2021届高考数学艺体生文化课总复习第八章立体几何第3节空间中的平行关系点金课件20210306246

1、第八章立体几何第八章立体几何 第第3节空间中的平行关系节空间中的平行关系 知识梳理知识梳理 1.线面平行的判定定理线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行线平行,则该直线与此平面平行则该直线与此平面平行. 数学符号表示数学符号表示:ab,a ,ba. (证明线面平行的常用方法证明线面平行的常用方法: 三角形中位线三角形中位线;平行四边平行四边 形形;面面平行面面平行.) 2.线面平行的性质定理线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行一条直线与一个平面平行,则过这条则过这条 直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行直线的任一平面与此平面的交线

2、与该直线平行. 数学符号表示数学符号表示:a,a,=cac. 3.面面平行的判定定理面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行平面平行,则这两个平面平行则这两个平面平行. 数学符号表示数学符号表示: . 4.面面平行的性质定理面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面如果两个平行平面同时与第三个平面 相交相交,那么它们的交线平行那么它们的交线平行. 数学符号表示数学符号表示:,=a,=bab. , , ab ab abM 精选例题精选例题 【例【例1】如图】如图,在直三棱柱在直三棱柱ABC -A1B1C1中中,设设AB1的中点为的中

3、点为D, B1CBC1=E. 求证求证:DE平面平面AA1C1C. 【证明】在直三棱柱【证明】在直三棱柱ABC -A1B1C1中中, 侧面侧面BB1C1C为矩形为矩形, B1CBC1=E,E为为B1C的中点的中点. 又又D为为AB1的中点的中点, 在在ACB1中中,有有DEAC. DE 平面平面AA1C1C,AC平面平面AA1C1C, DE平面平面AA1C1C. 【例【例2】(2014湛江一模湛江一模)如图如图,在三棱锥在三棱锥P -ABC中中,D,E,F分别是分别是 PC,AC,BC的中点的中点. 求证求证:平面平面DEF平面平面PAB. 【证明】【证明】 E,F分别是分别是AC,BC的中点

4、的中点, EFAB. AB平面平面PAB,EF 平面平面PAB, EF平面平面PAB. 同理同理:DF平面平面PAB,EF平面平面DEF, DF平面平面DEF, EFDF=F, 平面平面DEF平面平面PAB. 专题训练专题训练 1.已知已知m,n,l是不同的直线是不同的直线,是不同的平面是不同的平面,以下命题正确的是以下命题正确的是 ( ) 若若mn,m,n,则则; 若若m,n,lm,则则ln; 若若m,n,则则mn; 若若,m,n,则则mn. A.B.C.D. 【答案答案】 D 【解析】【解析】 若若mn,m,n,则则或或,相交相交; 若若m,n,lm,则则ln或或ln或或l,n异面异面;

5、正确正确; 若若,m,n,则则mn或或mn或或m,n异面异面.故选故选D. 2.“平面平面内有无数条直线都和直线内有无数条直线都和直线l平行平行”是是“l”的的() A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案答案】 B 【解析】【解析】 如果直线在平面内如果直线在平面内,直线可能与平面内的无穷条直线直线可能与平面内的无穷条直线 都平行都平行,但直线不与平面平行但直线不与平面平行.故选故选B. 3.如图所示如图所示,在空间四边形在空间四边形ABCD中中,E,F分别为边分别为边AB,AD上的点

6、上的点, 且且AE EB=AF FD=1 4,又又H,G分别为分别为BC,CD的中点的中点,则则() A.BD平面平面EFGH,且四边形且四边形EFGH是矩形是矩形 B.EF平面平面BCD,且四边形且四边形EFGH是梯形是梯形 C.HG平面平面ABD,且四边形且四边形EFGH是菱形是菱形 D.EH平面平面ADC,且四边形且四边形EFGH是平行四边形是平行四边形 【答案答案】 B 【解析】【解析】 由由AE EB=AF FD=1 4 知知EF BD,所以所以EF平面平面BCD. 又又H,G分别为分别为BC,CD的中点的中点, 所以所以HGBD,所以所以EFHG且且EFHG. 所以四边形所以四边形

7、EFGH是梯形是梯形.故选故选B. 1 5 1 2 4.(2019新课标新课标卷卷,文文)设设,为两个平面为两个平面,则则的充要条件是的充要条件是 ( ) A.内有无数条直线与内有无数条直线与平行平行 B.内有两条相交直线与内有两条相交直线与平行平行 C.,平行于同一条直线平行于同一条直线 D.,垂直于同一平面垂直于同一平面 【答案答案】 B 【解析】【解析】 对于对于A选项选项,内有无数条直线与内有无数条直线与平行平行,则则与与相交或相交或 ,排除排除; 对于对于B选项选项,内有两条相交直线与内有两条相交直线与平行平行,则则; 对于对于C选项选项,平行于同一条直线平行于同一条直线,则则与与相

8、交或相交或,排除排除; 对于对于D选项选项,垂直于同一平面垂直于同一平面,则则与与相交或相交或,排除排除. 故选故选B. 5.在四面体在四面体ABCD中中,截面截面PQMN是正方形是正方形,则在下列结论中则在下列结论中,错误错误 的是的是() A.ACBD B.AC截面截面PQMN C.AC=BD D.异面直线异面直线PM与与BD所成的角为所成的角为45 【答案答案】 C 【解析】【解析】 因为截面因为截面PQMN是正方形是正方形,所以所以MNQP,则则MN平面平面 ABC,由线面平行的性质知由线面平行的性质知MNAC,则则AC截面截面PQMN, 同理可得同理可得MQBD,又又MNQM,则则A

9、CBD,故故A,B正确正确. 又因为又因为BDMQ, 所以异面直线所以异面直线PM与与BD所成的角等于所成的角等于PM与与QM所成的角所成的角, 即为即为45,故故D正确正确.故选故选C. 6.(2018合肥模拟合肥模拟)在空间四边形在空间四边形ABCD中中,E,F分别是分别是AB和和BC上上 的点的点,若若AE EB=CF FB=1 2,则对角线则对角线AC和平面和平面DEF的位置的位置 关系是关系是() A.平行平行B.相交相交 C.在平面内在平面内D.不能确定不能确定 AECF EBFB 【答案答案】 A 【解析】【解析】 如图如图,由由 得得ACEF. 又因为又因为EF平面平面DEF,

10、AC 平面平面DEF, 所以所以AC平面平面DEF.故选故选A. 7.在三棱锥在三棱锥P -ABC中中,PB=6,AC=3,G为为PAC的重心的重心,过点过点G作三作三 棱锥的一个截面棱锥的一个截面,使截面平行于使截面平行于PB和和AC,则截面的周长为则截面的周长为. 【答案答案】 8 【解析】【解析】 过点过点G作作EFAC,分别交分别交PA,PC于点于点E,F, 过点过点E作作ENPB交交AB于点于点N, 过点过点F作作FMPB交交BC于点于点M,连接连接MN, 则四边形则四边形EFMN是平行四边形是平行四边形(平面平面EFMN为所求截面为所求截面), 且且EF=MN= AC=2,FM=E

11、N= PB=2,所以截面的周长为所以截面的周长为24=8. 2 3 1 3 8.棱长为棱长为2的正方体的正方体ABCD -A1B1C1D1中中,M是棱是棱AA1的中点的中点,过过C,M, D1作正方体的截面作正方体的截面,则截面的面积是则截面的面积是. 【答案答案】 【解析】【解析】 由面面平行的性质知截面与平面由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线的交线MN是是 AA1B的中位线的中位线, 所以截面是梯形所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为易求其面积为 . 9 2 9 2 9.(2019新课标新课标卷卷)如图如图,点点N为正方形为正方形ABCD的中心的中心,ECD为正为正 三角形三

12、角形,平面平面ECD平面平面ABCD,M是线段是线段ED的中点的中点,则则() A.BM=EN,且直线且直线BM、EN是相交直线是相交直线 B.BMEN,且直线且直线BM,EN是相交直线是相交直线 C.BM=EN,且直线且直线BM、EN是异面直线是异面直线 D.BMEN,且直线且直线BM,EN是异面直线是异面直线 22 B ,., , , , , , , ,2 , , 2 , 【答案】 【解析】如图所示 联结因为点 为正方形的中心 为正三角形 平面平面 是线段的中点 所以平面 平面 因为是中边上的中线 是中边上的中线 直线 是相交直线 设则 由平面平面 得平面 所以 BE BDNABCD EC

13、DECDABCD MEDBMBDE ENBDE BMBDEDE ENBDEBDBM EN DEaBDa ECDABCD BCCDBCDCE BEBCCEa 22731 ,.B. 244 所以故选BMa ENaaaBMEN 10.(2017新课标新课标卷卷,文文)如图如图,在下列四个正方体中在下列四个正方体中,A,B为正方体为正方体 的两个顶点的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点为所在棱的中点,则在这四个正方体中则在这四个正方体中,直线直线 AB与平面与平面MNQ不平行的是不平行的是 () A.B. C.D. 【答案答案】 A 【解析】【解析】 选项选项B,由由ABMQ,则直线则直线AB平面平面

14、MNQ; 选项选项C,由由ABMQ,则直线则直线AB平面平面MNQ; 选项选项D,由由ABNQ,则直线则直线AB平面平面MNQ.故选故选A. 11.如图如图,在三棱柱在三棱柱ABC -A1B1C1中中,各个侧面均是边长为各个侧面均是边长为2的正方的正方 形形,D为线段为线段AC的中点的中点. 求证求证:直线直线AB1平面平面BC1D. 【证明】如图【证明】如图,连接连接B1C交交BC1于点于点O,连接连接OD. 显然点显然点O为为B1C的中点的中点. 因为因为D是是AC中点中点,所以所以AB1OD. 又因为又因为OD平面平面BC1D,AB1 平面平面BC1D, 所以直线所以直线AB1平面平面B

15、C1D. 12.如图如图,四棱锥四棱锥P -ABCD的底面是边长为的底面是边长为1的正方形的正方形,E为为PC的中的中 点点. 证明证明:PA平面平面EDB. 【证明】连接【证明】连接AC交交BD于点于点G,连接连接EG. 因为四边形因为四边形ABCD是正方形是正方形, 所以点所以点G是是AC的中点的中点, 又因为又因为E为为PC的中点的中点, 因此因此EGPA. 而而EG平面平面EDB,PA 平面平面EDB, 所以所以PA平面平面EDB. 13.如图如图,四棱锥四棱锥P -ABCD中中,ABCD为平行四边形为平行四边形,E,F分别是分别是PC, AB的中点的中点. 求证求证:EF平面平面PA

16、D. 【证明】取【证明】取PD中点中点G,连接连接GE,GA. E,F分别是分别是PC,AB的中点的中点. 在在PDC中中,GEDC,GE= DC. ABCD为平行四边形为平行四边形,F为为AB中点中点. AFDC,AF= DC. AF=GE,AFGE,AFEG为平行四边形为平行四边形. EFGA. EF 平面平面PAD,AG平面平面PAD, EF平面平面PAD. 1 2 1 2 14.如图所示如图所示,在所有棱长都为在所有棱长都为2a的三棱柱的三棱柱ABC -A1B1C1中中,侧棱侧棱 AA1底面底面ABC,D点为棱点为棱AB的中点的中点. 求证求证:AC1平面平面CDB1. 【证明】如图【

17、证明】如图, 连接连接B1C交交BC1于点于点O,连接连接OD. 显然点显然点O为为B1C的中点的中点. 因为因为D是是AC中点中点,所以所以AB1OD. 又因为又因为OD平面平面BC1D,AB1 平面平面BC1D, 所以直线所以直线AB1平面平面BC1D. 15.如图如图,在四棱锥在四棱锥P -ABCD中中,底面底面ABCD是菱形是菱形,点点E是棱是棱PC的中的中 点点,平面平面ABE与棱与棱PD交于点交于点F. 求证求证:ABEF. 【证明】【证明】 底面底面ABCD是菱形是菱形, ABCD, 又又AB 平面平面PCD,CD平面平面PCD, AB平面平面PCD, 又又A,B,E,F四点共面

18、四点共面, 且平面且平面ABEF平面平面PCD=EF, ABEF. 16.(2020佛山佛山)如图如图,在四棱锥在四棱锥P -ABCD中中,底面底面ABCD是矩形是矩形,点点M, N分别是棱分别是棱BC,PD的中点的中点. 求证求证:MN平面平面PAB. 1 2 1 2 【证明】取【证明】取PA的中点为的中点为Q,连接连接NQ,BQ, 如图如图: 又点又点N是是PD的中点的中点,则则NQAD且且NQ= AD, 又点又点M是是BC的中点的中点,底面底面ABCD是矩形是矩形, 则则BM= AD且且BMAD, NQBM且且NQ=BM, 四边形四边形MNQB是平行四边形是平行四边形,MNBQ, 又又MN 平面平面PAB,BQ平面平面PAB, MN平面平面PAB. (也可以用面面平行证明也可以用面面平行证明) 11 11 1 11 1 1 11111 ,. , 2, 2, , ,. 【证明】连接交于点连接 因为 所以 又因为所以 所以 又平面平面平面 所以 ABAEGFG AGABGE AA AG GBEB AFAFAG FCFCGB FGCB CBAEF FGAEFCBAEF 17.(2019肇庆肇庆)如图如图,在三