（推荐）复变函数洛朗级数

1、4.4.3最大最大(小小)模原理模原理 定理定理4.23(最大模最大模 原理原理) 设设f(z)在区域在区域D内解析内解析,则则 |f(z)|在在D内任何点都不能达到最大值内任何点都不能达到最大值,除非在除非在D内内 f(z)恒等于常数恒等于常数. 证证 :如果用如果用M表表|f(z)|在在D内的最小上界内的最小上界, 则必则必0M+.(反证法反证法) 假定在假定在D内有一点内有一点z0, 函数函数f(z)的模在的模在z0达到它的最大值达到它的最大值, (1)应用平均值定理应用平均值定理(定理定理3.12)于以于以z0为中心为中心, 并且连同它的周界一起都全含于区域并且连同它的周界一起都全含于

2、区域D内的内的 一个圆一个圆|z-z0|R,就得到就得到 在在z0达到它的最大值达到它的最大值,即即|f(z0)|=M. .)Re( 2 1 )( 2 0 00 dzfzf i .| )Re(| 2 1 | )(| 2 0 00 dzfzf i (4.15) 由于由于 (02), .| )Re(| 0 Mzf i ,| )Re(| 0 Mzf i ,| )(| 0 Mzf而而 以下再用反证法说明这一点以下再用反证法说明这一点: 如果对于某一个值如果对于某一个值 = 0有：有：（反证）（反证） Mzf i | )Re(| 0 0 那么根据那么根据|f(z)|的连续函数的保号性：的连续函数的保号性

3、： Mzf i | )Re(| 0 00 . 0,2 st :0, Mzf i | )Re(| 0 在这个区间之外在这个区间之外,总是总是 在这样的情况下在这样的情况下,由由(4.15)得得 z0 ,| )Re(| 2 1 | )(| 2 0 00 MzfzfM i 因此因此,我们已经证明了我们已经证明了:在以在以 点点z0为中心的每一个充分小为中心的每一个充分小 的圆上的圆上|f(z)|=M. 自相矛盾自相矛盾 z0z0z0 z0 z0 |f(z)|=M. 在在z0点的足够小的邻域点的足够小的邻域K内内 (K及其周界全含于及其周界全含于D内内)有有 让让R趋近于零趋近于零 ( )f zM (

4、2)由第二章习题由第二章习题(一一)6(3),必必f(z)在在K内为常数内为常数. 推论推论4.24 设设(1) f(z) 在有界区域在有界区域D内解析内解析,在在 闭域闭域 上连续上连续;DDD )(| )(|DzMzf(2) 则除则除f(z)为常数为常数, 否则否则 |f(z)|0， 则则f(z)在圆在圆|z|a, 但但 f(0)a |z|a0, 证证：如如果果在在内内，f f( (z z) )无无零零点点. . 而而，由由题题设设在在上上， 且且， f(z)在闭圆在闭圆|z| R上解析。上解析。 故，故， 1 ( ) f z （z z）= = |z|R 在在上上解解析析。 此此时时， 1

5、 0 1 0 =, ( ) fa （ ） zR 且且在在上上， 11 =, ( ) f za （z z） 0 zR 于于是是，（z z）必必非非常常数数在在上上 （z z）（ ） ， 由由最最大大模模原原理理，这这就就得得到到矛矛盾盾。 第五章第五章 解析函数解析函数 的罗朗的罗朗(Laurent)展式与孤立奇点展式与孤立奇点 5.1 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式 5.2解析函数的孤立奇点解析函数的孤立奇点 5.3解析函数在无穷远点的性质解析函数在无穷远点的性质 5.4整函数与亚纯函数整函数与亚纯函数 学习要求学习要求 理解双边幂级数的有关概念；理解双边幂级数的有关概念； 理解孤立奇点

6、的概念，掌握判别孤立奇点理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点 类别的方法；类别的方法； 理解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇理解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇 点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法； 理解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。理解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。 5.1 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式 5.1.1 双边幂级数双边幂级数 1 01 () () ()() n n n n n n n cc c z a z az a cc z ac z a LLL LL ), 2, 1, 0(Lncn 双边幂级数双边幂级数定义：称级数定义：称

7、级数 （5.3） 为复常数，称为复常数，称为双边幂级数（为双边幂级数（5.3）的系数）的系数 为双边幂级数，其中为双边幂级数，其中 0 双双边边幂幂级级数数()n n n czz 负幂项部分负幂项部分 非负幂项部分非负幂项部分 主要部分主要部分 解析部分解析部分 同时收敛同时收敛 收敛收敛 n n n n zzc)( 0 n n n n n n zzczzc)()( 0 0 0 1 f1(z)f2(z) f(z) n n n zzc)( 0 0 n n n zzc )( 0 1 1 0) ( zz 令令n n n c 1 收敛半径收敛半径 1 ,R 时时 收收敛敛 0 1 1 zzr R 收敛

8、域收敛域 收敛收敛 半径半径 R 0 zzR 收敛域收敛域 1若若 ( ):rR 两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分, 2( ):rR 两收敛域有两收敛域有 公共部分公共部分H: 0 .rzzR R1 a a R a r H f(z)=f1(z)+ f2(z 这时这时,级数级数(5.3)在在圆环圆环H:r|z-a|R 收敛于和收敛于和 函数函数f(z)=f1(z)+ f2(z) a a R a r H f(z)=f1(z)+ f2(z) 定理定理5.1 设双边幂级数设双边幂级数(5.3)的收敛圆环为的收敛圆环为 H:r|z-a|R(r0,R+) 则则(1) (5.3)在在H内绝对收敛内绝对收

9、敛 且内闭一致收敛于且内闭一致收敛于: f(z)=f1(z)+f2(z). (2) f(z) 在在H内解析内解析. .)()( (3) n n n azczf 在在H内可逐项求导内可逐项求导p次次(p=1,2,). 由由定理定理4.10和和4.13 常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: : 2 R . 0 z 20 0Rzz 1 R . 0 z 01 zzR 0 0zz . 0 z 定理定理5.2 (罗朗定理罗朗定理) 在圆环在圆环H:r|z-a|R, (r0,R+)内解析的函数内解析的函数f(z)必可展成双边必可展成双边 幂级数幂级数 )() n n n czfaz 其其 中中 1 1 2 0

10、12 ( ) , () (,), nn f cd ia n (5.5) (5.4) 5.1.2 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式 a 并并且且展展式式是是 唯唯 为为圆圆周周 即即及及圆圆环环一一的的唯唯一一地地决决定定了了系系数数 |(), ( ). n arR f zHc H a :|, 22 a :|, 11 a 21 |az 证证 (如图如图5.1)对对 zH,总可以找到含于总可以找到含于H 内的两个圆周内的两个圆周 使得使得z含在圆环含在圆环 1 2 z 图图5.1 内，因为内，因为f(z)在圆环在圆环 21 |az 上解析上解析, 由柯西积分公式有由柯西积分公式有 , )( 2

11、 1)( 2 1 )( 12 d z f i d z f i zf 或写成 . )( 2 1)( 2 1 )( 12 d z f i d z f i zf (5.6) 我们将上式中的两个积分表示为含有 z-a的(正或负)幂次的级数. 1对于第一个积分,只要照抄泰勒定理 4.14证明中的相应部分,就得 ,)( )( 2 1 0 2 n n n azcd z f i (5.7) 2 1 1( ) (0,1,2,) 2() n n f cd n ia (5.8) 1 2 , )( 2 1 1 d z f i 类似地,对(5.6)的第二个积分 我们有 2 . 1 1)( )()( )()( az a

12、az f aaz f z f 时，当 1 , | |1 1 azaz a 于是上式上式可以展成一致收敛的级数 1 1. )( )()( n n az z az f z f i2 1 沿1逐项求积分,两端同乘以 , )( )( 1 12 1 n n n az c d z f i (5.9) n n n n n n n n n azc az c azczf.)( )( )()( 10 ),( )( )( 21 2 1 1 1 nd a f i c n n (5.10) 由(5.6),(5.7),(5.9)即得 回过头来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的 柯西积分定理,对任意圆周 ),(|

13、:|Rraz 有 2 1 2 1 () () nn f cd ia 1 1 0 1 2 2 ( ) (, , ,) () n f dn ia 1 1 2 1 ( ) () nn f cd ia 1 1 2 2 1 ( ) (, ,), () n f dn ia 于是系数可统一表成于是系数可统一表成(5.5). 因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H 内(5.4)成立. )(|:|Rraz 上一致收敛.乘以上的有界函数: n n n azczf,)()( 1 )( 1 m a 1 1 ( ) (), () n m n m n f dcad a 最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内 又可

14、展成下式: 由定理5.1知,它在圆周 故可逐项积分，得：仍然一致收敛 n n n azczf)()( 利用重要积分公式，m=n,右端为2i,其余为零 得： ), 1, 0( , )( )( 2 1 1 md a f i c m m )., 1, 0( ncc nn 定义定义5.1 (5.4)称为称为f(z)在点在点a的的罗朗展式罗朗展式, (5.5)称为其系数称为其系数,而而(5.4)右边的级数则称为右边的级数则称为罗罗 朗级数朗级数. ),( , )( )( 10 2 1 1 n d a f i c n n 5.1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系洛朗级数与泰勒级数的关系 泰勒级数是罗朗级数的特

15、殊情形. 21 1 zz zf)( 1z 1 例1 判断在下列区域内 能展成什么幂级数 21 z 2 z2 3 即：罗朗级数或泰勒级数 例例1 1 : )2)(1( 1 )( 在在圆圆环环域域函函数数 zz zf ;10)1 z;21)2 z.2)3 z 内是处处解析的内是处处解析的, 试把试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数. 解解, )2( 1 )1( 1 )( zz zf , 10 )1内内在在 z ox y 1 ,1 z由于由于 LL n zzz z 2 1 1 1 则则 2 1 1 2 1 2 1 z z )( zf所所以以)1( 2 L zz L

16、42 1 2 1 2 zz L 2 8 7 4 3 2 1 zz 1 2 z 从而从而 LL n n zzz 222 1 2 1 2 2 , 21 )2内内在在 z 12 ox y z zz 1 1 11 1 1 L 2 11 1 1 zzz 1 z由由1 1 z 2 z1 2 z 且仍有且仍有 2 1 1 2 1 2 1 z z LL n n zzz 222 1 2 1 2 2 )( zf于于是是 L 2 11 1 1 zzz L 2 2 22 1 2 1zz LLL 842 1111 2 1 zz zzz nn , 2 )3内内在在 z 2 ox y 2 z由由1 2 z 此时此时 z z

17、z 2 1 11 2 1 L 2 42 1 1 zzz , 1 21 zz 此时此时 仍有仍有 z zz 1 1 11 1 1 L 2 11 1 1 zzz )( zf故故 L 2 42 1 1 zzz L 2 11 1 1 zzz . 731 432 L zzz 注意注意:0 z 奇点奇点但却不是函数但却不是函数 )2)(1( 1 )( zz zf的的奇点奇点 . 本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的 说明说明: 1. 函数函数 )(zf 在以在以 0 z 为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级 数中尽管含有数中尽管含有 0 zz 的负幂项的负幂项, 而且而

18、且 0 z 又是这些又是这些 项的奇点项的奇点, 但是但是 0 z可能是函数可能是函数)(zf的奇点的奇点,也可能也可能 )(zf的奇点的奇点.不是不是 2. 给定了函数给定了函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点 0 z以后以后, 函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开 式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例). 回答：不矛盾回答：不矛盾 . 朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的) 问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾? (唯一性唯一性 : 指函数在指函数在某一个给定的圆环域某一个给定的

19、圆环域内的洛内的洛 5.1.4 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 定义定义5.2 如果如果f(z)在点在点a的某一的某一去心邻域去心邻域K-a; 0|z-a|R(即除去圆心即除去圆心a的某圆的某圆)内解析内解析,点点a是是 f(z)的奇点的奇点(见定义见定义2.3),则称为则称为f(z)的的孤立奇点孤立奇点. 结论：结论：如果如果a为为f(z)的一个孤立奇点，则的一个孤立奇点，则f(z)在在a 的某一的某一去心邻域去心邻域K-a;0|z-a|R(即除去圆心即除去圆心a 的某圆的某圆)能展成洛朗级数能展成洛朗级数 将函数展成洛朗级数将函数展成洛朗级数 常用方法

20、常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法 利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数 n c ), 2, 1, 0(d )( )( 2 1 1 0 L n z f i c C n n 然后写出然后写出.)()( 0 n n n zzczf 缺点缺点: 计算往往很麻烦计算往往很麻烦. 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点优点 : 简捷简捷 , 快速快速 . 2. 间接展开法间接展开法 5.1.5 典型例题典型例题 例例1 1 ,

21、 0 内内在在 z. )( 2 展展开开成成洛洛朗朗级级数数将将 z e zf z 解解,)( n n nz czf 由定理知由定理知: d )( )( 2 1 1 0 C n n z f i c d 2 1 3 C n e i 其中其中 )2, 1,0(, )0(:L nzC , 3 时时当当 n 0 n c , 2 在在圆圆环环域域内内解解析析 z e z 故由柯西定理知故由柯西定理知: , 2 时时当当 n由高阶导数公式知由高阶导数公式知: 0 2 2 )( d d )!2( 1 z z n n e zn)!2( 1 n 2 )!2( )( n n n z zf故故L ! 4! 3! 2

22、 111 2 2 zz zz z0 d 2 1 3 C n n e i c 另解另解 L ! 4! 3! 2 1 1 432 22 zzz z zz e z L ! 4! 3! 2 111 2 2 zz zz 本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点, . 2 的的奇奇点点也也是是函函数数 z e z 解解 z0 z z zf sin )( . )!12( )1( 0 2 n nn n z 例例2 2 . 0 sin 0 洛洛朗朗级级数数 的的去去心心邻邻域域内内展展开开成成在在将将函函数数 z z z LL )!12( )1( ! 5 1 ! 3

23、 11 12 53 n z zzz z n n 例例3 3 0 1 2 2 ( ) () . f zz z z 将将函函数数在在的的去去心心邻邻域域内内 展展开开成成洛洛朗朗级级数数 解解 , 220 内内在在 z ) 2( 1 )( zz zf 2 2 1 1 2 1 2 1 z z 0 1 1 )2( 2 )1( n n n n z . 2 2 2 1 )2(2 1 32 L z z ) 2(2 1 2 1 zz 例例4 4: )1)(2( 52 )( 2 2 在以下圆环域在以下圆环域求求 zz zz zf 内的洛朗展开式内的洛朗展开式. ; 21 )1( z520)2( z 解解 1 2 2 1 )( 2 zz zf ,