群的基本概念

1、群的基本概念群的基本概念 目录目录 2 群的基本概念群的基本概念 2.1 群的定义群的定义 2.3 同构与同态同构与同态 2.2 群的乘法表群的乘法表 2.4 群的直积群的直积 2.6 分子点群的共轭分类分子点群的共轭分类 2.5 群元素的共轭分类群元素的共轭分类 2.1 群的定义群的定义 元素元素 A、B、C、. 组成集合组成集合 G，在集合，在集合 G 中定义有称为中定义有称为 乘法乘法 的的 某种组合运算，如果某种组合运算，如果 G 对该对该 乘法乘法 满足以下四个条件，则集合满足以下四个条件，则集合 G 构构 成群成群。 (1) 封闭性封闭性 A、B 为群为群 G 中的元素，如果：中的

2、元素，如果： AB = C 则则 C 也是群也是群 G 中的一个元素。中的一个元素。 (2) 结合律结合律 群元素相乘满足乘法结合律，如：群元素相乘满足乘法结合律，如： ABC = ( AB )C =A( BC ) (3) 恒等元素恒等元素 群中有且仅有一个恒等元素群中有且仅有一个恒等元素 E，且有：，且有： EX = XE = X 其中其中 X 为群中的任何元素。为群中的任何元素。 群元素的数目称为群的阶群元素的数目称为群的阶 h . (4) 逆元素逆元素 群中任一元素群中任一元素 X 都有一个逆元素都有一个逆元素 X-1 ，且逆元素，且逆元素 X-1 也也 是该群中的元素，且有：是该群中的

3、元素，且有： X X-1 = X-1 X = E 从数学的角度看，按一定规则联系起来的任何元素的一个集合，从数学的角度看，按一定规则联系起来的任何元素的一个集合， 如果满足上述四个条件，就称为群。群的特征不在于构成群的是何种如果满足上述四个条件，就称为群。群的特征不在于构成群的是何种 元素，而在于它们共同遵守着某种规则，这种规则反映了群元素之间元素，而在于它们共同遵守着某种规则，这种规则反映了群元素之间 的内在联系。的内在联系。 除除 0 以外的全体实数的集合对数的乘法构成群；（以外的全体实数的集合对数的乘法构成群；（1）任意两实数之）任意两实数之 积仍为实数，（积仍为实数，（2）数的乘法服从

4、结合律，（）数的乘法服从结合律，（3）恒等元为）恒等元为 1，（，（4） 逆元为其倒数。逆元为其倒数。 例例 1-1 实数加法群实数加法群 例例 1-2 实数乘法群实数乘法群 全体实数的集合对于数的加法构成群；（全体实数的集合对于数的加法构成群；（1）任意两实数之和仍为实）任意两实数之和仍为实 数，（数，（2）数的加法服从结合律，（）数的加法服从结合律，（3）恒等元为）恒等元为 0，（，（4）逆元为其）逆元为其 相反值。相反值。 例例 1-3 立正操立正操 例例 1-4 全体正整数的集合不能构成整数乘法群。尽管该集合满足封全体正整数的集合不能构成整数乘法群。尽管该集合满足封 闭性和结合律，也有

5、恒等元，但除闭性和结合律，也有恒等元，但除 1 以外，其余元素均无逆元。以外，其余元素均无逆元。 四个操练动作：立正，向右转，向左转，向后转的集合构成群，如四个操练动作：立正，向右转，向左转，向后转的集合构成群，如 果定义两个动作的乘法为进行一个动作之后接着进行另一个动作。果定义两个动作的乘法为进行一个动作之后接着进行另一个动作。 例例 1-5 全体实数的集合，虽然能构成实数加法群，但不能构成实数全体实数的集合，虽然能构成实数加法群，但不能构成实数 乘法群。因为其中的乘法群。因为其中的 0 无逆元。无逆元。 2.2 群的乘法表群的乘法表 群是按一定规律相互联系着的元素的集合，这个规律就是所谓群

6、是按一定规律相互联系着的元素的集合，这个规律就是所谓 的乘法。对一个有的乘法。对一个有 h 个元素的有限群来说，如果知道了所有可能的个元素的有限群来说，如果知道了所有可能的 乘积（乘积（h2 ）是什么，那么群元素之间的关系就一目了然，这个群就）是什么，那么群元素之间的关系就一目了然，这个群就 完全且唯一的被定义了。乘法表就是这样一个概念。完全且唯一的被定义了。乘法表就是这样一个概念。 对于一个有限群对于一个有限群 G 和群和群 G 中任意两个元素的乘积关系以表格的中任意两个元素的乘积关系以表格的 形式来表示，称为乘法表。形式来表示，称为乘法表。利用乘法表可以方便的进行群的运算。利用乘法表可以方

7、便的进行群的运算。 1）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列组成。列组成。列列写在表的左边，写在表的左边，行行在表的顶部。如：在表的顶部。如： B A E BAEG3 1）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列组成。列组成。列列写在表的左边，写在表的左边，行行在表的顶部。如：在表的顶部。如： 2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定， 习惯上按照习惯上按照（列）（列）（行）（行）定义，即在定义，即在 x 列列和和 y 行行的交叉点上找到的交叉点上找到 的元素是的元素是 xy 的乘积。的乘积。 B A E BAEG

8、3 1）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列组成。列组成。列列写在表的左边，写在表的左边，行行在表的顶部。如：在表的顶部。如： 2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定， 习惯上按照习惯上按照（列）（列）（行）（行）定义，即在定义，即在 x 列列和和 y 行行的交叉点上找到的交叉点上找到 的元素是的元素是 xy 的乘积。的乘积。行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左 乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。 B A E BAEG3 1

9、）乘法表由）乘法表由 h 行和行和 h 列组成。列组成。列列写在表的左边，写在表的左边，行行在表的顶部。如：在表的顶部。如： 2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定， 习惯上按照习惯上按照（列）（列）（行）（行）定义，即在定义，即在 x 列列和和 y 行行的交叉点上找到的交叉点上找到 的元素是的元素是 xy 的乘积。的乘积。行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左 乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。 2 2 3 BBABEB ABA

10、AEA EBEAEE BAEG B A E BAEG3 重排定理重排定理 在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一 次且只被列入一次。次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有 任意两列全同。任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。 重排定理重排定理 重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群：重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群： 在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一在群的乘法表中，每

11、一个群元素在每一行和每一列中被列入一 次且只被列入一次。次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有 任意两列全同。任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。 BB AA BAEE BAEG3 重排定理重排定理 重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群：重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群： 在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一 次且只被列入一次。次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能

12、有由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有 任意两列全同。任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。 BB AA BAEE BAEG3 AEBB EBAA BAEE BAEG3 例例 2-1 二阶点群二阶点群 si CCCG, 22 抽象的看，只有一个可能的二阶群，它具有下列乘法表。这个抽象的看，只有一个可能的二阶群，它具有下列乘法表。这个 群用符号群用符号 G2 表示。表示。 EAA AEE AEG2 例例 2-2 三阶点群三阶点群 G3 也只有一种可能：也只有一种可能： AEBB EBAA BAEE BAEG3 例例 2-2 三阶

13、点群三阶点群 G3 也只有一种可能：也只有一种可能： AEBB EBAA BAEE BAEG3 循环群：循环群：G = |a1, a2, an = E|。上述。上述 G3 群是循环群的一个例子。群是循环群的一个例子。 AA = A2 = B, AB = A3 = E 1） 四阶循环群四阶循环群 ： 例例 2-3 四阶群有两个四阶群有两个： )1( 4 G BAECC AECBB ECBAA CBAEE CBAEG )1( 4 1） 四阶循环群四阶循环群 ： 例例 2-3 四阶群有两个四阶群有两个： )1( 4 G BAECC AECBB ECBAA CBAEE CBAEG )1( 4 AA =

14、 A2 = B, AB = A3 = C, AC = A4 = E BA = A3 = C, BB = A4 = E, BC = A5 = A CA = A4 = E, CB = A5 = A, CC = A6 = B 2） 四阶群四阶群 ： 例例 2-3 四阶群有两个四阶群有两个： )2( 4 G EABCC AECBB BCEAA CBAEE CBAEG )2( 4 2） 四阶群四阶群 ： 例例 2-3 四阶群有两个四阶群有两个： )2( 4 G EABCC AECBB BCEAA CBAEE CBAEG )2( 4 这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身。这个群的特点是每个群元素的逆都是

15、其自身。 2） 四阶群四阶群 ： 例例 2-3 四阶群有两个四阶群有两个： )2( 4 G EABCC AECBB BCEAA CBAEE CBAEG )2( 4 可对易（可对易（Abel）群：）群：任意两群元素的乘积是可对易的，任意两群元素的乘积是可对易的，aiaj =ajai。 上述例子都是上述例子都是 Abel 群的例子。群的例子。 这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身。这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身。 例例 2-4 C2v 群群 E E ECC CEE CEC YZYZ XZXZ YZXZ YZXZv ZZ Z Z )()( )( )( 22 2 22 例例 2-4 C2v

16、群群 E E ECC CEE CEC YZYZ XZXZ YZXZ YZXZv ZZ Z Z )()( )( )( 22 2 22 EC CE ECC CEE CEC Z Z ZZ Z Z XZYZYZ YZXZXZ XZYZ YZXZ YZXZv )( )( )()( )( )( 2 2 22 2 22 例例 2-5 S3 置换群置换群 S3 置换群是三个数码置换群是三个数码 1，2，3 的所有可能的置换，共有的所有可能的置换，共有 6 个群个群 元素：元素： 231 321 23 123 321 13 312 321 12 213 321 132 132 321 123 321 321 E

17、 群元素相乘相当于进行一次置换后，再进行一次置换。群元素相乘相当于进行一次置换后，再进行一次置换。 置换群的群元素相乘彼此不对易，作用的先后次序是重要的：置换群的群元素相乘彼此不对易，作用的先后次序是重要的： 先右边先右边，再左边再左边（action in turn !）。如）。如 132 213 321 123 321 312 321 1312 123 132 321 312 321 123 321 1213 由此可得到由此可得到 S3 置换群的乘法表。置换群的乘法表。 E)()()()()()( )(E)()()()()( )()(E)()()()( )()()()(E)()( )()()

18、(E)()()( )()()()()(EE )()()()()(ES 13212313231212 12313223121313 13212312132323 231213132123123 132312123132132 121323123132 121323123132 3 S3 置换群表：置换群表： C3v 群的群元素与群的群元素与 S3 置换群的置换群的 群元素存在一一对应关系。这群元素存在一一对应关系。这 个对应关系可通过右图分析得个对应关系可通过右图分析得 出。如：出。如： 例例 2-6 C3v 群群 C3v 群的群元素作用下三个数码的置换群的群元素作用下三个数码的置换 213 3

19、21 321 321 1 3 C C3v 群的群元素作用下三个数码的置换群的群元素作用下三个数码的置换 C3v 群的群元素与群的群元素与 S3 置换群的置换群的 群元素存在一一对应关系。这群元素存在一一对应关系。这 个对应关系可通过右图分析得个对应关系可通过右图分析得 出。如：出。如： 例例 2-6 C3v 群群 213 321 321 321 1 3 C 根据两个群的群元素的对应关系可以得到根据两个群的群元素的对应关系可以得到 C3v 的群表：的群表： ECC CEC CCE CECC ECCC CCEE CCEC vvvv vvvv vvvv vvv vvv vvv vvvv 1 3 2

20、3 )2()1()3()3( 2 3 1 3 )1()3()2()2( 1 3 2 3 )3()2()1()1( )1()3()2(1 3 2 3 2 3 )2()1()3(2 3 1 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 33 2.3 同构与同态同构与同态 如如 例例 2-1 中的中的 C2 群、群、Ci 群、群、Cs 群三个群同构。群三个群同构。 两个群，如果其群元素数目相同（两个群，如果其群元素数目相同（同阶群同阶群），而且乘法关系相同），而且乘法关系相同 （有相同的乘法表有相同的乘法表），则称这两个群），则称这两个群同构同构，即有相同的结构。，即有

21、相同的结构。 如如 C3v 群与群与 S3 群同构。此外，还有群同构。此外，还有 Cnv 群与群与 Dn 群同构，群同构，O 群与群与 Td 群同构。群同构。 同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。 如果两个群的群元素之间存在如果两个群的群元素之间存在 1 对对 m 的关系，则这两个群同态。的关系，则这两个群同态。 如如 G2 群与群与 C3v 群同态，存在着群同态，存在着 1 对对 3 的关系。从乘法表的区域分布的关系。从乘法表的区域分布 可以看出：可以看出： )3( )2( )1( 2 3 1 3 v v v A C C E E 2.4

22、 群的直积：直积群群的直积：直积群 2.4.1 子群子群 因为有相同的乘法关系，子群因为有相同的乘法关系，子群 H 与群与群 G 有相同的单位元素。有相同的单位元素。 若一个群若一个群 H 的群元素皆包含于另一个群的群元素皆包含于另一个群 G 之中，就称群之中，就称群 H 是群是群 G 的子群。的子群。 或者说，群或者说，群 H 的阶为的阶为 h，群，群 G 的阶为的阶为 g，且，且 h g，H G。就称群就称群 H 是群是群 G 的子群。的子群。 如果一个群如果一个群 G 中一部分元素的集合（子集合）对于群中一部分元素的集合（子集合）对于群 G 的乘法是封的乘法是封 闭的，即：闭的，即： H

23、abHbaif , 则称则称 H 为群为群 G 的子群。的子群。 如果一个群如果一个群 G 中一部分元素的集合（子集合）对于群中一部分元素的集合（子集合）对于群 G 的乘法是封的乘法是封 闭的，即：闭的，即： HabHbaif , 则称则称 H 为群为群 G 的子群。的子群。 群群 G 的阶的阶 g 必是子群必是子群 H 的阶的阶 h 的整数倍。的整数倍。 2.4.2 群的直积群的直积 这个定义很容易推广到多个直因子的直积的情况。这个定义很容易推广到多个直因子的直积的情况。 设有设有 2 个群个群 H1 = am 、H2 = bn ，如果两个群的任意两个元素是可，如果两个群的任意两个元素是可

24、对易的：对易的：aibj = bjai ，则可以定义一个大群则可以定义一个大群 G （直积群）是（直积群）是 H1 与与 H2 的直积，表示为：的直积，表示为： 21 HHG 直积群直积群 G 的元素的元素 gk = aibj （k = 1, 2, , mn）。显然，。显然， H1 、H2 是是 G 的子群，叫做直积群的子群，叫做直积群 G 的直因子。的直因子。 例例 1 C6 群包含群包含 C2 子群和子群和 C3 子群。子群。 236 1 6 5 6 1 2 3 6 2 3 4 6 1 3 2 66 ) ( ) ( ) ( : CCCCCCC CCCCEC 例例 2 C3h 群包含群包含

25、C3 子群和子群和 CS 子群。子群。 例例 1 C6 群包含群包含 C2 子群和子群和 C3 子群。子群。 236 1 6 5 6 1 2 3 6 2 3 4 6 1 3 2 66 ) ( ) ( ) ( : CCCCCCC CCCCEC Shhhh h CCCCC CCEC 33 2 3 1 3 2 3 1 33 : 例例 3 D2h 群包含群包含 D2 子群和子群和 Ci 子群。子群。 ih XYXZYZ ZYX h CDD i CCCED 22 2222 : 此外，还有：此外，还有： 例例 3 D2h 群包含群包含 D2 子群和子群和 Ci 子群。子群。 ih XYXZYZ ZYX h

26、 CDD i CCCED 22 2222 : hihi OCOTCT 后面我们会看到，直积群的性质很容易由它的直因子的性质导出。后面我们会看到，直积群的性质很容易由它的直因子的性质导出。 因此，只要有可能，我们总是愿意把一个群分解成较简单的群的直因此，只要有可能，我们总是愿意把一个群分解成较简单的群的直 积。积。 直积群有如下性质：直积群有如下性质： 2）直积群的一部分直因子的乘积仍是它的直因子。）直积群的一部分直因子的乘积仍是它的直因子。 1）各个直因子的交（即共同的元素）只有单位元素。）各个直因子的交（即共同的元素）只有单位元素。 2.5 群元素的共轭分类群元素的共轭分类 其中其中 X 为

27、群中任意元素，则称为群中任意元素，则称 A 与与 B 共轭。共轭。 如果群中的两个元素存在如下的相似变换关系：如果群中的两个元素存在如下的相似变换关系： B X A X 1 2.5 群元素的共轭分类群元素的共轭分类 其中其中 X 为群中任意元素，则称为群中任意元素，则称 A 与与 B 共轭。共轭。 如果群中的两个元素存在如下的相似变换关系：如果群中的两个元素存在如下的相似变换关系： 相互共轭的群元素的一个完整集合称为群的类。相互共轭的群元素的一个完整集合称为群的类。 B X A X 1 群元素的共轭分类比较复杂，但有规律可循：群元素的共轭分类比较复杂，但有规律可循： 3）反映：）反映： h 永

28、远自成一类；永远自成一类； n v 的分类相对复杂，有时同属一类，有时则分属两类。的分类相对复杂，有时同属一类，有时则分属两类。 1）恒等操作）恒等操作 E 总是自成一类总是自成一类 2）反演）反演 i 总是自成一类总是自成一类 当当 n v 分属两类时，一类称为分属两类时，一类称为 v，另一类可称为，另一类可称为 v 或或 d。 4）转动）转动 （1）循环群中的）循环群中的 操作每一个自成一类。操作每一个自成一类。 132 , , , n nnnn CCCC 4）转动）转动 （2）在所有其他对称性较高的群中，）在所有其他对称性较高的群中， 归属一类，归属一类， （1）循环群中的）循环群中的

29、操作每一个自成一类。操作每一个自成一类。 132 , , , n nnnn CCCC mn n m n CC & 自成一类。自成一类。 4）转动）转动 （2）在所有其他对称性较高的群中，）在所有其他对称性较高的群中， 归属一类，归属一类， （1）循环群中的）循环群中的 操作每一个自成一类。操作每一个自成一类。 132 , , , n nnnn CCCC mn n m n CC & 2/ n n C 自成一类。自成一类。 （3）非真转动）非真转动 Sn 的分类情况与的分类情况与 Cn 相似。相似。 4）转动）转动 （2）在所有其他对称性较高的群中，）在所有其他对称性较高的群中， 归属一类，归属一

30、类， （1）循环群中的）循环群中的 操作每一个自成一类。操作每一个自成一类。 132 , , , n nnnn CCCC mn n m n CC & 2/ n n C 根据乘法表可以对群元素进行共轭分类。根据乘法表可以对群元素进行共轭分类。以以 C3v 群为例说明。群为例说明。 5）如果二个对称操作可以借助另一个对称操作交换位置（或彼此到）如果二个对称操作可以借助另一个对称操作交换位置（或彼此到 达），则这二个操作同属一类。如达），则这二个操作同属一类。如 C3v 群中的群中的 3 个竖直的镜面个竖直的镜面 v。 6）同构群的群表相同，共轭分类（当然！）相同。）同构群的群表相同，共轭分类（当然

31、！）相同。 这是对称群的类的几何意义：这是对称群的类的几何意义：相互共轭的对称操作，本质上是相互共轭的对称操作，本质上是 相同的操作。相同的操作。 ECC CEC CCE CECC ECCC CCEE CCEC vvvv vvvv vvvv vvv vvv vvv vvvv 2 3 1 3 )2()1()3()3( 1 3 2 3 )1()3()2()2( 2 3 1 3 )3()2()1()1( )1()3()2(1 3 2 3 2 3 )2()1()3(2 3 1 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 33 依据依据 C3v 群表：群表： 1 3 1

32、3 1 CECE 1 3 1 3 1 3 1 3 CCCC 1 3 2 3 1 3 2 3 CCCC 2 3 )1(1 3 )1( CC vv 2 3 )2(1 3 )2( CC vv 2 3 )3(1 3 )3( CC vv 由此可见，由此可见，C13 和和 C23 共轭，同属一类；同理可得，共轭，同属一类；同理可得，3 个个 v 同属一类；同属一类； E 则自成一类。则自成一类。 C3v 群有群有 3 个共轭类。个共轭类。 ECC CEC CCE CECC ECCC CCEE CCEC vvvv vvvv vvvv vvv vvv vvv vvvv 2 3 1 3 )2()1()3()3(

33、 1 3 2 3 )1()3()2()2( 2 3 1 3 )3()2()1()1( )1()3()2(1 3 2 3 2 3 )2()1()3(2 3 1 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 3 )3()2()1(2 3 1 33 依据依据 C3v 群表：群表： 1 3 1 3 1 CECE 1 3 1 3 1 3 1 3 CCCC 1 3 2 3 1 3 2 3 CCCC 2 3 )1(1 3 )1( CC vv 2 3 )2(1 3 )2( CC vv 2 3 )3(1 3 )3( CC vv 2.6 分子点群的共轭分类分子点群的共轭分类 1）Cn、Cnh、Sn（n = 2m）群的

34、群元素各自成一类。群的群元素各自成一类。 Cn、Cnh、Sn（n = 2m）群均属）群均属 Abel 群（可对易群），群元素相乘群（可对易群），群元素相乘 彼此对易：彼此对易： iii AAXXXAX 11 故每个群元素自成一类。共轭类数等于群的阶。故每个群元素自成一类。共轭类数等于群的阶。 自成一类，自成一类， 同属一类，共同属一类，共 类，类， 2）Cnv 与与 Dn 群的共轭类群的共轭类 （1）n 为奇数时为奇数时 E mn n m n CC & 2 3 1 2 1 1 nn 2)1( n n v 同属一类，共有：同属一类，共有： 自成一类，自成一类， 同属一类，共同属一类，共 类，类， 2）Cnv 与与 Dn 群的共轭类：群的共轭类：Dn 与与 Cnv 群同构，共轭分类相同，只需群同构，共轭分类相同，只需 将将 v 改为改为 C2 即可。即可。 如上例，如上例， C3v 群共有群共有 3 个类。个类。 （1）n 为奇数时为奇数时 E mn n m n CC & 2 3 1 2 1 1 nn 2)1( n n v 同属一类，共有：同属一类，共有： 为一类，共有：为一类，共有： 自成一类，自成一类， 同属一类，共同属一类，共 类，类， 自成一类，自成一类， （2）n 为偶数时为偶数时 E mn n m n CC & 3 2 4 2