面abc）以a为小圆直径的ad,连接pd,则pd、过球心o第二步：q为abc的外心，所以oo1 平面abc,计算出小圆 o1的半径o1d r（r利用正弦定理计算可得）第三步：利用勾股定 理即可：r2 r2 oo；例5:三棱锥s abc中，侧棱sa平面abc,底面abc是边长为v3的正三角形，sa=2x/3,则该三棱锥的外接

5、球体积等于（）题型二：三棱锥p abc的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上c第一步：确定球心o勺位置，取 abc勺外心q,则p,oq三点共线;第二步：先计算出小圆o的半径，ao1 r,再算出棱锥的高po1;第三步：勾股定理：oa2 oia2 o1o2 r2 h r 2 r2,解出r方法二:2r a为棱长，为侧棱与底面所成角 sin例6:正三棱锥s abc中，底面abc是边长为v3的正三角形，侧棱长为体积等于（）2,则该三棱锥的外接球（五）折叠模型题型：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠第一步：先画出如图所示的图形，将bcd画在小圆上,找出 bcd和 abd的外心hi和h2第二步：过此和

6、乩分别作平面bc野口平面abd的垂线，两垂线的交点即为球心o,连接oeoc;第三步：解oeh,算出oh,在rt 0chi中，勾股 定理即可：oh2+ch12=r2例7:棱形abcdj边长为2,且bad 60o,将棱形abcd对角线b/t叠，使得平面a, bd平面bcd,则三棱锥a-bcd的外接球的半径为（）bc变式：“平面abd 平面bcd”改为“平面abd与平面bcd所成角为120”则三棱锥a-bcd 的外接球的半径为（六、课堂小结 1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找外接球的半径呢？（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解2、

7、三组对棱分别型的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；4、墙面型（侧棱垂直于底面的棱锥）如何找外接球的半径呢？第一步：找底面多边形外接圆的圆心 oi,计算出小圆oi的半径oid r（r利用正弦定理 计算可得）;1第二步：过oi作ooi底面，o为球心且oio=2h（h为椎体的局）第三步：利用勾股定理即可： 5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？（d找底面多边形外接圆的圆心q（顶点在底面的投影），计算出小圆 oi的半径oid r（r利用 正弦定理计算可得）；（2）在高线上取一点作为球心 o;（3）利用勾股定理求出 半径即可r（r利用正弦定理计算 可得）;6、折叠问题（对称性）（d找两底面多边形外接圆的圆心oi、o2,计算出小圆的半径（2）在过小圆圆心o,o2作两面的垂线，两高线交点为球心o;（3）利用勾股定理求出 半径即可七、课后作业i、正四棱