排列组合解题的技巧模板

1、排列组合解题的技巧排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点 , 其思考方法独特, 求解思路灵活 , 因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误. 虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考察上, 但当对问题类型把握准确时, 解答的准确性上将会有很大的提升, 解答速度也会大大提高 . 以下介绍几类典型排列组合问题的解答技巧 :1 、相邻问题捆绑法例 1 6 名同学排成一排, 其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )种。a 、 720 b 、 360 c 、 240 d 、 120解 : 因甲、乙两人要排在一起, 故将甲乙两人捆在一起视作一人有种排法 , 与其余四人进行全排列有种排法 , 由

2、乘法原理可知 , 共有=240种不同排法, 故选 (c) 。点评 : 从上述解法可以看出, 所谓“捆绑法” , 就是对元素进行整体处理的形象化表述, 体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题 , 只要把必须相邻的元素 “捆” 成一个整体 , 视作一个 “大” 元素 , 再考虑相邻元素内部的排列或组合, 就能保证这些元素相邻而不散乱。训练 : 3 名男教师 ,3 名女教师 ,6 名学生站成一排, 要求男教师和女教师必须站在一起, 且教师不站在两端, 则一共有多少种站法?2 、相隔问题插空法例 2 排一张 5个歌唱节目和 4个舞蹈节目的演出节目单1 1) 任何两个舞

3、蹈节目不相邻的排法有多少种 ?2 2) 舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种 ?解:(1) 先排歌唱节目有种, 歌唱节目及两端有6个空位 , 从这 6个空位中选 4 个放入舞蹈节目 , 共有 种方法 , 所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 种。3 3) 先排舞蹈节目有种排法 , 在舞蹈节目和两端有5 个空所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法, 个歌唱节目放入 5 恰好供 , 位有 种。训练 : 若将例题当中的“ 4 个舞蹈节目”改为“ 5 个舞蹈节目” , 求舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种 ?点评 : 从解题过程可以看出 , “插” 的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问

4、题的常用手段。 在具体操作时, 可以先将其它元素排好, 再将所指定的不相邻的元素“插入”到它们的间隙及两端位置, 从而保证它们不相邻。3 、限定问题优限法例 3 由数字 0,1,2,3,4,5 可组成多少个无重复数字的四位偶数?解 : 因所求是偶数, 所以个位必须是0,2,4 中的任何一个, 又首位不能为0,所以分个位为 0 时有 种,个位不为 0 时有 种。所以共有种。点评 : 所谓“优限法” , 即有限制条件的元素( 或位置 ) 在解题时优先考虑,本题对四位偶数中的个位数字有特殊要求, 首位数字又不能为 0, 故优先考虑。训练本例条件不变，问题改为“求能组成多少个无重复数字且比20xx大的

5、四位偶数?” , 应如何求解?4 、多元问题分类法例 4 三边长均为整数, 且最大边长为 11 的三角形有多少个?解 : 设三角形的另外两个边分别为 x 和 y, 且不妨设, 要构成三角形,必有 则分类讨论如下 :当y为11时,x可以为：1,2,3,p，可有11个三角形；当y为10时,x可以为:2,3,4, ,10,可有9个三角形；当y为9时,x可以为:3,4,5, ,9,可有7个三角形；当y为8时,x可以为:4,5,6,7,8, 可有5个三角形；当y为7时,x可以为:5,6,7,可有3个三角形；当y为6时,x可以为:6,只有1个三角形；所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36个。点评

6、 : 元素多 , 取出的情况也多种 , 可按结果要求, 分成互不相容的几类情况分别计算, 最后总计。训练 某城市在中心广场建造一个花圃 , 花圃分为 6 个部分 , 如图 , 每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花, 种不同颜色的花4 现要栽不同的栽种方法有多少种?5 、标号排位问题分步法例 5 同室 4 人各写一张贺年卡, 先集中起来, 然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡, 则四张贺年卡的分配方式有( )a. 6 种 b. 9 种 c. 11 种 d. 23 种  解: 此题可以看成是将数字1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里, 每格填一个数, 且每个方格

7、的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1 填入 2 至4 号的 3 个方格里有种填法 ; 第二步把被填入方格的对应数字, 填入其它 3个方格 , 又有 种填法 ; 第三步将余下的两个数字填入余下的两格中 , 只有 1 种填法。故共有3x3x 1=9种填法，而选b。点评 : 把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放, 第二步再排另一个元素 , 如此继续下去, 依次即可完成。训练：将标有1,2,10的10个小球投入同样标有1,2,。的圆筒中，每个圆筒都不空, 且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种 ?6 自由选择问题住店法例 6 现有 6 名同学去听同

8、时进行的 5 个课外知识讲座 , 每名同学可自由选择其中的一个讲座, 不同的选法的种数是()a b cd解:6 名同学每人都可以在5个课外知识讲座中任选一种 , 所以均有 5种选法 , 故总共有种 , 选 a 。点评 : 自由选择问题可以看成“顾客住店”问题。每名顾客( 元素 ) 都可以任意选择旅店( 位置 ), 因而每个元素都有位置数种选法, 所以总方法为 种。训练 : 某同学要将标有1,2,3,4,5,6 的 6封信投递出去,现有三个不同的信箱供选择 , 则有多少种不同的投递方法?7 分配问题隔板法例 7 高一年级 7 个班级要组成篮球队, 共需 10 名队员 , 每个班级至少要出一名 ,

9、 则不同的组成方法共有多少种 ?, 每一个班级至少要一名 , 个不同的班级7 名队员来自于 10 由于 : 解所以问题相当于将10名队员分成7组 ,10 名队员并排站立中间有9个空格 , 在这9 个空格中插入6 个隔板就将10 名队员分成了 7 组 , 每一组来自于一个班级, 即得到了不同的组成方法共计 种 .点评 “: 隔板法” 所解决的问题有以下特征 :(1) 被分的元素不加以区别 ;(2)被分的元素的个数不小于分得的组数;(3) 每个小组至少分得一个元素。 具备这些条件时就可以用公式: 将 个相同元素分成份 时, 有 种分配方法训练 : 将 10个相同的小球装入 3个编号分别为 1,2,

10、3 的盒子当中 , 每次将10个球装完 , 每个盒子里的球的个数都不小于合资的编号数, 则不同的装法共有多少种 ?8 定序问题缩倍法例 8 a、 b、 c、 d、 e 五个人并排站成一排, 如果 b 必须站在 a 的右边 (a 、 b可以不相邻 ), 那么不同的排法的种数是()&nbs p; (a)24 (b)60 (c)90 (d)120解:b在a的右边与b在a的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元 素全排列数的一半, 即 60 种 , 故选 (b) 。点评 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题 , 这 类问题用缩小倍数的方法解决比较方便快捷。训练 : 从 1,2,

11、3,4,5 五个数字当中任选 3 个组成一个三位数, 其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?9 有序分配问题逐分法例 9 有 6本不同的书 , 按照以下要求处理, 各有几种分法?(1) 平均分给甲、乙、丙三人;(2) 甲得一本 , 乙得两本 , 丙得三本 ;解:(1) 每人得 2本,可考虑甲先在6本书中任取2本, 取法有种, 再由乙在余下的书中取2 本, 取法有种, 最后由丙取余下的 2本, 有 种取法 ,所有取法为 种。(3) 选取方法同 (1), 所以共有取法数为 种。点评 : 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组 , 常采用逐步分组法求 解。, 名是日语译员 ,4 名是英语译员 5

12、其中 , 名外语翻译人员 11 有 : 训练另外两名英、日都精通, 从中找出 8 人 , 使他们能组成两个翻译小组 , 其中 4 名翻译英语 , 另外 4 名翻译日语, 这两个小组能同时工作, 问这样的 8 人名单共可开出几张 ?10 匹配问题配对法例 10 从 6双不同型号的鞋中任取4只, 其中恰有两只配成一双的取法有多少种 ?解 : 先在 6 双鞋中任取一双有种取法 , 再在余下的 5 双中任取两双 ,每双中各取一只有种取法 , 所以总取法有 种。点评“: 配对法”就是将两个相关元素之间建立一一对应关系 , 如鞋子配对,钥匙和锁配对, 比赛选手和比赛场次配对等, 利用这些对应关系 , 使得

13、比较杂乱的问题简单化, 解答思路明晰化 , 能够将难度分步化解, 提升解答准确度。训练 : 有 111 名选手参加乒乓球比赛, 比赛采取单淘汰制 , 需要打多少场比赛才能产生冠军?11 选排问题先选后排法例 11 有 6名男医生 ,4 名女医生 , 从中选 3 名男医生和两名女医生到 5个不同的地区巡回医疗, 但规定男医生甲不能到地区 a, 共有多少种不同的分派方法 ?解 : 分两类 :第一类 : 甲被选 , 共有 种分派方法 ;第二类 : 甲未被选 , 共有种分派方法;所以共有种分派方法。点评 : 本题中不仅要选出 5 名医生 ( 元素 ), 还要求分配到 5 个地区 ( 空位 ),因此是一

14、道“既选又排”的排列组合综合问题 , 解决这类问题的方法是“先选后 排” , 同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则。训练 : 从 1 到 9 的九个数字当中取出三个偶数四个奇数, 试问 :(1) 能组成多少个没有重复数字的七位数?(2) 上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个?(3) (1) 中的七位数当中 , 偶数排在一起奇数也排在一起的有几个?、至少问题间接法12例 12 课外活动小组共13人, 其中男生 8人,女生 5人,并且男、 女各指定一名队长。现从中选 5 人主持某种活动, 至少有一名队长当选的选法有多少种 ?解 : 在选取的人员当中 , 总的选法有种 , 不包含队长在内的有

15、,所以总的选法有种。训练 : 从甲、 乙等 10 名同学当中挑选4 名参加某项公益活动 , 要求甲、 乙中至少有 1 人参加 , 则不同的挑选方法共有多少种 ?点评 : 含“至多”或“至少”的排列组合问题 , 通常用分类法, 但是往往分类较多 , 讨论起来难度较大。本题所用的解法是间接法 , 即排除法 ( 总体去杂 ), 适 用于反面情况明确且易于计算的情况。13 多排问题单排法例 13 两排座位 , 第 1 排 3个座位 , 第 2排 5个座位。若8名学生入座 (每人 1 个座位 ), 则不同的座法有多少种 ?解 : 因 8 名学生可以在前后两排座位中随意入座, 再无其他条件, 所以两排座位

16、可以看成一排来处理, 故不同的座法有种。点评 : 把元素排成几排的问题 , 限定条件若不影响问题归结为一排考虑, 那么就将多排问题化为一排, 再分段处理。训练 :12 名同学合影 ,站成前排 4人, 后排 8人。(1) 总共有多少种不同的站法?(2) 摄影师要从后排8人中抽调 2人到前排 , 其他人顺序不变, 总共有多少种调整方法?14 交叉问题集合法例14从6名运动员中选出4名参加4x100米接力赛，如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒, 共有多少种不同的参赛方法?解 : 设全集 i=6 人中任取 4人参赛的排列 ,a= 甲跑第一棒的排列 ,b= 乙跑第四棒的排列 , 根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有:(种) 。说明 : 某些排列组合问题几部分之间有交集, 可用集合中求元素个数的公式 :来求解。训练：从7名运动员当中选出4人参加4x100米接力，求满足下列条件的安排方法数:(1) 甲、乙二甲、乙二人不都跑中间两棒。 ;(2) 人都不跑中间两棒15 多排问题剔重法例 15 用 5个数字 0,1,1,2,2, 组成的五位数总共