自适应控制系统讲稿

1、自适应控制参考文献1. K.J. Astrom and B. Wittenmark, “Adaptive Control”, Addison Wesley, 1989.2. K.S. Narendra and A.M. Annaswamy, “Stable Adaptive Systems”, Prentice-Hall, 1989. 3. G.C. Goodwin and K.S. Sin, “Adaptive Filtering, Prediction and Control”, Prentice, 1984. 4. 韩曾晋，自适应控制，清华大学出版社，19955. J. E. Sloti

2、ne and Weiping Li, Applied nonlinear control, Prentice-Hall, 19916. 谢克明，现代控制理论基础，北京工业大学出版社7. 侯忠生，非参数模型及其自适应控制理论，科学出版社，19991 绪论（自适应控制的基本概念和基本原理）1.1 为什么要用自适应控制在一些控制任务中，例如机器人控制，在控制运行的初始阶段，被控系统通常都具有参数不确定性。除非这样的不确定性通过自适应或估计机制逐渐减少，否则它们将使控制系统变得不精确和不稳定。任何一个实际系统都具有不同程度的不确定性。例如负载扰动、海浪和阵风的扰动等。此外还有一些量测噪声。面对这些客观

3、存在的各式各样的不确定性，如何设计适当的控制作用，使得某一指定的性能指标达到并保持最优或近似最优，这就是自适应控制所要研究和解决问题未知载荷履带期望轨迹图1：运送不确定质量载荷的机器人例1.1：机器人操作柄的控制如图所示，机器人要运送不同尺寸、重量和惯性参数的载荷。如果采用常数增益的控制器，机器人的运动可能就变得不精确，甚至不稳定。例2：航海控制的自动导航系统航海系统的动态性受到许多不确定参数的影响，例如水深、船的载荷、风力风向以及海浪等。我们可以用自适应控制来取得较好的控制性能，避免使用额外的方向舵带来的能量损耗。1.2 什么是自适应控制？自适应控制与常规控制器不同，在于其控制器的参数是可以

4、变化的，并且存在一个基于系统信号在线调节这些参数的机制。自适应控制所依据的关于模型和扰动的先验知识比较少，需要在系统的运行过程中不断提取有关模型的信息，使模型逐渐完善。具体地说，可以依据对象的输入输出数据，不断地辨识模型的参数，这个过程称为系统的在线辨识。通过在线辨识，模型会变得越来越精确，愈来愈接近于实际。既然模型在不断地改进，显然基于这种模型综合出来的控制作用也将随之不断改进。在这个意义下，控制系统具有一定的适应能力。 常规反馈控制系统对于系统内部特性的变化和外部扰动的影响都具有一定的抑制能力，但由于控制器参数是固定的，所以当系统内部特性变化或者外部扰动的变化幅度很大时，系统的性能常常会大

5、大降低，甚至不稳定。1.3 自适应控制的基本结构1.3.1 模型参考自适应控制系统（Model Reference Adaptive System, MRAS）模型参考自适应控制的结构如图所示。由四部分组成：被空对象（包含未知参数）；参考模型（直接表示了对象输出应当怎样响应参考输入信号，即系统的期望输出）；包含调节参数的反馈控制律；和一个在线调节控制器参数的自适应机制。yym参考模型控制器被控系统自适应律rua几点说明：被空对象尽管参数未知，但假设具有已知的结构。对于线性系统，这意味着系统零点和极点的数目是假设已知的，但是其分布是未知的。对于非线性系统，这意味着动态系统的结构是已知的，但是其中

6、某些参数未知。参考模型：是用来描述自适应控制系统对外界命令的理想响应。实际上，它提供了自适应机制通过自适应调节参数应该能跟踪的理想系统响应。参考模型的选取是自适应控制系统设计的一部分。其选择应当满足两个条件：1）参考模型应当能够反映控制任务所制定的性能。2）这一理想的行为对于自适应控制系统而言应当是能够可以实现的，即存在对参考模型的结构存在一些本质的约束条件，这些条件是由假设的被控系统模型的结构给定的。控制器具有参数化的形式，是由一些可调节的参数构成的（这意味着我们可以通过制定可调节参数的值获得一类控制器）。控制器应该具有完全跟踪的能力。自适应机制用来调节控制律中的参数。控制器参数的自适应调整

7、过程是这样的：当参考输入r(t)同时加到系统和参考模型的入口时，由于对象的初始参数未知，控制器的初始参数不可能调整得很好。因此，一开始运行系统的输出响应y(t)与模型的输出响应ym(t)是不可能完全一致的，结果产生偏差信号e(t)，由e(t)驱动自适应机构，产生适当的调节作用，直接改变控制器的参数，从而使系统的输出y(t)逐渐地域模型输出ym(t)接近，直到y(t)=ym(t), e(t)=0为止。当e(t)=0时，自适应参数调整过程也就自动中止。当对象特性发生变化时，控制器参数的调整过程与上述相同。1.3.2 自校正调节器y控制器被控系统估计器rua这类控制器的主要特点是具有一个被空对象数学

8、模型的在线辨识环节，具体地说就是加入了一个对象参数的递推估计器。1.4 自适应控制的理论及应用概况1.4.1 稳定性(Stability)自适应控制的稳定性是指系统的状态、输入、输出和参数等变量，在干扰的影响下，应当总是有界的。1.4.2 收敛性(Convergence)一个自适应算法具有收敛性是指在给定的初始条件下，算法能够渐进地达到其预期的目标，并在收敛过程中，保持系统的所有变量有界。1.4.3 鲁棒性(Robustness)自适应控制的鲁棒性主要指：在存在扰动和未建模动态特性的条件下，系统能保持其稳定性和一定动态性能的能力。1.4.4 应用l 飞行控制l 自动驾驶l 工业过程控制l 等等

9、1.5 如何设计自适应控制器？在传统的（非自适应）控制的设计中，首先选定控制器的结构（例如极点的配置），然后基于系统的已知参数来计算控制器的参数。在自适应控制中，其最大的不同在于被控系统的参数未知，因此，控制器的参数不得不利用一个自适应律来估计和调节。与此相应的结果就是自适应控制的设计更加复杂，因为需要另外选择自适应律并且要证明带有自适应机制的系统的稳定性。自适应控制器的设计一般来讲包括三个部分1） 选择一个带有可变（时变）参数的控制律2） 选择一个自适应律调节这些参数3） 分析控制系统的收敛性能例：简单的自适应控制问题设计与分析考虑如下一个控制问题 （1）控制目标：驱使控制输出y(t)跟踪参

10、考轨迹例如可以由如下参考系统来产生 （2）其中：, 所以参考模型稳定。采用如下形式的控制律 （3）将控制律（3）带入被控系统（1），则那么系统（1）可以写作 （4）如果，那么则根据这个控制律系统就可以精确地与参考模型相匹配。存在的问题是：我们不知道和!我们看自适应控制使如何解决这个问题的。自适应控制： 在线地估计 and ，并尽量用到这些估计 由于我们得到的是 and 的估计值，显然存在估计误差。所以就要利用一个严格的程序使得我们的估计值不断接近 and 的真值。因为, 是未知的，所以上面给出的控制律修改为, Time-varying controller gains! 其中是时变的。那么如何

11、选择参数呢？可以给出自适应律如下其中分别表示在t时刻对, 的估计值为了分析控制系统的收敛性，我们定义如下形式的二次型正定函数（什么是二次型，什么是正定？）其中在前面的讲解中，我们已知 and 是常数。那么求微分可得注意到误差动态该怎么表示现在我们来求V的导数由此可得 所以有界，有界，有界因为所以q (t) 和 k(t)是有界的。 是参考信号，显然有界所以y(t) 有界 我们已知V(e, f,y)是正定函数，并且所以对所有时刻t，V有界我们对积分可得由积分的定义可得因为总是有界的因此， 其中是个常数我们已知n 所以t ，是有界的n 即因此，可以证明所设计的自适应控制器可实现控制目标。对自适应控制

12、问题进行总结如下系统 参考模型 控制律, 其中是时变的。自适应律： 其中，, 和为任意给定的控制增益。结果：如果上述自适应控制器应用于系统，则所有信号y, u, q, k有界，并且2 预备知识2.1 范数2.1.1. 向量的范数（1）欧氏范数设为n维的实向量，它的欧氏范数，实际上就是它的长度，规定为欧氏范数的性质：l 非负性：若向量，则，l 齐次性：对任何实数和任意向量，有l 三角不等式：对任意向量和，恒有根据上述性质，可以证明同样，可证明不等式 （用-y代替y）我们看一下这两个不等式的几何意义：（任意三角形两边长度之差不大于第三边的长度）向量和的差值，其范数就是和两个终点的距离，而和本身也表

13、示向量和的终点到他们的起始点（即原点）的距离，所以可以用距离来解释范数。有了范数的定义，我们就可以讨论中点序列的收敛性问题。在n维空间中，要使向量序列收敛于有限极限，其充要条件为中的n个分量所组成的n个数列对于都分别收敛于的相应分量。（2）p-范数：对于任何小于1的正数p，具有范数的三种基本性质，我们称它为向量的p-范数，记作，即其中表示向量的第i个分量。常用的p-范数有下列三种情况l 即，这就是我们前面讲的欧氏范数。l 即，这时， 各个分量绝对值的和。l ，即，我们可以证明证明：令，则有其中所以 从而可得根据范数定义，可得。2.1.2 矩阵的范数（自己看）2.2 动态系统的稳定性理论设被控系

14、统可用以下非线性微分方程描述其中为系统的状态，。如果函数不依赖于时间t，则称系统（1）为时不变的；否则，系统称为时变的。如果，则称系统为线性的；否则系统就是非线性的。系统展开式为 初始状态：相应的解：其中：为状态向量的初始值；为初始时刻。平衡点：如果状态空间中存在某一个状态，满足对所有， 则就是系统的一个平衡点。由定义式可见，平衡状态将包含在这样一个代数方程组中。其具体形式如下：线性定常系统：其平衡状态应满足代数方程因此解这个方程可得：当A是非奇异的，则系统存在唯一的一平衡状态。可见，对线性定常系统，只有坐标原点是系统仅有一处平衡状态点。非线性系统：方程的解可能有多个，这要视系统方程而定。如，

15、其平衡状态应满足由此可得所以该系统存在三个平衡状态， 系统的平衡状态意味着，只要无外力作用于系统，系统将永远处在这个平衡状态。如果有外力作用于系统，例如某种干扰，系统是处在这个平衡点附近还是离平衡状态愈来愈远？我们需要讨论系统的稳定性问题。稳定性：指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。对于线性定常系统，由于只存在一个孤立平衡点，所以只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性问题。其他系统，平衡点不止一个，系统中不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只讨论某一状态的稳定性。2.2.1 稳定性的定义l Lyapunov

16、意义下的稳定性（稳定和一致稳定）定义：对于系统，若任意给定正实数，都存在另一个实数，使当时，从任意初始状态出发的解满足，则称系统的平衡状态是稳定的。其中是与和都有关的实数；如果的选择不依赖于则称是一致稳定的。直观地说，平衡点不会随着时间的推移而逐渐失去稳定性。几何意义：范数划出了一个球域，它能将的解的所有各点都包围在内。由此可以找到另一个对应球域，它的范数为，其中包含了初始状态允许取值的范围。Lyapunov意义下的稳定性是指从发出的轨线在的任何时刻总不会超出。稳定范围：一般来说，如果给定的解的偏差范围愈小，则容许的初始条件偏差范围也愈小。如果给定的较大，则也可能大一些。若不论如何给定，相应的

17、总不能超过某一个正数，我们称为稳定范围。如果可以选的任意大，即，我们就称该运动是大范围稳定的。(a) 局部稳定 (b)大范围稳定l 渐近稳定性：定义：对于系统，若任意给定正实数，都存在另一个实数，使当时，从任意初始状态出发的解满足，且对于任意小的正数，总有则称平衡状态是渐近稳定的。几何意义：如果平衡点满足Lyapunov意义下的稳定性，并且从球域内发出的任意一个解，当时，不仅不会超出球域之外，而且最终收敛于平衡点，则为渐近稳定。l 如果的选择不依赖于则称是一致渐近稳定的l 全局渐近稳定性：系统的平衡点是全局渐近稳定的，如果对所有，平衡点是渐进稳定的并且注：全局稳定性即大范围稳定性实质上就是把状

18、态解的运动范围和初始状态的取值范围扩展到了整个状态空间。对于状态空间的所有点，如果有这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则该平衡状态称为大范围渐近稳定的。显然由各状态点发出的轨迹都收敛于，这类系统只能有一个平衡状态。(a) 局部稳定 (b)大范围稳定线性定常系统中，满足平衡点方程的解，当A为非奇异时，只有唯一零解。所以，若定常系统是渐进稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。从而验证了线性系统稳定性与初始条件大小无关的特性。对于非线性系统，稳定性与初始条件大小密切相关，其中值总是有限的。对于多个平衡点的情况，更是如此。故通常只能在小范围内渐近稳定。l 指数稳定性：如果满足下列条件，则称系统的平衡点是

19、指数稳定的：存在使得方程的解满足对所有其中是以原点为圆心，以h为半径的球体，常数成为收敛速度。如果，则上述平衡点是全局指数稳定的。如果指数稳定不依赖于时间，则称一致指数稳定。l 不稳定性：如果对于某个实数和任意实数，当时，总存在一个初始状态使得则称平衡状态是不稳定的。几何意义：对于某个给定的球域，无论球域取得多么小，内部总存在一个初始状态，使得从这一状态出发的轨线最终会超出球域。对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了，但并不意味着轨迹一定趋向无穷远处。例如对于非线性系统，轨迹还可能趋于以外的平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋于无穷远。(a) 局部不稳定 (b)全

20、局不稳定2. 3 Lyapunov稳定性定理2.3.1 基本概念2.3.1.1 二次型函数：代数中我们常见一种多项式函数为其中每项的次数都是二次的，这样的多项式称为二次齐次多项式或二次型。2.3.1.2 标量函数的定号性：设x是空间的非零向量，是向量x的标量函数。l 如果对所有在域中的非零向量x，有，且在x=0处有，则在域内称为正定的，即例如是正定的l 如果标量函数除了在原点以及某些状态处等于零外，在域内其余状态处都是正的，则称为正半定，即例如正半定。l 如果是正定的，则称为负定的。例如是负定的l 如果是正半定的，则称为负半定的。例如负半定。l 如果在域内，即可正也可负，则称为不定的。例如2.

21、3.3.3 更严格的数学定义l K类函数的定义：一个函数属于K类，记作，如果该函数是连续的、严格递增的，而且。l 局部正定函数：一个连续函数称为局部正定函数（local positive defining function, l.p.d.f），如果对某和某，有，且，对所有的都成立。l 正定函数：一个连续函数称为正定函数（positive defining function, p.d.f），如果对某，有，且，对所有的都成立。当时，函数。l 渐减函数：函数称为渐减的，如果存在函数，使得，对所有的都成立。例题： p.d.f渐减函数 p.d.f渐减函数 p.d.f函数 渐减函数下面我们看一下利用Lya

22、punov稳定理论判断系统稳定性的方法2.3.2 Lyapunov第二法Lyapunov第二法又称为Lyapunov直接法。运用此法可在不求出状态方程的解的情况下，直接确定系统的稳定性。2.3.2.1. Lyapunov函数设为任一标量函数，其中x为系统状态变量，如果具有性质： （1）连续反映能量的变化趋势。（2）是正定的反映能量的大小（3）当时，反映能量的分布那么，函数就称为Lyapunov函数。在Lyapunov第二法直接用及的符号性质来判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性、或不稳定性。2.3.2.2. 渐近稳定的判别定理一定理：设系统的动态方程为，其平衡状态为。如果存在一个具有连续的一阶偏

23、导数的标量函数，并且满足条件（1）是正定的（2）是负定的，则系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。又当时，有，则在原点处的平衡状态是在大范围内一致渐近稳定的。定理的几点解释：1）定理的物理意义2）定理的几何意义3）该定理给出了渐近稳定的充分条件4）Lyapunov函数的存在形式并不唯一。5）定理的适用范围很广，线性、非线性、时变、定常例题：设系统的状态方程 试确定其平衡状态的稳定性。解：由平衡点方程可得解出唯一平衡点（）。选取标准二次型为李氏函数，即 正定对时间的导数 负定又当时，有，所以平衡点（）是大范围内渐近稳定的。2.3.2.2. 渐近稳定的判别定理二2.3.3 Lyapunov基本定

24、理我们给出如下关于稳定性的基本结论。令为连续可微的标量函数，则的条件的条件结论l.p.d.f，局部的局部稳定l.p.d.f渐减，局部的局部一致稳定l.p.d.fl.p.d.f局部渐近稳定l.p.d.f渐减l.p.d.f局部一致渐近稳定p.d.f渐减p.d.f全局一致渐近稳定例题：判断以下方程的稳定性解：令，显然是p.d.f由于对，是l.p.d.f，所以原点这个平衡点是局部渐近稳定的，不是全局稳定的，系统有一个极限环在半径为1的圆上。由的表达式可得，对，有所以所以也是一个局部指数稳定的平衡点。2.3.4指数稳定定理如果存在函数和严格正常数，使得对所有，有则x(t)指数地收敛到03 模型参考自适应

25、控制系统3.1 模型参考自适应控制及其结构yym参考模型控制器被控系统自适应律rua模型参考自适应系统的结构图几点说明被空对象：参数未知，但假设具有已知的结构。对于线性系统，这意味着系统零点和极点的数目是假设已知的，但是其分布是未知的。对于非线性系统，这意味着动态系统的结构是已知的，但是其中某些参数未知。参数线性化系统。参考模型：用来描述自适应控制系统对外界命令的理想响应。实际上，它提供了自适应机制通过自适应调节参数应该能跟踪的理想系统响应。（将设定点的调节问题转化成跟踪问题）控制器具有参数化的形式由一些可调节的参数构成。自适应机制：用来调节控制律中的参数。在分析过程中，我们给出误差动态性：将

26、跟踪转化为稳定性问题（可应用Lyapunov理论，前面已经讲过）工作原理：控制器参数的自适应调整过程是这样的：当参考输入r(t)同时加到系统和参考模型的入口时，由于对象的初始参数未知，控制器的初始参数不可能调整得很好。因此，一开始运行系统的输出响应y(t)与模型的输出响应ym(t)是不可能完全一致的，结果产生偏差信号e(t)，由e(t)驱动自适应机构，产生适当的调节作用，直接改变控制器的参数，从而使系统的输出y(t)逐渐地域模型输出ym(t)接近，直到y(t)=ym(t), e(t)=0为止。当e(t)=0时，自适应参数调整过程也就自动中止。3.2 全状态变量可观测的系统的模型参考自适应控制这

27、类系统的描述如下 is , b is b已知这类系统的一个实际例子如下例：该系统的状态空间描述如下写成矩阵形式因此，已知我们再回到上面给出的系统 (1)参考模型为非自适应情形我们给出控制输入如下 (2)将（2）带入系统（1），那么假设对这些带*的值，反馈控制2）可实现模型匹配，即满足匹配条件匹配条件因此，存在控制增益, and 能够保证闭环系统与参考模型相匹配。如果已知，显然我们可以求出, 和。现在的问题是未知，所以我们就选用自适应控制。给出如下控制律定义参数估计误差为：则，将控制律应用于系统可得如下结果前面已知，我们的参考模型选择为其中状态误差定义为那么，其中对于参考模型，必须选择为稳定的矩

28、阵。因此，它满足Lyapunov方程即，对任意对称正定矩阵Q，存在一个对称正定矩阵P满足上述方程。定义Lyapunov函数其中G是一个正定矩阵。为了简单起见，我们有时可以把写作V(t)我们沿着系统的轨迹求的值 (3) 这一项总是小于零的l 我们采用下面的设计引入下面的表示, 可以推出 于是方程（3）变为因此，可以得出如下结论n 正定并且，可以推出有界n 有界n is bounded 有界nn (or )总结给出系统其中状态可测，b已知匹配条件是参考模型为控制律自适应律结果：所有信号有界，并且作业1：设被控系统，其中, and 可测。 设计一个自适应控制器，使其能跟踪下面的参考模型其中 rad/

29、s，.注：由传递函数方程到状态矩阵的转化其状态空间描述如下：写成矩阵形式为：3.3 全状态可测系统的带有积分行为的自适应控制系统状态方程为匹配条件考察一个附加状态 r(t) 是参考信号则上述系统的增广系统为选择控制律为带入上述系统可得：所以，可给出增广的匹配条件为要给出对应的自适应控制器，我们首先选择自适应控制律为参考模型定义增广状态则对, 我们有其中 已知（因为b已知）自适应律为全状态可测系统带有积分行为的自适应控制分析例 考虑如下一类系统为了结合积分控制，我们首先要给出增广的系统状态由此，“新”系统的状态为（包含了增广变量）其中 and 反馈控制形式为首先考虑常数增益反馈。反馈系统为这意味着参考模型必须有下面的形式即，仅有这一类参考模型能够被匹配，“匹配条件”分析过程与前面相同。作业2考虑系统