恒成立能成立问题总结(详细)

1、小结：解题的关键是将看来是解关于x的不等式问题转化为以 m为变量，x为参数恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想 方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解 决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。一、函数法(一)构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数 f(x) kx b(k 0), x m, n有：f (x)0恒成立k 0或k0f(m)0；f(m)0 f(n) 0f(n)Of (x

2、)0恒成立f(m)0f(n)0例1若不等式2x 1 mx2 m对满足2 m2的所有m都成立，求x的范围。解析：将不等式化为：m(x21)(2x 1)0，构造一次型函数：g(m)(x21)m(2x1)原命题等价于对满足2 m 2的m，使g(m) 0恒成立。由函数图象是一条线段，知应g( 2)022(x1)(2x 1)0g(2)02(x2 1)(2x 1)0解得二7 x ，所以x的范围是x (,)。2 2 2 2的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。练习： 若不等式ax 1 0对x 1,2恒成立，求实数a的取值范围。（2）对于0 p4的一切实数，不等式x2 p)X4x p3恒成立

3、，求x取值范围。（答案或-）（二）构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数f （x）ax2 bx c0(a 0)有：(1) f(x)0在xR上恒成立a 0 且0 ；(2) f(x)0在xR上恒成立a 0且0(3 )当 a0时，若f (x)0在,上恒成立bbb2a或2a或2af ()00f( ) 0若 f(x)0在:,上恒成立f( ) 0f( ) 0(4 当 a (0时，若f(x) 0 在,上恒成立f()0f()00在:bbb若 f(x),上恒成立2a或2a或2af( ) 00f ( )0例2若关于x的二次不等式：ax2 (a 1)x a 1 0的解集为R，求a

4、的取值范围解：由题意知，要使原不等式的解集为R，即对一切实数x原不等式都成立。只须(a 1)2 4a(a 1)03a2 2a 101 a的取值范围是3说明：1、本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a0的情况，但对本题讲a时式子不恒成立。2、只有定义在 R上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成 失解。练习：1、 已知函数y . mx 6mx m 8的定义域为 R，求实数 m的取值范围。(答案0 m 1)2、已知函数f(x) x2 2kx 2在(1,)时f(x) k恒成立，求实数k的取值范围。(答案3 k 1)提示：构造一个新函数F(x) f (x) k是解题的关 键，再利用二次函数的图

5、象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。(三)、利用函数的最值-分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意参数的端点值能否取到需检验。类型一 ：“ a f (x) ”型(恒成立)(1) x D, f (x)m恒成立f(X)min m ；(2) x D, f (x)m恒成立f (x) max ；二、(能成立、有解)(1) x D, f (x)m能成立f (x)在D内有解f (x)maxm ；(2) x D, f (x)m能成立f

6、 (x)在D内有解m f ( x) min ；三、(恰成立)(1)不等式f xA在区间D上恰成立不等式f xA的解集为D ;(2)不等式f xB在区间D上恰成立不等式f xB的解集为D.四、(方程有解)方程m f (x)在某个区间上有解，只需求出f (x)在区间上的值域A使m A。例3 :设f (x)lgx _ , x,其中a R，a43如果x (.1)时，f (x)恒有意义，求a的取值范围。解：如果x.1)时,f (x)恒有意义不等式12x a4x 0对x (,1)恒成立1 2x(2 x 22x)，x (.1)恒成立。g(t) (t1g(t)对t (-,234x21g(t)maxg(：)2例

7、4 :若关于x的不等式解：设 f (x) x2 ax1.1)，则 t (,)21)恒成立，又Q g(t)在t ,)上为减函数,2t2)，又 x (ax343的解集不是空集，则实数 a的取值范围。a .则关于x的不等式x2 ax a 3的解集不是空集f(x)3在R上能成立f (x)min 3,即 f ( x) min4a a243，解得 a6或 a 2例5不等式kx2 k 20有解，求k的取值范围。解：不等式kx2k 2 0有解k(x2 1) 2能成立 k 二2 能成立x 1k (*也2，所以k (。例6 (2008年上海)已知函数 f(x) = 2x-若不等式2t f(2t)+m f(t) 0

8、对于t 1, 2恒成立，求实数m的取值范围解：本题可通过变量分离来解决.1 1尹m(2t歹)0当 t 1,2时，2t(22t2t4t2t即 m(21)(21) , v 210,二 m (22t1)2t-1 1,2，二(2 1)17,5故m的取值范围是5,例7 (1990年全国)设f (x)2x 3x(n 1)xn，其中a为实数，n任意给定的自然数，且 n 2,如果f (x)当x (，1时有意义,求a的取值范围.解：本题即为对于x (,1，有 1x2x(n 1)x nxa0恒成立.这里有三种元素交织在一起，12分离出来，得a (丄广(2)xnn1x2x构造函数 g(x)(-)x(2)xn n若考

9、虑到求a的范围，可先将a结构复杂，难以下手，(T(nnn 1 x(),则问题转化为求函数g(x)在n2)，对于x (, 1恒成立.x (, 1上的值域，由于函数u(x)(-)x(k 1, 2, n 1)在nx (, 1上是单调增函数，1则g(x)在(,1上为单调增函数于是有g(x)的最大值为g(1) tn 1),21从而可得a(n 1).2如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题 ，我们可以通过习题的实际，采 取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f (x)的最值.类型二：“ f X g

10、(x) ”型(1)x D, f (x) g(x)恒成立f (x)的图象恒在g(x)的图象的上方f (x) ming(x)max(x D)恒成立 h(x) f (x) g(x) 0 恒成立。例 8 已知 f(x)= lg(x+1) , g(x)=lg(2x+t)，若当 x 0,1时，f(x) 1.类型三：“ f捲g(x2)”型(恒成立和能成立交叉)(1)X1D, X2 E,f (X1)g(x2)成立f ( X1 ) ming(x2)f ( X1 ) ming(x2)f ( X1 )ming (x)min例9已知两个函数f (x)8x216x k,g(x)2x3 5x24x，其中k为实数。(1)

11、对任意x 3,3，都有f(x) g(x)成立，求k的取值范围;(2) 存在x 3,3，使f(x) g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意XX23,3，都有f(xj g(x2)，求k的取值范围。解析：(1 )设 h(x) g(x) f (x) 2x3 3x212x k 问题转化为 x 3,3 时，h(x) 0 恒成立，故 h(x)min 0。令 h(x) 6x2 6x 12 0,得 x 1 或 x 2。由 h( 1) 7 k,h(2)20 k,h( 3) k 45, h(3) k 9，故 h(x)min 45 k由 k 45 0 k 45。(2) 据题意：存在 x 3,3，使 f (x) g

12、(x)成立 h(x) g(x) f (x)0 在x 3,3 有解，故 h(x)max 0，由(1)知 h(x)max k 7，于是得 k 7。(3) 分析：它与(1 )问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别。对任意xX23,3，都有f(X1) g(X2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，xX2的取值在3,3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：f(x)maxg(x)min,X3,3，由 g (x) 6x2 10x 4 0，得 x1 或x3，易得 g(x)min g( 3)21，又 f (x)8( x 1)2 8 k，x 3,3 .故 f (X)maxf (3)120 k

13、，令 120 k 21 k 141。例10： (2010山东)已知函数 f(x) In x ax1 (a R).x1(i )当a 时，讨论f(x)的单调性；2(n)设g(x) x2 2bx 4当a 1时，若对任意 为(0,2)，存在x21,2，使4f(xj g(X2)，求实数b取值范围解析：(i )当a 0时，函数f (x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；1当a 时X2 , h(x) 0恒成立，此时f (x) 0 ,函数f (x)在2(0,)单调递减；11当0 a 时，函数f (x)在(0,1)单调递减，(1-1)单调递增，2a1(1,)单调递减a1(n)当a 时，f (x)在(0,

14、1) 上是减函数，在(1, 2)上是增函数，41 所以对任意 x1 (0,2)，有 f(xj f (1) -_ ,21又已知存在 x21,2，使 f(xj g(X2)，所以一 g(x2) , x?1,2 ,(探)2又 g(x) (x b)24 b2,x 1,2当 b 1 时，g(x)min g(1) 5 2b 0 与(探)矛盾；当 b1,2 时，g(x)min g(1) 4 b2 0也与(探)矛盾；1 17当 b 2时g(x)min g(2)8 4b -,b .2 817综上，实数b的取值范围是乂 ).8，f (玄)=M - K - 3 X + ,図 jQ 例11已知函数5，若对任意 X1,

15、X2-2,2，都有f(x 1) v g(x 2)，求 c 的范围.解 因为对任意的X1, X2 -2,2，都有f(x 1) v g(X2)成立，maxV g(x) mi n./ f (x)=x 2-2x-3，令 f (x) 0 得 x 3 或 xv -1 ； f (x) v 0 得-1 v xv 3. f(x)在-2,-1为增函数，在-1,2为减函数.-f( -1)=3 , f(2)=-6 ,-f(X)ma)=3- cv -24.类型四：“ f(xjf Xf(x2)”型f (x) = 2 sin( + )例12:已知函数.23,若对任意x R,都有f(x i) f(x) wf(x 2)成立，则

16、|x 1-x 2|的最小值为 .解对任意x R,不等式f(x 1) w f(x) w f(x 2)恒成立， f(x 1) , f(x 2)分别是f(x)的最小值和最大值.对于函数y=sinx，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是n,即半个周期.f(z) =2sii0”型例14已知函数f(x)定义域为-1,1, f(1)=1，若m n-1,1 , m+n0时，都有1 - ，若 f(x) G2-2at+1 对所有 x-1,1 , a-1,1恒成立，求实数 t 的取值范围解任取-1WX1V X2 0,又 X1-X 2 0, f(x 1)-f(x2) 0恒成立2令 g(a)=t -2at，只须 g(

17、- 1) 0 且 g(1) 0,解得t w -2或t=0或t 2.评注 形如不等式“ 叫一0”或“ 迥-T V0”恒成立，实际上是函 数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.类型七：“ |f(x 1) V f(x 2)| V t(t为常数)”型1iV t2)都有 |f(x i)-f(x2)| W例15已知函数f(x)=-x 4+2x3,则对任意11, t2 -亍,2(t恒成立，当且仅当ti=, t2=时取等号.解 因为 |f(x 1)-f(x 2)| W|f(X)maHf(X)min| 恒成立,x-,22716玲加 =f (-扣-君1)-f(x2)| W 2.

18、3 )(x 1X2)时总有 |f(X 1)-f(x 2)| V类型八:“ |f(x 1 )-f(x 2)| W |x 1-x 2| ”型 3例 16 已知函数 f(x)=x +ax+b,对于 X1,X2 (0, |x 1-x 2|成立，求实数a的范围.3解 由 f(x)=x +ax+b,得 f (x)=3x 2+a,当 x (0,-1 )时，aV f (x) V 1+a.|f(X 1)-f(X2)| V |X1-X 2| ,I卜:.“电.-1 w aw 0.评注由导数的几何意义知道，函数y=f(x)图像上任意两点 P(xi,yi) , Q(X2,y 2)连线的斜率-(XiX2)的取值范围,就是

19、曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范i)-f(X 2)| w m|xi-x 2| 或 |f(x i )-f(x 2)| m|xi-X2|(m对一些不能把数放在一侧的,可以利用构造对应两个函数的图围，利用这个结论，可以解决形如 |f(x 0)型的不等式恒成立问题.(四)数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合2x i得 2 ix a ，得 x 2 2标系中作出它们的图象，如果两个函数分别在xi和xi处相交，则由i2 iixi xa i得到a分别等于2和0.5，并作出函数y及y()x2解析：由f (x)ax,构造出两个函数并在同一直角坐2 2i 2

20、 叔(i) 2的图象，所以，要想使函数x2ax在区间i,i)中恒成立，只须y 2x在区间x ( i,i)对应的图象在x2丄在区间2i,i)对应图象的上面即可。当a i时,只有a 2才能i时,只有a 丄才可以，所以2思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不 等式有着密切的联系， 象法求解。i ) f(x)g(x)函数f (x)图象恒在函数g(x)图象上方；2) f(x)g(x)函数f (x)图象恒在函数g(x)图象下上方。例i7已知a0,ai, f(x) x2 ax,当x(i,i)时,有f (x)的取值范围。丄恒成立，求实数a221a 切(1,2。24例 18

21、设 f (x) x2 4x , g(x) x3的取值范围分析：在同一直角坐标系中作出如图所示，f (x)的图象是半圆g(x)的图象是平行的直线系 4x要使f(x) g(x)恒成立,则圆心2,0)到直线4x 3y 31 a ,若恒有f (x) g(x)成立,求实数a满足解得a5或a 匚(舍去)练习：若对任意xR,不等式ax恒成立，求实数a的取值范围。练习:(1)求二次函数的解析式。f (x) x2 x1(2)若f (x)2xm在区间1,1上恒成立，求m的取值范围。(,1)(3)若f (x)2xm在区间1,1上恒成立，求m的取值范围。1,5(4)若f (x)2xm在区间1,1上有解，求m的取值范围。(,5)2、已知函数f x2 xa(x 0,xa R)，若 f x在区间2,是增函数,求实数a的取值范围。答案:a162x，请解决下列