北京市怀柔区2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

1、、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选 项中，选出符合题目要求的一项.1 .在空间，可以确定一个平面的条件是（）a.两条直线b. 一点和一条直线c.三个点 d. 一个三角形2 .直线x-y-1=0的倾斜角是（）x 兀22若椭圆苗+泉=1上的一点p到椭圆一个焦点的距离为3,则p到另一焦点的c -t d i 工3 .距离为（）a. 7 b, 5 c, 3 d. 24.在空间，下列命题正确的是（）a.平行直线的平行投影重合b.平行于同一直线的两个平面平行c.垂直于同一平面的两个平面平行d.垂直于同一平面的两条直线平行22c5已知双曲线依-%=1的离心率为w，则m=(a.

2、 7b, 6 c, 9d. 86 .已知a （ - 2, 0）, b （2, 0）,动点p （x, y）满足而，而二/ ,则动点p的轨迹为（）a.椭圆b,双曲线 c.抛物线 d.两条平行直线7 .某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为（主视 左视俯视a. 8 b. 16 -： c. 10 d. 6. 一：8 .设点m（x0, 1）,若在圆o: x2+y2=1上存在点n,使得/ omn=45 ,则x0的 取值范围是（）a. -1,1b.，勺 c- 也d.耳，脚二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9 .原点到直线4x+3y-1=0的距离为.10 .抛物线y

3、2=2x的准线方程是 .11 .已知0=（1,2,行），良（ti v5- 0）,则彳n + |e|=.12 .过点（1, 0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 .13 .大圆周长为4冗的球的表面积为.14 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？ ”其意思为：在屋内墙 角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米 堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？ ”已知1斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3,则堆放的米约有斛（结果精确到个位）.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解

4、答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 .如图，在四棱锥p abcd中，pd，底面abcr底面abcd为正方形，pd=dc=2g, f分别是ad, pb的中点.(i )求证：cd pa；(h )证明：gf，平面pbc16 .已知直线经过直线3x+4y- 2=0与直线2x+y+2=0的交点p,并且垂直于直线 x- 2y - 1=0.(i )求交点p的坐标；(n)求直线的方程.17 .如图，正方体 abcd- aibigdi的棱长为1, e、f分别是bb和cd的中点.(i )求ae与a1f所成角的大小；(h )求ae与平面abcd所成角的正切值.atdt18 .已知直线l过点(2, 1)和点(

5、4, 3).(i )求直线l的方程；(h)若圆c的圆心在直线l上，且与y轴相切于(0, 3)点，求圆c的方程.19 .如图，pd垂直于梯形abcd所在的平面，/ adc=/ bad=90 . f为pa中点, pd=/2, ab=ad/cd=1.四边形pdce矩形，线段pc交de于点n.(i )求证：ac/平面def5(n )求二面角a- bc- p的大小；(m)在线段ef上是否存在一点q,使得bq与平面bcp所成角的大小为*? 若存在，求出q点所在的位置；若不存在，请说明理由.20 .已知圆o: x2+y2=1的切线l与椭圆c: x2+3y2=4相交于a, b两点.(i )求椭圆c的离心率；(

6、ii)求证：oa，ob;(田)求4oab面积的最大值.2016-2017学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（理科）科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选 项中，选出符合题目要求的一项.1 .在空间，可以确定一个平面的条件是（）a.两条直线 b. 一点和一条直线c.三个点 d. 一个三角形【考点】平面的基本性质及推论.【分析】在a中，两条异面直线不能确定一个平面；在 b中，若点在直线上， 由不能确定一个平面；在 c中，如果共点共线，不能确定一个平面；在 d中， 一个三角形确定一个平面.【解答】解：在a中，两条相交线和两条平行线都能确定一个

7、平面，但两条异面直线不能确定一个平面，故 a错误；在b中，直线与直线外一点确定一个平面，若点在直线上，由不能确定一个平面，故 b错误；在c中，不共线的三点确定一个平面，如果共点共线，不能确定一个平面，故 c 错误；在d中，因为一个三角形的三个顶点不共线，所以一个三角形确定一个平面， 故d正确.故选：d.2 .直线x-y-1=0的倾斜角是（）兀 冗 兀兀a.一 b | | c. t d.一【考点】直线的倾斜角.【分析】根据直线方程求出斜率，根据斜率得出对应的倾斜角.【解答】解：直线y=x-1的斜率是1,兀所以倾斜角为一一故选：b.* y3 .若椭圆25+16=1上的一点p到椭圆一个焦点的距离为3

8、,则p到另一焦点的距离为（）a. 7 b. 5 c. 3 d. 2【考点】椭圆的简单性质.【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得 a的值，即可得2a=10,由椭圆的定 义分析可得答案.22j j【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：25 +16=1,则有 a= =5,即 2a=10,椭圆上任一点到两个焦点距离之和为 10,若p到椭圆一个焦点的距离为3,则p到另一焦点的距离为10-3=7;故选：a.4.在空间，下列命题正确的是（）a.平行直线的平行投影重合b.平行于同一直线的两个平面平行c.垂直于同一平面的两个平面平行d.垂直于同一平面的两条直线平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】

9、由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案.【解答】解：平行直线的平行投影重合，还可能平行， a错误.平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，b错误.垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，c错误.故选d.5.已知双曲线16 -=1的离心率为4，则m=(a. 7b. 6c. 9 d. 8【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦点在 x轴上，以及a、b 的值，由双曲线的几何性质可得 c的值，又由该双曲线的离心率为结合双曲 线的离心率公式可得业4二/，解可得m的值，即可得答案.22-y【解答】解：双曲线的方程为：16 -

10、 m =1,则其焦点在x轴上，且a=r=4, b=1*,则c/tak标，*华 5 门什士 g5右其离心率为 w，则有eb=.一音，解可得m=9;故选：c. op &甲pr二臂工6 .已知a (-2, 0), b (2, 0),动点p (x, y)满足,则动点p的轨迹为()a.椭圆b,双曲线 c.抛物线 d.两条平行直线【考点】轨迹方程.【分析】由题意知(-2-x, v) ? (2 x, v) =x2,即可得出动点p的轨迹.【解答】解：二动点p (x, y)满足 还，诬=日(-2 x, y) ? (2 x, y) =x2,点p的方程为y2=4即y= 2动点p的轨迹为两条平行的直线.故选d.7 .

11、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为(主视 左视俯视a. 8 b. 16 : c. 10 d. 6 ：【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图可得四棱锥为正四棱锥， 判断底面边长与高的数据，求出四 棱锥的斜高，代入棱锥的侧面积公式计算.【解答】解：由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为 4,高为2, 则四棱锥的斜高为屈=2佟一四棱锥的侧面积为s=4(yx 4x272)=16 .故选b.8 .设点m (xo, 1),若在圆o: w+y2=1上存在点n,使得/ omn=45 ,则xo的取值范围是()1. 1 点/ 亚亚a. -1,1b. -2,2 c. - , d. -,-【考

12、点】直线和圆的方程的应用.【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论.【解答】解：由题意画出图形如图：点 m (xo, 1),要使圆o： x2+y2=1上存在点 n,使得/ omn=45 ,则/ omn的最大值大于或等于45时一定存在点n,使得/ omn=45,而当mn与圆相切时/ omn取得最大值，此时mn=1,图中只有m到m之间的区域满足mn=1,xo的取值范围是-1,1.故选：a.i二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.119 .原点到直线4x+3y-1=0的距离为二.【考点】点到直线的距离公式.【分析】直接由点到直线的距离公式得答案.4x

13、+3y - 1=0的距离【解答】 解：由点到直线的距离公式可得，原点到直线卜11 r故答案为：10 .抛物线y2=2x的准线方程是一环十一.【考点】抛物线的简单性质.【分析】先根据抛物线方程求得p,进而根据抛物线的性质，求得答案.【解答】解：抛物线y2=2x, . p=l,准线方程是x= - l1故答案为：-一一自知/l2, b=(-l, vl 0) bp-b+|b|_ |2v3+111 . 口大口,贝u=.【考点】空间向量的数量积运算.【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出两个向量的数量积的坐标表示形式, 得到数量积，求出向量的模长，两个式子相加得到结果.【解答】解：:声3收，百,0）a*b

14、=- 1+25,| k =2, i! =1+2 ；故答案为：1+212 .过点（1, 0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 x- 2y-1=0 .【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程.【分析】先求直线x-2y-2=0的斜率，利用点斜式求出直线方程.1 1【解答】解：直线x-2y-2=0的斜率是亍，所求直线的斜率是亍所以所求直线方程：y=（x-1）,即x-2y- 1=0故答案为：x- 2y-1=013 .大圆周长为4的球的表面积为16兀.【考点】球的体积和表面积.【分析】根据球大圆周长，算出半径 r=2,再由球的表面积公式即可算出本题答 案.【解答】解：设球的半径为r,则:球大圆

15、周长为4冗 2兀 r=4,可得 r=2因此球的表面积为s=4兀f=16冗故答案为：16九14 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？ ”其意思为：在屋内墙 角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米 堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？ ”已知1斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3,则堆放的米约有 22斛(结果精确到个位).【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为 8尺，可求出圆锥的底 面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛

16、的体积即可求得斛数.【解答】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，则宗2上r=81 1所以米堆白体积为 v=fxx兀/535.56,35.56所以米堆的斛数是字厂=22,故答案为22.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证 明过程.15 .如图，在四棱锥p abcd中，pd，底面abcr底面abcd为正方形，pd=dc=2g, f分别是ad, pb的中点.(i )求证：cd pa;(h )证明：gf，平面pbc【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】(i)以d为原点建立空间直角坐标系，利用 强瓶=0,证得pm cd;(h)利用而?e=

17、0,前?pc=0,去证gf,平面pcb【解答】证明：(i)以d为原点建立空间直角坐标系则 a (2, 0, 0) b (2, 2,0) c (0, 2, 0) p (0, 0, 2) f (1, 1, 1)同二(2, 0, -2),&=(0, 2, 0),.屈疵=0, ./云, pal cd；(h)设 g (1, 0, 0)则前二(0, t, - 1),连=(2, 0, 0), pc= (0, 2,-2).而?cb=0, f? ?pc=0,fg cb, fg pc, cba pc=cgf!平面 pcb16 .已知直线经过直线3x+4y- 2=0与直线2x+y+2=0的交点p,并且垂直于直线 x

18、 - 2y - 1=0.(i )求交点p的坐标；(n)求直线的方程.【考点】待定系数法求直线方程.【分析】(i )联立方程，求交点p的坐标；(n)求出直线的斜率，即可求直线的方程.【解答】解：()由嫁我得1g所以 p (- 2, 2).(h)因为直线与直线x- 2y-1=0垂直,所以ki= - 2, 所以直线白方程为 2x+y+2=0.17 .如图，正方体 abcd- aibigdi的棱长为1, e、f分别是bb和cd的中点.(i )求ae与aif所成角的大小；(h )求ae与平面abcd所成角的正切值.【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角.【分析】(i )建立坐标系，利用向量方法

19、求 ae与aif所成角的大小；(ii)证明/ eab就是ae与平面abcd所成角，即可求ae与平面abcd所成角 的正切值.【解答】解：(i)如图，建立坐标系a-xyz,则a (0, 0, 0), e (i, 0,1),1ai (0, 0, i), f (彳，i, 0)所以ae与aif所成角为90(h) v abcd- aibigdi 是正方体, bbl平面 abcd / eab就是ae与平面abcd所成角,又e是bb中点,在直角三角形 eba中，tan/eab=；18 .已知直线l过点(2, 1)和点(4, 3).(i )求直线l的方程；(h)若圆c的圆心在直线l上，且与y轴相切于(0, 3

20、)点，求圆c的方程.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(i )由两点式，可得直线l的方程；(h)利用圆c的圆心在直线l上，且与y轴相切于(0, 3)点，确定圆心坐标 与半径，即可求圆c的方程.x-2【解答】解：(i)由两点式，可得不不多小即x-y-1=0;(11) 圆c的圆心在直线l上，且与y轴相切于(0, 3)点， 圆心的纵坐标为3, 横坐标为-2,半径为2 圆 c的方程为(x+2) 2+ (y-3) 2=4.19 .如图，pd垂直于梯形abcd所在的平面，/ adc=/ bad=90 . f为pa中点,h/2 国pd= , ab=ad=cd=1.四边形pdce为矩形，线段pc交de于点n

21、.(i )求证：ac/平面def，(n )求二面角a- bc- p的大小；(田)在线段ef上是否存在一点q,使得bq与平面bcp所成角的大小为年 ?若存在，求出q点所在的位置；若不存在，请说明理由.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定.【分析】（i ）连接fn,推导出fn/ ac,由此能证明ac/平面dee（h）以d为原点，分别以da, dc, dp所在直线为x, y, z轴，建立空间直角 坐标系d-xyz,利用向量法能求出二面角 a-bc- p的大小.（田）设存在点q满足条件，且q点与e点重合.由直线bq与平面bcp所成 角的大小为看，利用向量法能求出q点与e点重合.【解答】（

22、本小题满分14分）证明：（i ）连接fn,在zxpac中，f, n分别为pa, pc的中点，所以fn/ ac, 因为fn?平面def，ac?平面def，ac?平面def，所以ac/平面def.解：（h）如图，以d为原点，分别以da, dc, dp所在直线为x, y, z轴，建 立空间直角坐标系d-xyz,则 p （0, 0,6），b （1, 1, 0）, c （0, 2, 0）,，丽5 1,鹏），的=（_i, 1, ）,irpb=x+y-y22=0设平面pbc的法向量为=（x, y, z）,则:日 屈二r”。，取 x=1,得1（1, 1, ,j因为平面abc的法向量电（0, 0, 1）,n,

23、r也所以 cos = |n|hn| = 2 ，由图可知二面角a- bc- p为锐二面角,jl所以二面角a-bc- p的大小为工.（田）设存在点q满足条件，且q点与e点重合.*f（1-儿 整理得q （1厂，v2 ,e （0, 21）, 八技计入） 2 人， 2），设 fqj fe（00 内 1）,迎（-空2 人1,vs（1+ x）,7u因为直线bq与平面bcp所成角的大小为 工，2l bq. f|5i|1所以 sin & =| cos| =| 辰 曲 | w49 ”-1。入；7上,则岸=1，由00腔1,知入二1即q点与e点重合.20 .已知圆o: x2+y2=1的切线l与椭圆c: x2+3y2=4相交于a, b两点.（i ）求椭圆c的离心率；（ii）求证：oa，ob;（田）求4oab面积的最大值.【考点】椭圆的简单性质.【分析】（i ）由题意可得椭圆的a, b, c,由离心率公式可得所求值;（n）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达 定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；（田）因为直线ab与圆o相切，则圆。半径即为4oab的高.讨论当l的斜率 不存在时，由（h）可知|ab|=2.则sjaoab=1.当l的斜率存在时，运用弦长公 式和点到直线的距