第六章不对称状态网络计算的分量系统-讲稿

1、不对称状态网络计算的分量系统61 引言内容：不对称状态下网络的计算问题三相系统运行状态：1） 对称运行状态（三相可解耦计算，解算一相）对称电流：，对称电压：对称负荷： 2） 不对称运行（应用分量系统解耦计算）三相不对称系统的计算是电力系统故障分析的重要内容。在线路布局完全对称或完全换位的条件下，如果系统处于正常运行状态，那么各相电压或电流是对称的，这时无需对三相都进行计算，只要单独地进行一相的解算，将结果进行相应的相移处理就能得到三相的结果。 在不对称故障条件下，三相对称的局面被打破，不能再沿袭正常工况条件下的单相计算方法了。不对称状态下的网络计算分两种情况。一种情况是网络参数对称，但由于电压

2、（或电流）的不对称而引起电流（或电压）的不对称；另一种情况是由网络参数不对称引起，这时即使电压（电流）对称也将导致电流（电压）的不对称。当然也存在两种情况的组合。无论是那一种情况，都将导致三相间的相互耦合，这使得解算过程复杂化。所谓“分量系统”方法是求解此类问题的有效工具。它的目的是解耦，形成三套各分量不存在耦合关系的独立系统，对他们分别加以计算，然后将相应的解迭加起来得到原来不对称系统的解。6-2 分量系统总论本章在统一的数学描述前提下讨论分量系统，谋求读者对分量系统有更深刻的认识。一、电流电压的关系对三相输电系统，电压电流关系表达式通常可用下式描述 （6.1）其中 ， （6.2）、分别为负

3、载或元器件两侧的电压电流向量有效值，而为负载或元器件阻抗矩阵。式6-1是三相系统电压、电流的一般表达式。在电力系统的不对称情况分析计算中，其阻抗矩阵通常具有以下两种情况：负荷或元件阻抗矩阵通常具有： ，式（6.3）称之为对称阻抗矩阵，式（6.4）称之为循环对称阻抗矩阵。显然，对称阻抗矩阵可视为循环对称阻抗矩阵的一个特例，它的。在电力系统中，三相对称负荷及布局完全对称或完全换位的输电线路的阻抗矩阵具有对称阻抗矩阵的形式。对于旋转电机其阻抗矩阵具有循环对称矩阵的形式。电力系统在正常的对称运行条件下，对于对称阻抗矩阵，在X-Y坐标轴系内，不难得到电压与电流的解耦关系： 1） 对称运行和对称矩阵的条件

4、下：电流电压关系：（abc系统） （6.5）这时三相完全分离，即某相电压仅与同名相的电流有关。在计算中可以只计算其中的一相，其余两项便可方便地得出。对于循环对称矩阵（如旋转电机），由于式（6.4）的互阻抗不都相等，式（6.5）的解耦关系在X-Y坐标轴系不复存在。三相电压、电流必须混合在一起求解。这给电力系统的分析带来极大的不便。在下面讨论的分量系统中，就是寻找一种坐标轴系的变换是阻抗矩阵变成具有对角形的形式，从而使三相电压、电流解偶。讨论以循环对称矩阵为基础，并将所得到的结论应用到对称矩阵之中。二、分量系统的数学原理1.构造线性变换设 其中和为阶非奇异的线性变换阵，和为新的相序下的电压和电流，

5、即 （6.7）将式（6.6）代入式（6.1），有 令 则 （6.10）如若具有对角线型矩阵的形式，即 那么在新的相序系统中，各相是完全分离的。分量系统就是谋求这样的线性变换。在式（6.9）中，矩阵A和B是需要确定的两个矩阵。确定该矩阵的要求是使矩阵具有对角形的方矩阵。为使研究的问题不过于复杂，令 （6.12）这里，为对角线型非奇异矩阵。即 （6.13）在上述条件下，有 （6.14）若变换 （6.15）能使具有对角线矩阵形式，由于亦为对角线型，则 也必为对角线矩阵。于是变换式（6.9）转化为变换式（6.15）。由线性代数理论可知：显然，式（6.15）的变换正是矩阵特征值求解变换，的对角线元素恰是

6、矩阵的特征值，矩阵恰为的特征向量组成的矩阵。因此，分量系统的建立过程与求取的特征值和特征向量的过程等价。2特征值和特征向量解释什么是特征值？设矩阵的特征值矩阵为 （6.17）特征向量矩阵为 （6.18）其中每列对应于一相应的特征向量。如果矩阵没有一定的规律可循，那么求解其特征值和特征向量是一件困难的事。由于在电力系统不对称分析中，常用到的是对称矩阵和循环对称矩阵。因此，以下将对这两种形式的矩阵特征值和特征向量的求取方法进行讨论。在矩阵循环对称条件下，有下面的两个分量系统的定理。1） 特征值定理6-1：当矩阵为循环对称矩阵时，其特征值为 （19）这里，。此时，称为规范化特征向量矩阵。证明：由特征

7、值的性质，得 （6.21）即 （6.22）解得 （6.23）将计入，整理得 （6.24）2） 特征向量：这就是式（6.19）。对于上述三个不相等的特征值，有 （6.25）这里为矩阵中之一列。如对X列有对此方程进行分析，可得出只有两个方程是独立方程。同样，对Y和Z列也只有两个方程式独立的。对X、Y和Z列列写方程时，将有六个方程，9个未知量。因此，我们可任意指定其中的三个未知量。令 。解得 ， ， （6.26）这就证明了式（6.20）。定理（6-2）：当矩阵具有形如式（6.3）的的循环对称矩阵时，必有 （6.27）和 （6.28）成立。证明：在式（6.23）中，式（6.27）就得证。由式（6.25

8、）可得 （6.29）对于重根和，显然有 （6.30）即 （6.31）而，故只能 （6.32）这就是式（6.28）的后两式。对于单根，由式（6.29），有 （6.33）（设已知，得解）解此方程得 （6.34）这就是式（6.28）的第一式，证毕。上面两个定理表明：1当为循环对称矩阵时，变换矩阵在规范化前提下具有唯一性。当矩阵为对称矩阵时，变换矩阵具有多样化形式。选择时应该注意要保证矩阵的非奇异性。2无论是循环矩阵还是对称矩阵，其特征值不具随意性。3在及求得后，人为地选阵对角元素，的取值。6-3 对称分量系统对称分量系统是分量系统的一种分量系统。由于该分量系统的变换矩阵具有结构简单、运算方便的特点，

9、在电力系统中得到了广泛的应用。对于式（6.4）给出的，取 （6.35）及 （6.36）于是有 将分别用0，1，2标记，逐个称作零序，正序和负序，有 （6.37） （6.39）这里，和按式（6.17）取值，若，则按式（6.27）取值。和构成了对称分量系统。称之为对称分量系统，是由于系统的电流和电压均能采用相位空间上完全对称的正序和负序分量以及相位空间上完全相同的零序分量迭加的方式表达。设 , （3.40）即可表示电流，也可表示电压。由式（6.38），得到负序正序零序 （3.41）显然相量在相位空间上按逆时针方向分别相差120且模相等，称为正序分量；相量在相位空间上按顺时针方向分别相差120，且模

10、相等，称为负序分量；相量大小相等方向相同，称为零序分量。式（6.41）表明了系统与012系统的关系，图6-1给出了直观的表述。a) 正序b) 负序c) 零序Fa1Fc1Fb1Fb2Fa0Fb0Fc0Fc2图6-1 对称分量 d) a相迭加Fa1FaFa0Fa2e) b相迭加FbFb1Fb2Fb0f) c相迭加Fc1FcFc0Fc2 g) 三相不对称系统FaFbFc注意到对称分量系统的变换矩阵包含复数，这给运算代来不便。但对包含旋转电机的情形，由于矩阵中的，它的对角化变换，仅有这样一种选择。矩阵元素的人为选择可以构造许多对称分量系统，但这不会带来好处，因为只有时，电流和电压才能具有相同的变换，否

11、则将导致繁琐性。正是由于旋转电机的存在，才使得对称分量系统在电力系统中广泛应用。已成为电力系统元件的基本参数被普遍提供。6-4 其它分量系统到目前为止，已发表了大量的分量系统的报道。除对称分量系统外，其它分量系统都是关于也只能关于矩阵中的情形。当旋转电机进行了的假设后，这些分量系统都能应用于电力系统。事实上，前边给出的定理6-2包含了无数多个分量系统，已发表的除对称分量系统外的分量系统都是它的特例。因此没有必要对它们逐一介绍。本节仅给出一例，这就是分量系统，又称克拉克分量系统。读者可以根据定理得到自己定义的分量系统。一、克拉克分量系统（分量系统）在矩阵中，共有9个变量。对于对称矩阵 4个方程。

12、因此，必须人为地选择5个变量，以确定变量的解。令 ， ， ， （6.42）有 ， ， （6.43）即 （6.44）容易验证其非奇异性。取 ，得 ， 将分别记为，有 （6.45）或 （6.46）这时分取式（6.27）的值。6-5 相分量系统（系统）前述分量系统是建立在循环对角矩阵的基础上的，它包含和两种情形。当不满足这两种情况时。也就是不采用循环对称矩阵表达时，定理6-1和定理6-2就不成立。在电力系统中，存在下面情况时，不具循环对称型，前述方法失效：1） 无换位线路布局不完全对称；2） 变压器结构不对称；3） 存在交直流变换器；4） 系统的三相负荷不平衡；上述4种情况实际上都属于三相几何布局不

13、对称。这样的情况一旦存在，就必须采用直接的，非解耦的系统计算方式。系统称为相分量系统。在计算机技术高度发达的今天，直接对系统进行计算不是困难的事情。参考文献1 关根泰次，电力系统暂态解析论，蒋建民等译，机械工业出版社，（1989）2 C.B.罗谢夫，A.B.奇尔宁，电力系统不对称状态下电气量的计算，贺家李译，水利电力出版社。3 T. Hsiao, “Fault analysis by modified 0 components”, Power Apparatus and Systems, no.60, pp.136-145. (1962)4 C. Concordia, “Relations a

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