同济大学微积分总复习(上)

1、总复习总复习 一、极限与连续一、极限与连续 1.求极限求极限 无理函数的极限无理函数的极限有理化有理化 例例1 求极限求极限 1 12 lim. 211 x x x 解解 1 12 lim 211 x x x 1 1212211 lim 21121112 x xxx xxx 1 1211 2 lim. 4 2112 x xx xx 例例2 求极限求极限 22 lim212 . x xxx 解解 22 lim212 x xxx 22 23 lim 212 x x xxx 22 23 lim1. 112 121 x x x xxx 两个基本极限两个基本极限 0 sin lim1. x x x 变形

2、变形: sin lim1 lim0 . xx 1 lim 1. x x e x 变形变形:lim 1. x k x k e x 类型类型:lim. cx d x xb xa 例例3 求极限求极限 2 2 2 3 2 1 lim. 1 x x x x 解解 2 2 2 3 2 1 lim 1 x x x x 2 3 2 2 lim 1 1 x x x 2 1 2 3 3 2 2 lim 1. 1 x x e x 无穷小与等价无穷小无穷小与等价无穷小 基本等价无穷小基本等价无穷小当当 时时 0 x sintanarcsinxxxx arctan1ln 1, x xex 2 1 1cos, 2 xx

3、 11.xx 等价无穷小代换等价无穷小代换 若若 , 则则 limlim. xx 例例4 求极限求极限 3 0 arctan lim. ln 12 x xx x 解解 3 0 arctan lim ln 12 x xx x 3 0 arctan lim 2 x xx x 2 2 0 1 1 1 1 lim. 66 x x x l法则 法则 例例5 求极限求极限 2 0 1tan1sin lim. ln 1 x xx xxx 解解 2 0 1tan1sin lim ln 1 x xx xxx 2 0 1tansin lim 2ln 1 x xx xxx 0 11cos lim 2ln 1 x x

4、 xx 2 0 1 lim 4ln 1 x x xx 0 121 lim. 1 42 1 1 x x x l法则 法则 例例6 确定确定 使使, ,a b c 3 0 sin lim0 . ln 1 x x b axx c c t dt t 解解 由条件得由条件得:0,b 从而极限为未定式从而极限为未定式. 所以所以 3 0 0 sin lim ln 1 x x axx t dt t l法则 法则 3 0 cos lim ln 1 x ax x x 2 0 cos lim, x ax x 由条件得由条件得:1,a 所以所以 3 0 0 sin lim ln 1 x x axx t dt t 2

5、 0 1cos1 lim. 2 x x x 即即: 1 1,0,. 2 abc 例例7 已知当已知当 时时,0 x 1 2 4 11sin ,axxx 则则 .a 解解 因因 1 22 4 1 11, 4 axax 而而 2 sin,xxx 所以所以 4.a 2.连续函数连续函数 定义定义 函数函数 在点在点 处连续处连续 f x0 x 0 0 lim. xx f xf x 等价条件等价条件 函数函数 在在 处连续处连续 f x 0 x 0 lim0. x y 间断点的分类间断点的分类. 设设 为为 的间断点的间断点: f x 0 x 则则 为可去间断点为可去间断点; 0 x 则则 为跳跃间断

6、点为跳跃间断点; 0 x 00 ,f xf x 0 lim xx f x 存在存在, 第一类第一类; 其余为第二类间断点其余为第二类间断点. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质. 最大值和最小值定理最大值和最小值定理 有界性定理有界性定理 零点定理零点定理 介值定理介值定理 例例8 设函数设函数 3 2 ln 1 0, arcsin 6 0, 1 0, sin/4 ax ax x xx f xx exax x xx 问当问当 为何值是为何值是, 在在 处连续处连续, 当当 为何值时为何值时, a f x0 x a 0 x f x是是 的可去间断点的可去间断点. 解解 左极限左极限:

7、3 0 ln 1 lim arcsin x ax xx 3 0 lim arcsin x ax xx 2 0 2 3 lim 1 1 1 x ax x 2 2 0 3 lim 11 x ax x 6 , a 右极限右极限: 2 0 1 lim sin/4 ax x exax xx 2 2 0 1 4 lim ax x exax x 2 22 .a 由条件由条件: 若函数连续若函数连续, 即即 000 ,fff 即即: 2 6622aa1,a 可去间断点可去间断点, 即即 000 ,fff 即即: 2 6226,aa2.a 例例9 设函数设函数 在在 的某个邻域内有连续的二阶的某个邻域内有连续的

8、二阶 f x0 x 00,00,00,fff 2 123 230.f xfxfxfo x 解解 由条件得由条件得: 123 2 0 230 lim0. x f xfxfxf x 得得 123 1. 导数导数, 且且 123 , 的一组的一组 使得使得 证明存在惟证明存在惟 一一 对上式由罗必达法则对上式由罗必达法则, 得得 123 2 0 230 0lim x f xfxfxf x 123 0 2233 lim 2 x fxfxfx x 123 0 4293 lim. 2 x fxfxfx 分别得到分别得到: 123 230, 及及 123 490. 因三阶行列式因三阶行列式: 111 123

9、20, 149 知方程的解是唯一的知方程的解是唯一的. 例例10 设设 ,0,f gc a bg x证明证明: ,a b 使得使得 . bb aa f x g x dxfg x dx 证证 令令 分别为函数在分别为函数在 区间上的最小和最大值区间上的最小和最大值,m m f x . bbb aaa mg x dxf x g x dxmg x dx 即即: 则有则有: 1 , b b a a mf x g x dxm g x dx 由介值定理知由介值定理知: ,a b 使得使得, 1 , b b a a ff x g x dx g x dx 从而有从而有: . bb aa f x g x dxf

10、g x dx 二、一元函数微分学二、一元函数微分学 1.导数的定义及几何意义导数的定义及几何意义 导数定义导数定义 00 0 00 ()() ()limlim. xx yf xxf x f x xx 变形变形: 若若 0 ,fxa则则: 00 0 ()() lim. t f xktf x ka t 几何意义几何意义 函数在一点的导数为对应的曲线在该点函数在一点的导数为对应的曲线在该点 的切线的斜率的切线的斜率. 切线方程切线方程: 000 ()().yfxfxxx 法线方程法线方程: 00 0 1 () () yfxxx fx 0 0 .fx 可导与连续的关系可导与连续的关系:可导必连续可导必

11、连续. 例例11 已知已知 0 2,fx求求: 00 0 (2 )(3 ) lim. t f xtf xt t 解解 00 0 (2 )(3 ) lim t f xtf xt t 0000 0 (2 )(3 ) lim t f xtf xf xf xt tt 00 2310.fxfx 例例12 设设 2 ln 1, 32 01, 1/ 0, xx f xxxx xx 求求 .fx 解解 由函数的表达式知由函数的表达式知: 函数在点函数在点 处连续处连续, 而在点而在点1x 当当 时时,1x 1 .fx x 0 x 处间断处间断. 求出函数在各段的导数求出函数在各段的导数. 当当 时时,01x

12、23,fxx 当当 时时, 0 x 2 1 .fx x 在点在点 处处,1x 11 1 limlim1,. xx fx x 1 11 limlim231,. xx fxx 所以所以, 11. f 由此得由此得: 2 1 1, 23 01, 1 0. x x fxxx x x 例例13 设函数设函数 在区间在区间 上有定义上有定义, 且满足且满足: f x 1,1 2 ,xf xxx 求求 0 . f 解解 由条件得由条件得 00.f 又又: 0 0lim, x f x f x 2 00 1limlim1, xx f xxx xx 由夹逼定理得由夹逼定理得: 所以所以 01. f 2.导数计算导

13、数计算 导数的基本公式导数的基本公式; 求导法则求导法则: ( ) ( )( )( ),uvu x v xu x v x 2 ( ) ( )( ) ( ) . ( ) uu x v xu x v x vvx 复合函数求导复合函数求导: 设设 为可导函数为可导函数, 则则 ,yf uug x . u dy fu gxfg xgx dx 反函数求导反函数求导: 设设 是函数是函数 的反函数的反函数, yf x xg y 则则 1 . dy dxgy 隐函数求导及对数求导法隐函数求导及对数求导法: 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数: 设设 , , xx t yy t 则则 dy

14、y tdydy dt dt dx dxdt dxx t dt ,f t 2 2 . ftd y dxx t 高阶导数及高阶导数的莱伯尼茨公式高阶导数及高阶导数的莱伯尼茨公式: 0 . n n n kkk n k uvc uv 例例14 设设 求求 2 cos sin, x yx. y 解解 两边取对数两边取对数, 得得 2 lncoslnsin ,yxx求导得求导得: 3 1cos sin2lnsin, sin x yxx y 所以所以: 2 cos 2 sinsin2lnsincoscot. x yxxxxx 例例15 求由参数方程求由参数方程 2 cos, sin xt yt 解解 由求导

15、公式得由求导公式得: cos1 csc , 2cossin2 dyt t dxtt 2 2 d y dx 3 csc11 csc . 22cossin4 t t tt 所确定函数的二阶导数所确定函数的二阶导数. 例例16 求函数求函数 1 sin tan x x yxx 解解 令令 12 ,yyy 由对数求导法得由对数求导法得: 1 2 tanlntan, sin2 xx yxx x 1 sin 2 2 11ln1 tansincos, x x x yxx xxxx 所以所以 的微分的微分. 1 sin 12 tan, x x yxyx 2 tanlntan sin2 xx dyy dxxxd

16、x x 1 sin 2 11ln1 tansincos. x x x xxdx xxxx 3.中值定理中值定理 ( )0.f 罗尔定理罗尔定理 设函数设函数 ( ),f xc a bf xd a b ,f af b 则存在则存在 使得使得 ,a b ( )( )( )().f bf afba 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 设函数设函数 ( ),f xc a ba b 且且 ( , )a b么至少存在一点么至少存在一点 使得使得 则则 ( )( )( ) . ( )( )( ) f bf af g bg ag 柯西定理柯西定理 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续, ,f xg

17、x, a b ( )0,g x, a b, a b在开区间在开区间 内可导内可导, 并且在开区间并且在开区间 内内 , a b 那么至少存在一点那么至少存在一点 使得使得 例例17 设函数设函数 且且 0,10,1 ,f xcd 2 1 1 3 0 13, x fef x dx 证明存在证明存在 使得使得:0,1 , 2.ff 证证 由积分中值定理由积分中值定理, 存在存在 有有 1 0,1 , 2 1 1 1 1.fef 令令: 2 1 . x f xef x 则则 0,10,1 ,f xcd 且且 2 1 1 11 11.ffeff 由罗尔定理由罗尔定理, 知存在知存在 使得使得 1,1

18、, 0.f 又又 2 1 20,feff 即有即有: 2.ff 例例18 设设 且且 若极限若极限( ),f xc a bd a b 0,fx 2 lim xa fxa xa 存在存在, 证明证明 在在 内内, 0,f x , a b 在在 内存在内存在 使得使得 , a b , 22 2 ; b a ba f f x dx 在在 内存在与相异的内存在与相异的 使使, a b, 22 2 . b a fbaf x dx a 证证 由条件极限由条件极限 2 lim xa fxa xa 存在及函数的连续性存在及函数的连续性, 得得 0.f a 又又 0,fx 得得 是单调上升的是单调上升的. 从而

19、从而 f x 0 ,.f xxa b 令令 2 , x a f xxg xf t dt 则函数满足柯西定理则函数满足柯西定理 条件条件, 由定理得由定理得:,a b 使得使得 f bf a g bg a 22 ba aa ba f t dtf t dt 2 , x a x x f t dt 即即: 22 2 . b a ba f f x dx 因因 0,ffff a 在区间在区间 中使用拉格朗日中值定理中使用拉格朗日中值定理, 存在存在 , a,a ,ffa 再由再由, 22 22 ; b a ba ffa f x dx 使得使得 即即: 22 2 . b a fbaf x dx a 3.罗必

20、达法则罗必达法则 基本类型基本类型 0 ,; 0 变型变型 0,; 变型变型 00 0 ,1 ,. 法则法则: limlim. xx f xfx g xgx 例例19 求极限求极限 3 3 6 0 1 lim. sin x x ex x 解解 3 3 6 0 1 lim sin x x ex x 3 3 6 0 1 lim x x ex x 3 22 5 0 33 lim 6 x x x ex x 3 3 0 111 lim. 22 x x e x 例例20 求极限求极限 2 1 limln 1. x xx x 解解 作变换作变换 1 0.tt x 则则 2 1 limln 1 x xx x

21、2 0 ln(1) lim t tt t 0 1 1 1 1 lim. 22 t t t 例例20 求极限求极限 0 1 lim ln. x x x 解解 作变换作变换 1 .tt x 令令 1 ln, x y x 则则 1lnln lnlnln, t yx xt 所以所以 0 lnln lim lnlim t x t y t 1 lim0, ln t tt 即即 0 0 1 lim ln1. x x e x 例例21 求极限求极限 2 0 2 limcos. x x x 解解 令令则则 2cos, x yx lnln cos, 2 yxx 再令再令 ,cossin0, 2 txxt t 则则

22、 2 0 0 2 limcoslim lnsin0, x t x xtt 所以所以 2 0 2 limcos1. x x x 例例22 设设 连续连续, 记记 fx 00,f 0, 0 0, f x x f xx fx 证明证明 fx为连续函数为连续函数. 证证 当当 时时, 0 x 2 xfxf x fx x 为连续函数为连续函数, 当当 时时,0 x 00 limlim xx f x f x x 0 0 lim x f xf x 00 ,ff 0 0 0lim x f xf f x 0 /0 lim x f xxf x 2 0 0 lim x f xxf x 0 01 lim0 , 22

23、x fxf f x 2 00 limlim xx xfxf x fx x 0 lim 2 x fxxfxfx x 1 0 , 2 f 即即: fx为连续函数为连续函数. 4.taylor公式公式 1 , n fda b f x 定理定理 如果函数如果函数 在含在含 的某个开区间的某个开区间 内具有内具有 0 x, a b 直到直到 阶导数阶导数, 即即1n ,xa b 2 0 0000 2! fx f xf xfxxxxx 0 0 , ! n n n fx xxrx n 其中其中: 那么对于那么对于 有有 这里这里, 是是 与与 之间的某个值之间的某个值. 0 xx 1 1 0 , 1 ! n

24、 n n f rxxx n 当当 时时, 上式为上式为 0 0 x 2 0 00 2! f f xffxx 1 1 0 01 , !1 ! nn nn ffx xx nn 例例23 将将 展开成展开成 的多项式的多项式. 42 34f xxx1x 解解 3 46 ,110,fxxx f 2 126,118,fxxf 24 ,124,fxx f 44 24,124,fxf 代入公式得代入公式得 2 1 1111 2! f f xffxx 3 11 11, 3!4! n n ff xx 234 810191411 .f xxxxx 例例24 将将 1 ln 1 x f x x 0 x 余项的余项的

25、taylor公式公式. 解解 1 lnln 1ln 1, 1 x f xxx x 232 2 ln 1, 232 n n xxx xxo x n 232 2 ln 1, 232 n n xxx xxo x n 所以所以 在点在点处展开成带有皮亚型处展开成带有皮亚型 ln 1ln 1f xxx 3521 2 2. 3521 n n xxx xo x n 5.曲线形态讨论曲线形态讨论 单调性研判及求单调区间单调性研判及求单调区间; 极值及极值的求法极值及极值的求法: 极值存在的必要条件极值存在的必要条件: 可导的极值点为驻点可导的极值点为驻点. 极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件: 导函

26、数在该点两侧异号导函数在该点两侧异号, 则该点为函数的极值点则该点为函数的极值点. 极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件: 若函数若函数 在点在点 处连续处连续, f x 0 x 若函数若函数 在点在点 处满足处满足: f x 0 x 00 0,0,fxfx则该点为函数的极值点则该点为函数的极值点. 凹凸性的判定及求凹凸区间凹凸性的判定及求凹凸区间: 若函数若函数 满足满足: 对区间上的所有点都有对区间上的所有点都有: f x 12 1fxx 12 101f xf x 则称函数则称函数 为区间为区间 内的凸函数内的凸函数, 如果对任意的如果对任意的 f x i 1212 ,x xi x

27、x及任意的及任意的 都有都有 0,1 , 12 1fxx 12 101 ,f xf x 则称函数为区间上的凹函数则称函数为区间上的凹函数. 前者所对应的曲线称为是下凸的前者所对应的曲线称为是下凸的, 后者所对应的曲线后者所对应的曲线 判定判定 若函数若函数 满足满足: 则函数为凸函数则函数为凸函数, 对对 f x 0,fx 应的曲线为下凸的应的曲线为下凸的; 则函数为凹函数则函数为凹函数, 对应的对应的 0,fx 若曲线在曲线上某点的两侧有不同的凹凸向若曲线在曲线上某点的两侧有不同的凹凸向, 则该点则该点 成为是上凸的成为是上凸的. 曲线为上凸的曲线为上凸的. 称为曲线的拐点称为曲线的拐点.

28、渐进线渐进线 设曲线设曲线 ,yf x若若: lim, x f xa 则曲线有水平渐进线则曲线有水平渐进线.ya若若: lim, xa f x 则曲线有垂直渐进线则曲线有垂直渐进线.xa若若: lim, x f x a x 则曲线有斜渐进线则曲线有斜渐进线 .yaxb lim, x f xaxb 例例25 已知函数已知函数 求求 3 2 , 1 x y x 函数的单调区间和极值函数的单调区间和极值; 函数的凹凸区间和拐点函数的凹凸区间和拐点; 渐进线渐进线. 解解 函数的定义域为函数的定义域为 ,11,. 2 3 3 , 1 xx y x 4 6 , 1 x y x 列表列表: 极小值极小值

29、x y y y ,00,101,33 3, 0 0 0 在区间在区间 内内, 曲线为上凸的曲线为上凸的;,0 0,11,33,在区间在区间 内内, 曲线是下凸的曲线是下凸的. 曲线的拐点为曲线的拐点为0,0 . 函数的极小值为函数的极小值为 27 3. 4 f 因因 3 2 1 lim, 1 x x x 曲线有垂直渐进线曲线有垂直渐进线:1.x 因因 3 2 1 lim1, x x x x 3 2 lim2, 1 x x x x 曲线有斜渐进线曲线有斜渐进线: 2.yx 例例26 证明当证明当1x 21 ln. 1 x x x 证证 令令 1 ln21 ,f xxxx 则则 10.f 1 ln

30、2 x fxx x 1 ln1,x x 且且 10. f 22 111 01 , x fxx xxx 所以所以 是单调上升的是单调上升的. 从而有从而有 fx 01 .fxx 时有时有: 故故 是单调上升的是单调上升的. f x由此得由此得 0.f x 即即: 21 ln. 1 x x x 5.曲率与曲率半径曲率与曲率半径 设曲线设曲线 则在点则在点 处的曲率为处的曲率为 ,yf x , x y 3 2 . 1 y k y 参数方程情况下参数方程情况下, 22 . tttt k tt 曲率半径为曲率半径为1 .r k 三、一元函数积分学三、一元函数积分学 1.原函数与不定积分原函数与不定积分

31、若函数若函数 满足满足: ,f xf x ,fxf x 的原函数的原函数. f x 则称则称 为为 f x 函数函数 的原函数的全体称为函数的的原函数的全体称为函数的 f x 不定积分不定积分. 记为记为 .f x dxf xc 例例27 设设 的原函数为的原函数为 求求 f x 2 , x x e .f x 解解 由上式得由上式得: 2x f xx e 2 2. x xxe 2.不定积分方法不定积分方法 第一类换元积分法第一类换元积分法 若若 ,f x dxf xc 则则 d.fxxxfxc 第二类换元积分法第二类换元积分法 1 dd. tx f xxfttt 注意四种常见类型和代换方式注意

32、四种常见类型和代换方式. 分部积分法分部积分法 ddduvxuvxu v x 其它积分方法其它积分方法 有理函数积分有理函数积分: 部分分式法部分分式法. 三角函数积分三角函数积分: 万能代换及特殊代换万能代换及特殊代换. 例例28 求下列积分求下列积分 2 5 . 613 x dx xx 解解 2 5 613 x dx xx 22 1268 2613 34 x dxdx xx x 2 13 ln6134arctan. 22 x xxc 2 lnsin . sin xdx x 解解 2 lnsin sin xdx x 2 cot lnsincotxxxdx 2 cot lnsincsc1xxx

33、dx 2 cot lnsincot.xxxxc 2 arctan . x x e dx e 解解 2 arctan x x e dx e 2 2 111 arctan 221 xx xx eedx ee 2 22 111 arctan 221 xxx xx eede ee 2 22 1111 arctan 221 xxx xx eede ee 2 11 arctanarctan. 22 xxxx eeeec 22 . 211 dx xx 解解 22 211 dx xx tanxt 2 22 sec 2tan1tan1 tdt tt 22 cos 2sincos tdt tt arctansin

34、tc 2 arctan. 1 x c x 设设 ln 1 ln, x fx x 求求 .f x dx 解解 令令ln, t xtxe 所以所以 ln 1 . x x e f x e f x dx ln 1 x x e dx e 1 ln 1 1 xx x eedx e 1 ln 1. xx eexc . sin22sin dx xx 解解 令令tan, 2 x u 则则 2 222 212 sin,cos, 111 uu xxdxdu uuu 所以所以 sin22sin dx xx 1 2sin1cos dx xx 2 2 2 1 11 41 u du uu 2 11 ln tantan. 4

35、282 xx c 2.定积分定积分 定积分的定义定积分的定义 0 1 ( )lim. n b ii a i f x dxfx 积分上限函数及导数积分上限函数及导数 设设 为可导函数为可导函数, 记记 ,f xc a bxx x x f xf t dt 则则: 为可导函数为可导函数, 且且 f x .fxx fxx fx 定积分积分方法定积分积分方法 nl公式公式若若 为为 的原函数的原函数, 则则 f x f x . b a f x dxf bf a 换元积分法换元积分法 b a f x dx xt .ftt dt 分部积分法分部积分法 . bb b a aa uvdxuvu vdx 定积分中

36、的几个重要公式定积分中的几个重要公式 设设 ,f xca a 0 . aa a f x dxf xfxdx 则则 设设 0,1 ,f xc 22 00 sincos,fx dxfx dx 00 sinsin. 2 xfx dxfx dx 则则: 设设 是以是以 为周期的连续函数为周期的连续函数, 则则: f xt 0 . a tt a f x dxf x dx 11 00 11. nm mn xxdxxxdx 2 0 sin n xdx 131 2 , 22 2 132 1 21. 23 nn nm nn nn nm nn 例例29 设设 2 2 0 sin, x x f xet dt 求求

37、.fx 解解 2 2 0 sin x x f xet dt 2 2 0 sin, x x et dt 所以所以 2 24 0 sin2 sin. x x fxet dtxx 例例30 求极限求极限 12 limsinsinsin. n n nnnn 解解 取取 sin,f xx区间为区间为 0,1 ,则则 sin k n 为函数为函数 在将区间等分后在小区间右端点的取值在将区间等分后在小区间右端点的取值. 即即 f x 11 1 sin, nn ii ki k f xx nn 所以所以: 1 1 limsin n n k k nn 1 lim n ii n i f xx 11 00 2 sin

38、.f x dxxdx 例例31 设设 1 ,0,f xca bf af b证明证明: 2 , max. 4 b axa b ba f x dxfx 证证 在区间在区间 ,a xx b分别使用拉氏定理分别使用拉氏定理, 即有即有 1 ,f xf afxa 2 .f bf xfbx 记记 又又 所以所以: , max, xa b mfx 0,f af b 1 ,f xfxam xa 2 ,f xfbxm bx 2 2 , a b bb a b aa f x dxf x dxf x dx 因因 2 22 , 8 a ba b aa ba f x dxmxa dxm 2 b a b f x dx 两式

39、相加即有两式相加即有: 2 . 4 b a ba f x dxm 2 b a b mbx dx 2 , 8 ba m 例例32 设设 sin 234 0 sin, x f xtdt g xxx 证证 因极限因极限 sin 2 0 34 00 sin limlim x xx t dt f x g xxx 2 23 0 sin sincos lim 34 x xx xx l法则 法则 2 23 0 sin1 lim, 343 x x xx 所以所以 与与 是同阶但不是等价无穷小是同阶但不是等价无穷小. f x g x 0 x f x g x当当 时时, 与与 是同阶的但不是等价无穷小是同阶的但不是

40、等价无穷小. 证证: 例例33 设设 且单调增加且单调增加, 证明证明 ,f xc a b . 2 bb aa ab xf x dxf x dx 证证 2 b a ab xf x dx 2 2 22 a b b a b a abab xf x dxxf x dx 由积分第一中值定理由积分第一中值定理 22 1 , 22 a ba b aa abab xf x dxfxdx 2 22 , 22 bb a ba b abab xf x dxfxdx 又又: 2 2 11 1 , 28 a b a ab fxdxfba 2 22 2 1 , 28 b a b ab fxdxfba 两式相加两式相加,

41、 得得 2 21 1 0, 28 b a ab xf x dxbaff 所以所以: . 2 bb aa ab xf x dxf x dx 例例34 求定积分求定积分 5 2 2 23.xxdx 解解 函数函数 的零点为的零点为 所所 2 23f xxx1,3.xx 5 2 2 23xxdx 3 2 1 23xxdx 1 2 2 23xxdx 5 2 3 23xxdx 71. 3 以以 例例35 设连续函数设连续函数 满足满足: f x 1 0 sin ,f tx dtf xxx 及及 求求 00,f .f x 解解 令令 ,utx则则 1 ,dtdu x 当当 时时, 有有 0 x 0 1 s

42、in , x f u duf xxx x 变形后得变形后得: 2 0 sin , x f u duxf xxx 求导后得求导后得: 2 2 sincos ,f xf xxfxxxxx 即即 2sincos ,fxxxx 因因 00,f作作 上的积分上的积分, 有有0,x 00 2sincos xx f xtdtttdt cossin1.xxx 例例36 求积分求积分 2 44 0 1 . sincos n idx xx 解解 2 44 0 1 sincos n idx xx 44 0 1 2 sincos ndx xx 22 0 1 4 2cos 2sin 2 ndx xx 2 22 0 1

43、8 2cos 2sin 2 ndx xx 42 2222 0 4 11 8, 2cos 2sin 22cos 2sin 2 ndxdx xxxx 2 22 4 1 2cos 2sin 2 dx xx 2 xt 4 22 0 1 , 2cos 2sin 2 dx xx 所以所以: 2 44 0 1 . sincos n idx xx 4 22 0 2 8 2cos 2sin 2 ndx xx 4 2 0 1 8tan2 2tan 2 ndx x 4 0 tan2 4 2 arctan2 2. 2 x nn 例例37 设设 且且 0, 2 f xc 2 2 0 cos,f xxxf x dx 求求

44、 .f x 解解 因定积分是常数因定积分是常数, 故设故设 2 0 ,f x dxa 所以所以: 2 0 af x dx 2 2 0 cosxxa dx 2 2 0 cos, 2 xxdxa 又又: 2 2 0 cosxxdx 2 22 00 sin2sinxxxxdx 所以所以: 2 2 0 2, 42 af x dxa 由此得由此得: 2 8 . 2 2 a 例例38 求正常数求正常数, ,a b使得使得 2 200 1 lim3. sin x x t dt bxx at 解解 因因 所以所以 2 200 1 lim sin x x t dt bxx at 2 20 lim3, cos x

45、 x bxax 1.b 此时此时: 2 20 lim 1cos x x xax 20 2 lim x ax 2 3, a 所以所以 4 . 9 a 例例39 计算积分计算积分 2 02 ln . 1 xx dx x 解解 因因 2 02 ln lim0, 1 x xx x 故积分故积分 1 2 02 ln 1 xx dx x 为定积分为定积分. 又又 1 2 02 ln 1 xx dx x 1 2 22 0 ln1 ln 412 1 xx xx 而而: 2 22 0 ln1 limln 412 1 x xx xx 22 22 0 1ln limln 411 x xx xx 222 0 1 li

46、m ln1ln0, 4 x xxx 所以所以: 1 2 02 ln1 ln2. 4 1 xx dx x 同理同理, 有有 2 22 2 1 2 1 lnln1ln2 ln, 4142 1 1 xxxx dx xx x 所以所以 2 02 ln 0. 1 xx dx x 解解2 1 2 02 ln 1 xx dx x 1 x t 1 22 2 1 ln 1 1 1 t t dt t t 22 1122 lnln , 11 ttxx dtdx tx 所以所以: 原积分为原积分为0. 例例40 求积分求积分 4 4 0 1cos . 3 x dx 解解 4 4 0 1cos 3 x dx 4 4 0

47、 1 cos 123 xdx 4 0 1113 cos4cos2 123828 xxdx 51 . 9612 3.定积分的几何应用定积分的几何应用 面积计算面积计算 直角坐标情形直角坐标情形 设区域设区域 由由 d 1212 ,xa xb yfxyfxff 确定确定, 则区域的面积为则区域的面积为: 2 fx 1 fx xab y o 21 . b a afxfxdx 极坐标情形极坐标情形 设平面区域设平面区域 由曲线由曲线 d 1212 , 确定确定, 2 1 22 21 1 . 2 ad 则区域的面积为则区域的面积为: 体积计算体积计算 已知平行截面面积的体积计算已知平行截面面积的体积计算

48、 设有一物体位于设有一物体位于 之间之间, 任一个垂任一个垂,xa xb ab . b a va x dx xx a x a b x ,a x直于直于 的平面与该物体相交的面积为的平面与该物体相交的面积为 则该物体的则该物体的 体积为体积为: 旋转体体积旋转体体积 x y o yf x x b a 设区域设区域 由由 围成围成, d ,00 xa xb yf xyf 2 . b x a vfx dx 而区域而区域 绕绕 旋转所得到的体积为旋转所得到的体积为:dy 2. b y a vxf x dx dx区域区域 绕绕 轴旋转得一旋转体轴旋转得一旋转体, 则体积为则体积为 弧长的计算弧长的计算

49、设曲线设曲线 方程为方程为,c 1 ,yf xca b则曲线的弧则曲线的弧 长为长为: 2 1. b a sy dx 参数方程情况参数方程情况: 22 .stt dt 设曲线为设曲线为: xt t yt 则则: 极坐标情形极坐标情形: 设曲线弧的极坐标方程为设曲线弧的极坐标方程为: , 22 .sd 则则: 侧面积公式侧面积公式 设曲线设曲线 方程为方程为,c 1 ,yf xca b 旋转一周所得到的侧面积为旋转一周所得到的侧面积为: 则曲线绕则曲线绕 轴轴x 2 21. b a sf xfxdx 极坐标情况极坐标情况:设光滑曲线设光滑曲线: , 则则 曲线绕极轴旋转一周所得到的侧面积为曲线绕

50、极轴旋转一周所得到的侧面积为: 22 2sin.sd 例例41 求星形线求星形线 3 3 cos , 02 sin xat t yat 围成图形的面围成图形的面 积积, 全长全长, 绕绕 轴旋转一周所得到的体积及侧面积轴旋转一周所得到的体积及侧面积.x 解解 面积面积 0 4 a aydx 0 242 2 4sincosattdt 246 2 0 4sinsinatt dt 2 3 . 8 a 22 2 0 4lxy dt 全长全长 2 0 43 sin cosattdt 2 2 0 6 sin6 .ata 旋转体体积旋转体体积 2 0 2 a x vfx dx 372 2 0 6sincos

51、attdt 3793 2 0 32 6sinsin. 105 att dta 侧面积侧面积: 2 0 41 a syy dx 242 2 0 12 12sincos. 5 atta 例例42 作半径为作半径为 的球外切正圆锥的球外切正圆锥, 问此圆锥的高问此圆锥的高 为多为多rh x y b a o c d 解解 设底圆半径为设底圆半径为 ,r cdocr obr oah 则有则有: , obcd oaad 即即: 2 2 , rr h hrr 少时少时, 其体积最小其体积最小, 并求出该最小值并求出该最小值. 得得: x y b a o c d 22 2 , 2 rhrh r hrh hrr

52、 由此由此: 22 2 , 332 rh v hr h hr 求导得求导得: 22 2 4 , 3 2 rhrh vh hr 令其为零令其为零, 得得4 ,0.hr h由于极小值一定存在由于极小值一定存在, 所以所以 当当 时时, 取极小值取极小值, 且极小值为且极小值为4hrv 2 2 3 48 4. 3 423 rr vrr rr 4.物理应用物理应用 功功 物体作直线运动过程中受到变力物体作直线运动过程中受到变力 的作用的作用, 则则 f x 变力所作的功为变力所作的功为: . b a wf x dx 水压力水压力 引力引力 例例42 某闸门的形状与大小入图所示某闸门的形状与大小入图所示

53、, 其中直线其中直线 为对称为对称l 为为 闸门矩形部分的高闸门矩形部分的高 5:4,h l x y 1 1 1h h o 2 yx a b c d 解解 闸门矩形部分所受到的水压闸门矩形部分所受到的水压 2 yx,abcd轴轴, 闸门的上部为矩形闸门的上部为矩形 下部为抛物线下部为抛物线 与与 ab线段线段 围成围成, 当水面与闸门的上端起平时当水面与闸门的上端起平时, 欲使闸门矩欲使闸门矩 形部分所承受的水压力与闸门下部所承受的水压力之比形部分所承受的水压力与闸门下部所承受的水压力之比 应为多少米应为多少米? 力为力为: 1 1 1 21 h pg hy dy 1 2 2 1 1, h g

54、 hygh 闸门下部所承受的水压力为闸门下部所承受的水压力为: 1 2 0 21pg hyydy 12 4, 315 gh 由题意由题意: 1 2 5 , 4 p p 即即: 2 5 , 4/32/154 h h 得得 1 2, 3 hh（舍去）（舍去） 即即, 取取 （米（米 ）.2h 四、微分方程四、微分方程 1.一阶微分方程一阶微分方程 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 ,yf x g y 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 yp x yq x 公式解公式解: . p x dxp x dx yeq x edxc 齐次方程齐次方程 , y yf x y x 解法解法: 令变换令变换:

55、, y u x 则有则有 , dydu ux dxdx 代入到方程中去代入到方程中去: . du uxu dx 即即 . du xuu dx 从而化为一个变量可分离的微分方程从而化为一个变量可分离的微分方程. bernoulli方程方程 0,1 dy p x yq x y dx 解法解法: 做代换做代换 则则 于是方程成为于是方程成为 1 ,zy 1, dzdy y dxdx 11. dz p x zq x dx 此为一阶线性微分方程此为一阶线性微分方程. 求出通解后求出通解后, 再代入再代入 1 ,zy 则得到原方程的通解则得到原方程的通解. 例例43 求解下列微分方程求解下列微分方程: 2

56、2 34 23 0. xyx dxdy yy 解解 方程变形后为方程变形后为: 222 33 2. dxxyx xy dyyy 即即: 22 3 . dxx y dyy 所以所以: 33 2 dydy yy xey edyc 此为一阶线性微分方程此为一阶线性微分方程, 由公式解得由公式解得: 3 2 1 ydyc y 32. cyy 110. xx yy x edxedy y 解解 方程变形后为方程变形后为: 1 . 1 x y x y x ydx e dy e 令令 , x u y 则则 1 , 1 u u duu uye dye 即即: 1 , 11 u u uu duueu yeu dy

57、ee 11 , u u e dudy uey lnln, u ueyc , u c ue y 代入代入 得原方程的解得原方程的解:, x u y . x y xyec 1.xdyy xydx 解解 方程变形后为方程变形后为: 2 . dyy y dxx 为为bernoulli方程方程. 令令: 1, zx 则有则有: 1. dzz dxx 得得: ln,zxxc 即即: 1 . xy xce 例例44 设函数设函数 1,f xc ,1,yf xx 0,1yxt t所围成的区域绕所围成的区域绕 轴旋转一周所得到轴旋转一周所得到x 2 , 3 v tt ftf x 试求满足上式及条件试求满足上式及

58、条件 的函数的函数 2 2 9 f .f x 解解 由条件得由条件得 2 0 t v tfx dx 2 , 3 t ftf x 求导后得求导后得: 的体积为的体积为 若由曲线若由曲线 22 32,fttf tt ft 由此得到微分方程由此得到微分方程: 2 32. dyyy dxxx 此为齐此方程此为齐此方程, 令令, y u x 则有则有 31 , du xu u dx 该方程的通解为该方程的通解为: 3 1 , u cx u 即即: 3 .yxcx y 再由初始条件再由初始条件 2 2 9 f1,c 即即 所求函数方程为所求函数方程为 3 .yxx y 例例45 设函数设函数 0,1 ,0

59、0,1 ,f xcf xx 2 3 , 2 a xfxf xx 又曲线又曲线 与与 yf x1,0,0 xxy 解解 当当 时时, 方程为方程为0 x 2 3 , 2 xfxf xa x 且且 围成区域的面积为围成区域的面积为 ,yf x2,ax 求函数求函数 并问并问 为何值时为何值时, 区域绕区域绕 轴旋转一轴旋转一 周所得到的旋转体的体积为最小周所得到的旋转体的体积为最小? 即即: 3 , 2 f xda dxx 所以所以: 2 3 . 0 2 a f xxcxx 再由函数的连续性知再由函数的连续性知: 2 3 . 0,1 2 a f xxcxxc 再由条件再由条件: 面积为面积为 即即

60、2, 4.ca 1 0 2f x dx 1 2 0 311 , 222 axcx dxac 得得:所以所以: 2 3 4. 2 a f xxa x 此时相应的旋转体的体积为此时相应的旋转体的体积为 1 2 0 v afx dx 2 1 2 0 3 4 2 axa xdx 2 1116 , 3033 aa 求导并令其为零求导并令其为零, 得得 5.a 2.可降阶的微分方程可降阶的微分方程 n yf x 解法解法 ,yf x y ,yf x y 作作 次积分次积分.n 解法解法 ,yp 令令 则则 新方程为新方程为 ,.pf x p 解法解法 新方程为新方程为: ,yfy y 令令 ,yp 则则