数理方程5 贝塞尔函数

1、数 学 物 理 方 程 主讲：周澜主讲：周澜 E_mail: E_mail: 答疑：周三中午答疑：周三中午1111：30301313：0000，教，教2 2103103室室 南京邮电大学南京邮电大学 、理学院、应用物理系、理学院、应用物理系 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔 方程。 5.1 贝塞尔方程的引入 设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上 温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温 度分布规律。 第五章第五章 贝塞尔函数贝塞尔函数 稳恒状态热传导问题欧拉方程。 瞬时状态圆盘上的热传导问题贝塞尔方程。 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质. 问题归结为求解如下

2、定解问题：问题归结为求解如下定解问题： ).,(| , 0| ),( 0 2222 222 yxu u Ryxuuau t Ryx yyxxt 令 ，代入方程得 tTyxVtyxu, 22 2 22 VV VTaT xy V VV Ta T yyxx 2 0 进而得 2 0Ta T 2 ( ) at T tAe 求求V V改用极坐标，在极坐标系下，改用极坐标，在极坐标系下，V V的问题可以写成的问题可以写成 22 222 11 00 |0 R VVV VR V 再次分离变量再次分离变量, ,令令 ，代入化简得，代入化简得 ,VP 2 11 ( )( )( )( )0PPPP 22 22 0 V

3、V V xy 亥姆霍兹方程（亥姆霍兹方程（HelmholtzHelmholtz） 0 0 22 PPP 引入参数引入参数 22 ( ) 0 PP PP 本征值本征值 ， 2 n n 0 2 本征值问题本征值问题 本征函数本征函数 0 0 , 2 a cossin nnn anbn 0,1,2,n 1,2,n 0 222 PnPP 将将 代入另一方程得代入另一方程得: : 2 n n n 阶贝塞尔方程. 0 R V 由条件由条件 得得: :0P R 0P 由温度是有限的，得由温度是有限的，得: : 原问题就转化为求贝塞尔方程在条件原问题就转化为求贝塞尔方程在条件 下的下的 特征值和特征函数特征值

4、和特征函数. . ( )0 (0) P R P r F rP 做代换做代换 , 并记并记r 0 222 PnPP 22 22 d Pd P ddr dPdP drdP ddr ddr r 0 222 rFnrrFrrFr 这是n阶贝塞尔方程的标准形式. 方程转化为 5.2 5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解 0 22 2 2 2 xynx dx dy x dx yd x 用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶贝塞 尔方程为 其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 的情形.0n 01 cm m y xxaa xa x 0 c m m m a x 0 (0)a 方程有

5、如下形式的级数解： 其中 为常数。 , m c a 0 1 k kc k xkcaxy 逐项求导, 有 代入方程确定系数 和 ： k ac 0 2 1 k kc k xkckcaxy 22 0 ()(1)()()0 c k k k ckckckxna x 0 22 2 2 2 xynx dx dy x dx yd x 22221 01 22 2 2 ()(1) ()0 cc c m mm m cn a xcn a x cmn aax 0 0 22 anc 2 2 1 10cn a 要使上式恒成立，各项x的幂的系数必须全为0 2,3,k 0 0 a cn 1 0a 2 2 2 0 mm cmna

6、a 将此级数解代入原方程中可得到： 2 (2) () m m a a mnm cn 由于a1=0, 则 2 (2) c=n时，根据， m m a a mnm 135721 0 m aaaaa 12 1 0 n a n 选取 1 0 () xp pexdx 情形情形1 n不为整数不为整数 1ppp 由得 12 (1) (1)1nmnmnnnnm （由分部积分公式可证）： 2 (2) c=n时，根据， m m a a mnm 1 0 2 ( 1), 2(22) a a n 2 02 4 ( 1)( 1), 4(24)2 4(22)(24) aa a nnn 3 0 6 ( 1), 2 4 6(22

7、)(24)(26) a a nnn 0 2 0 ( 1) 2 42 (22)(24)(22 ) ( 1) 2 (1 2 3)2 (1)(2)() m m m mm a a mnnnm a mnnnm 0 2 0 ( 1) 2 42 (22)(24)(22 ) ( 1) 2 (1 2 3)2 (1)(2)() m m m mm a a mnnnm a mnnnm 12 (1) (1)1nmnmnnnnm 12 1 0 n a n 因此 2 2 11 1 2!1 m m nm a mnm 2 2 0 2 0 11 1 2!1 1 () !12 m nm n nm m m nm m Jxx mnm

8、x mnm 这样，得到方程的一个特解 称 为 阶第一类贝塞尔函数(n=0). xJ nn 2 2 11 1 2!1 m m nm a mnm 2 2 0 2 0 11 1 2!1 1 ( ) !12 m nm n nm m m nm m Jxx mnm x mnm ,cn 取指标 得方程的另一特解 当 n 不为整数时, 和 线性无关 xJ n xJ n 所以方程的通解可以表示为 xBJxAJy nn 结论： 0 1 21 n a n cot,An 如果选取 1 csc(1,2,) sin Bnn n n xJnxJ xY nn n sin cos 得到 当 n 不为整数时, 和 线性无关 xJ

9、 n n Yx 称 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者钮曼函数, xYn 方程的通解也可表示为 xDYxCJy nn 订正书上订正书上126页页 由广义积分定义由广义积分定义 1 0 px pxedx GammaGamma 函数有如下性质函数有如下性质： 1ppp 11 1100 1 2 2 ,(, ,)m m (1)!pp 2. 当p为正整数时，有 Gamma函数的定义与性质函数的定义与性质 (见附录见附录A) 5.3 5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解 1. 递推公式：递推公式： 2 0 11 1( ) ! 2 nm m m x mnm (1) 由 (1)!pp 得：

10、1 0 1Nm （）取n=N , 在 中,由于mN时， n Jx 所以级数从m=N开始 2 0 1 () !12 m nm n m x Jx mnm (1)()!mnmn 当n为整数时，有： 所以，当n为整数时, 与 线性相关 xJ n xJ n 此时定义第二类贝塞尔函数为 cos lim sin n n JxJx Yx 2 2 0 2 2 14 24 11 ( )1 2!1 11 1 2!1 ( 1) 2!2(1)!2(2)!2! ( 1)( ) m nm N nm m m Nm Nm m N NNN N NNN N N Jxx mnm x mNm xxx NNN Jx xDYxCJy nn

11、 不为整数. 可以证明 和 线性无关， 通解可写为 xJ n xYn cos lim(*) sin n n JxJx Yx 由于 ，故（*）式右端的极限为 形式，使用洛必塔法则最后可得到： ( )( 1)( ) N NN JxJx 0 0 2 1 002 01 22( 1)1 (ln) 2(!)2 m mnm mk xx YxJxC mk 2 1 0 2 011 cos lim sin 21(1)! (ln) 2!2 1( 1)11 !()! 2 n n nm n n m nm mn mm mkk JxJx Yx xnmx JxC m x m nmkk 其中其中C为欧拉常数为欧拉常数 C =

12、0.577216 )()(xDYxCJy nn 于是，此时于是，此时n阶贝塞尔方程的通解为：阶贝塞尔方程的通解为： 贝塞尔函数的性质与递推公式贝塞尔函数的性质与递推公式 mn m m n x mnm xJ 2 0 2) 1(! ) 1( )( sin )(cos)( lim)( xJxJ xY n n 性质性质1 1 有界性有界性 )(xJ n)(xYn0 x )0( n Y n n为偶数时，为偶数时， 为偶函数为偶函数)(xJ n n n为奇数时，为奇数时， 为奇函数为奇函数)(xJ n 性质性质2 2 奇偶性奇偶性 )() 1()(xJxJ n n n )() 1()(xYxY n n n

13、 当当n n为正整数时为正整数时 22 2 0 dd( 1) ( ) dd2! (1) mnm n n nm m x x Jx xxmnm mn m m n x mnm xJ 2 0 2) 1(! ) 1( )( ( )cos( ) ( )lim sin n n JxJx Y x 性质性质3 3 递推性递推性 221 2 0 ( 1)22 2! (1) mnm nm m nm x mnm 0 12 12 )(!2 ) 1( m mn mnm n mnm x x)( 1 xJx n n 2462 0222 2 462 11 2 22!23!2! k k k xxxx Jx k xJxJ dx d

14、 10 mn m m n x mnm xJ 2 0 2) 1(! ) 1( )( 3521 1 352 1 22 2!22! 3!2!1 ! k k k xxxx Jx kk 1 d ( )( ) d nn nn xJxxJx x 1 d ( )( ) d nn nn x Jxx Jx x 01 d ( )( ) d JxJ x x 10 d ( )( ) d xJ xxJx x 一般的, 有 上面两式左边的导数求出来, 并经过化简,则得 xxJxnJxxJ nnn1 xxJxnJxxJ nnn1 xJ n xJ n 分别消去 和 , 可以得到两式相加减， 贝塞尔函数的递推公式 xJ x n

15、xJxJ nnn 2 11 xJxJxJ nnn 2 11 若知道 xJ n 1 xJ n 的值, 就可以求出 xJ n 1 可得到任意正整数阶贝塞尔函数的值. 只要已有零阶和一阶贝塞尔函数表， 对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式. 11 2 nnn n YxYxYx x 11 2 nnn YxYxYx 例例1 求下列微积分求下列微积分 0 d (1)() d Jx x )( 0 xJ)( 1 xJ 00 1 (2)( )( )JxJx x )( 1 )( 11 xJ x xJ )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 2020 xJxJxJxJ)( 2 xJ 00 (3

16、)3( )4( )JxJx)(4)(3 11 xJxJ )(2)(2)(3 201 xJxJxJ )()()(2)(3 3111 xJxJxJxJ)( 3 xJ 3 0 (4)( )dx Jxx 2 1 d( )xxJ x xxJxxJxd)(2)( 1 2 1 3 )(d2)( 2 2 1 3 xJxxJxCxJxxJx)(2)( 2 2 1 3 0 0 (5)( )cos d R Jxx x 000 0 ( )cos|d( )cos R R xJxxxJxx R xxxJxxJxRRRJ 0 000 dsin)(cos)(cos)( R xxxxJxxxJRRRJ 0 110 dsin)(

17、cos)(cos)( R xxxxJRRRJ 0 10 dsin)(cos)( RRRJRRRJsin)(cos)( 10 1 (6)()d n n xJxx t tJ t n n d)( 1 ttJt n n n d)( 1 1 2 )(d 1 1 1 2 tJt n n n CtJ t n n n )( 1 2 1 性质性质4. 4. 阶贝塞尔方程：阶贝塞尔方程： 1 2 n 0)( 2 2 1 22 yxyxyx 1 2 1 2 2 1 3 0 2 1 ( )( )( 1) ! () 2 m m m x y xJx mm 1 2 2 1111 0 2222 ( 1) !()(1)( )2

18、 m m m x m mm 1 ( ) 2 解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得 mn m m n x mnm xJ 2 0 2) 1(! ) 1( )( 1 2 1 2 2 1 0 2 2 0 221 00 ( 1)1 ( )( ) 2!(21)(21)5 3 1 2( 1) ( ) 2 (22)4 2 (21)(21)5 3 1 2( 1) ( ) (21)! 2( 1) ( ) (21)! m m m m m m m m m m m m m J xx mmm x x m mmm x x m x m x 1 2 2 ( )sin Jxx x 352121

19、 0 ( 1) sin( 1), | | 3!5!(21)!(21)! mmm m m zzzz zzz mm x x xJcos 2 )( 2 1 同理，可求得另外一个特解：同理，可求得另外一个特解： 因此方程的通解为因此方程的通解为 )()()( 2 1 2 1 21 xJCxJCxy 由此可以推广到半奇数由此可以推广到半奇数)( 2 1 l阶贝塞尔方程的求解阶贝塞尔方程的求解 )()()( )( 21 2 1 2 1 xJCxJCxy ll 根据根据Bessel函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶Bessel函数。函数。 根据递推公式：根据递推公式

20、： 311 222 33 22 121 ( )( )( )( cossin ) 21sin21sin ()(). JxJxJxxx xxx dxdx xx x dxxx dxx xJ x n xJxJ nnn 2 11 可得：可得： x x xx xxJ n n n n sin d d12 ) 1()( 2 1 2 1 x x xx xxJ n n n cos d d12 )( 2 1 ) 2 1 ( 由此可递推出：由此可递推出： sin )(cos)( lim)( xJxJ xY n n 性质性质5 5 初值初值 1)0( 0 J0) 0 ( n J(0)n)0( n Y 2 1 )0()0

21、( 2 1 )0( 201 JJJ 0)0()0( 2 1 )0( 11 nnn JJJ1n )(2)()( 11 xJxJxJ nnn mn m m n x mnm xJ 2 0 2) 1(! ) 1( )( 性质性质6 6 零点零点 5.15.1节中，通过两次分离变量，我们已将求解圆盘的温度节中，通过两次分离变量，我们已将求解圆盘的温度 分布问题转化为求解贝塞尔函数的特征值问题：分布问题转化为求解贝塞尔函数的特征值问题： 222 0 ( )0 (0) PPnP P R P 由由5.35.3节可得，贝塞尔方程的通解为：节可得，贝塞尔方程的通解为： ( )()(), nn PAJBY （n n

22、为正整数时，为正整数时，JnJn与与J-nJ-n线性相关，不能组成方程的通解。）线性相关，不能组成方程的通解。） 根据自然边界条件：根据自然边界条件： (0)P 可得可得 中，中，B=0.B=0.( )()(), nn PAJBY 故：故： ( )(). n PAJ 再根据再根据 可得：可得： ( )0P R ()0. n JR 因此，必须要计算因此，必须要计算Jn(x)Jn(x)的零点。的零点。 mn m m n x mnm xJ 2 0 2) 1(! ) 1( )( sin )(cos)( lim)( xJxJ xY n n 性质性质6 6 零点零点 有无穷多个关于原点对称分布的零点；有无

23、穷多个关于原点对称分布的零点； )(xJ n 和和 )( 1 xJ n 的零点相间分布的零点相间分布 ； )(xJ n 的零点趋于周期分布，的零点趋于周期分布， )()( 1 lim n m n m m )(xJ n 几乎是以几乎是以 为周期的周期函数。为周期的周期函数。 2 )(xJ n (0)n0) 0 ( n J ()0. n JR根据零点的结论，方程根据零点的结论，方程 的解为：的解为： ( ) (1,2) n m Rm 故贝塞尔方程的本征值为：故贝塞尔方程的本征值为： ( ) ( )2 () , (1,2) n n m m m R 与本征值对应的本征函数为：与本征值对应的本征函数为：

24、 ( ) ( )(), (1,2) n m mn PJm R 性质性质7 7、贝塞尔函数的正交关系、贝塞尔函数的正交关系 n n阶阶BesselBessel函数序列在区间函数序列在区间 上带权上带权 正交，即正交，即(0,)R r ( )( ) 22 2( )2( ) 0 11 0, d ()(), 22 nn R mk nn nn nmnm mk rJr Jrr RR RRJJmk 称称 R n m n dr R r rJ 0 )( 2 )( 其中其中 , 2 , 1, )( m n m 为为n n阶贝塞尔函数的第阶贝塞尔函数的第mm个零点，即个零点，即 0)( )( n mn J 为为n

25、n阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数 的的模模。)( )( r R J n m n 222 22 1 ()0()()0 d FdFnddFn FrrF drr drrdrdrr 取其解的两个值取其解的两个值 ( )( ) 12 ( )() , F ( )() nn mk nn F rJrrJr RR 分别代入原方程得分别代入原方程得 ( )2 2 1 1 () ()0 n m ddFn rrF drdrRr ( )2 2 2 2 () ()0 n k ddFn rrF drdrRr 正交性的证明正交性的证明：先将先将n n阶贝塞尔方程写成如下形式阶贝塞尔方程写成如下形式 ( )2 2 1 212 ()

26、()0 n m ddFn FrrFF drdrRr ( )2 2 2 121 () ()0 n k ddFn FrrF F drdrRr 两式相减，并对两式相减，并对 从从0 0到到 积分，得积分，得rR 22 ( )( ) 12 2112 0 0 0 R nn R mk dFdF rFrFrFF dr drdrRR ( )( ) 0 ()()0 nn R mk nn rJr Jr drmk RR 上面两式分别乘上面两式分别乘12 ,FF 22 ( )( )( )( ) 21 ( )()0,( )()0,0 nnnn kmmk nn F RJRF RJR RRRR 贝塞尔函数模方的证明：贝塞尔

27、函数模方的证明： 由公式由公式 可得：可得： 22 ( )( ) 12 2112 0 0 0 R nn R mk dFdF rFrFrFF dr drdrRR 2112 1222 0( )( ) ( )( )( )( ) R nn mk R F R FRF R FR rFF dr RR 当当 时，上式右端的极限为时，上式右端的极限为0/00/0，利用洛，利用洛 必达法则可计算该极限：必达法则可计算该极限： km ( )2 2( )2 0 ()() . 2 n R n m nnm R rJr drJ R 根据递推公式根据递推公式 xxJxnJxxJ nnn1 xxJxnJxxJ nnn1 以及以

28、及 得得: : ( ) ()0 n nm J ( )( )( ) 11 ()()(), nnn nmnmnm JJJ 故故 ( )22 22( )2( ) 11 0 ()()(). 22 n R nn m nnmnm RR rJr drJJ R ( )22 22( )2( ) 11 0 ()()() 22 n R nn m nnmnm RR rJr drJJ R 称为贝塞尔函数的称为贝塞尔函数的模。模。 47 例例2 2：证明：证明 0 21 2 22 2 y x m y x y 的解为的解为 )( xJxy m )()( 1 xJxxJxy mm 21 12 1()() ()() mm mm

29、 yxJxxJx xJxxJx )(1)(2)( 212 xJxxJxxJx mmm )()()( 222212 xJxmxxJxxJx mmm )()()( 222222 xJmxxJxxJxx mmm )()()( 2222 tJmttJ ttJtx mmm 0 )()()( 21 )(1)(2)( 2 22 21 212 xJx x m xJxxJx x xJxxJxxJx mmm mmm 在区间，R上具有一阶连续导数以及分段 连续的二阶导数的函数 f ( r ),如果在 r=0 处有界, 在 r=R 处等于零, 则它必可以展开为如下形式的一 致收敛的级数： 性质性质8 8、傅立叶、傅立

30、叶- -贝塞尔级数贝塞尔级数 1m n m nm r R JArf 利用贝塞尔函数系的正交性可确定 drr R Jrrf J R A R n k n n kn k 0 2 1 2 2 1 50 例3：将1在 10 x 区间内展成 )( )0( 0 xJ i 的级数形式. 1 )0( 0 )(1 i ii xJC )( 1 )(d 1 d)( 1 d)( )0( 1 )0( 0 1 2 )0(0 0 2 )0( 1 0 )0( 0 )0()0( i i ii i JttJtttJxxxJ ii 1 (0) 0 0 2(0) 1 () 1 () 2 i i i xJx dx C J 解 )( 2

31、)( 2 1 )( )0( 1 )0( )0(2 1 1 0 )0( 0 jj i i i J J dxxxJ C ，其中 令 ，则： 从而 (0) i tx )()( d d 1 xJxxJx x n n n n 1 )0( 1 )0( )0( 0 )( )( 21 i ii i J xJ 于是有 51 例4：将x在0 x2区间内展成 ) 2 ( )1( 1 x J i 的级数形式 1 )1( 1 ) 2 ( i i i x JCx )1( 0 1 2 3 )1( d)( 8i ttJt i )( 4 )1 ( 2 )1 ( ii i J C 1 )1( 2 )1( )1( 1 )( )2/

32、( 4 i ii i J xJ x )(d 8 )1( 0 2 2 3 )1( i tJt i )( 8 )1( 2 )1( i i J )()( d d 1 xJxxJx x n n n n 解 ，其中 )(2 ) 2 1 ( )1(2 2 2 0 )1( 1 2 i i i J dxxJx C 由于 2 0 )1( 1 2 ) 2 1 (dxxJx i 从而 于是有 例例1: 求解圆形薄盘上的热传导问题求解圆形薄盘上的热传导问题 5.5 贝塞尔函数的应用贝塞尔函数的应用 0,20, 0),( 20 ,),()0 ,( 0,20 ,), 11 ( 2 2 22 2 22 ttRu Rrrru

33、 tRr u rr u rr u aua t u 0, 0), 1 ( , 1,1)0 ,( 0, 1), 1 ( 2 2 2 2 ttu rrru tr r u rr u a t u 设有半径为设有半径为1的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边 界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布 为为 ，其中，其中r为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内 的瞬时温度分布规律。的瞬时温度分布规律。 2 1 r 令：令： 2 0Ta T 0 22 rrr (0) 2 ( ) at T tAe )()()

34、,(tTrPtru )( 1 )()()()( 2 rP r rPtTatTrP )( )( 1 )( )( )( 2 rP rP r rP tTa tT , 0) 1 ()0( 0, 0), 1 ( , 1,1)0 ,( 0, 1), 1 ( 2 2 2 2 ttu rrru tr r u rr u a t u 54 0 0 2 rrrBAln 0 2 )()( 00 rBYrAJ)( 0 rAJ 0)() 1 ( 0 AJ )0( n , 3 , 2 , 1, 2 )0( n nn )( )0( 0 rJA nnn 0 222 rrr 0 2 TaT0 2 2 )0( nnn TaT ta

35、 nn n eBT 2 2 )0( 1 )0( 0 2 2 )0( )( n ta nn n erJCu 1 )0( 0 2 )()0 ,(1 n nn rJCrur )( 2 1 d)(1 )0(2 1 1 0 )0( 0 2 n n n J rrrJr C 1 )0( 1 3 )0( )0( 0 )( )( 8 2 2 )0( n nn ta n J erJ u n )( 8 )0( 1 3 )0( nn J 0 22 rrr , 0) 1 ()0( 0, 0BA0 设有半径为设有半径为R的圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜所在平的圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜所在平 面面自由移动自由移动，薄膜初始位

36、移为零，初始速度为，薄膜初始位移为零，初始速度为 ， 试求该薄膜的振动规律。试求该薄膜的振动规律。 问题归结为求解如下定解问题：问题归结为求解如下定解问题： 例例2: 求解圆形薄膜轴对称振动问题求解圆形薄膜轴对称振动问题 22 /1Rr 0,| ), 0(| , 0),( ,1)0 ,( , 0)0 ,( 0,), 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 ttutRu Rr R r ruru tRr r u rr u a t u r t Tu T r TaT 1 2 2 2 2 r rr Ta T 0 2 TaT 0 222 rrr )0(, 0)(R 0 0 2 rrrBAln 00 A 0 2 )()( 00 rBYrAJ)( 0 rAJ (1) n R 2 (1) ,1,2,3, n n n R (1) 0( ) n nn A Jr R 0 22 rrr 0,| ), 0(| , 0),( ,1)0 ,( , 0)0 ,( 0,), 1 ( 2 2 2 ttutRu Rr R r ruru tRru r uau r t rrrtt 0)()()( 10 RJARJARP 令令 0 2 TaT0 00 A