常微分方程试题库试卷库

1、常微分方程期终考试试卷（1）填空题（30%1、方程M（x, y）dx N（x,y）dy 0有只含x的积分因子的充要条件是（）。有只含y的积分因子的充要条件是 。2、称为黎卡提方程，它有积分因子 。3、称为伯努禾寸方程，它有积分因子 。4、若Xi（t）, X2（t）,卅，Xn（t）为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是。5、形如的方程称为欧拉方程。I6、若（t）和（t）都是X A（t）x的基解矩阵，则（t）和（t）具有的关系是7、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为 时，零解是稳定的，对应的奇点称为。二、计算题（6 0%）1、ydx (x y3)dy 02、x x sint

2、 cos2tA3、若12并求expAt2 1d 4(t), (0)14试求方程组x Ax的解4、(歆 4xydx 8y2 0dy5、求方程dxx y2经过(0, 0)dx彳dyxy 1,x y6.求 dtdt三、证明题（10 t%)的第三次近似解5的奇点，并判断奇点的类型及稳定性1、n阶齐线性方程一定存在 n个线性无关解。填空题试卷答案(X)(y)2、dydx2P(x)y Q(x)yR(x)3、dydxp(x)y Q(x)ynu(x,y)(n 1) p(x) dx4、WXi(t),X2(t),川,X n(t)5、dn1HIanany6、(t)(t)C7、稳定中心二计算题1、解：,所以此方程不是

3、恰当方程，方程有积分因子(y) edyyIn y2，两边同乘1 dxy2得y3x y2 dyy所以解为-dx y:y3y2$dy y即 2x y(y2c)另外y=0也是解2、线性方程xx 0的特征方程210故特征根xf1(t) sinti是特征单根，原方程有特解x t(Acost Bsint)代入原方程1A=- 2 B=0f2(t)cos2t2i不是特征根，原方程有特解Acos2tABsin2t代入原方程3 B=0所以原方程的解为P(3、解:由公式expAt=exp At e3t(t)4、解：方程可化为(*)两边对y求导:(p3即(* )又由P3c1 cost c2sint1tcost1cos

4、2t解得1,23此时k=1 n1e3t0“A3E)ie3tt(t(2)2)1tiAA0 1 -E)i得t(A 3E)e3te3tdy 3dx x4y史 dx2y(p34y2吒 p)c24y28y2dy 令dxp则有8y24弋 p(8y3P )2pc2即方程的含参数形式的通解为:10得p (4y2)3代入(*)得:p34yp4y(*)cyc22pc2(-)2c 将y代入(卫)2c p为参数3x27 也是方程的解yoyoxxdx0x2yox0(x5、解:yox(x6、解：由因为定焦点。=1+122x ., )dx44xx2x5210x400207x )dx20x2解得奇点（3,0故有唯一零解（0,

5、x520-2 )令 X=x-3,Y=y+20)2 2 1 1 2 2x11x84400160dxdtdydt(3,-2）为稳n 解:证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的考虑从而WX1(t0),X2(t0),|,Xn(t0)x （t）（i1,2|n）是线性无关的。常微分方程期终试卷（2）、填空题30%1、 形如的方程，称为变量分离方程，这里.f（x）.（y）分别为的连续函数。2、形如的方程，称为伯努利方程，这里P（x）.Q（x）为X的连续函数.n 0.1是常数。弓I入变量变换，可化为线性方程。3、 如果存在常数 L 0,使得不等式 对于所有（x, yj （x,y2）

6、 R都成立，L称为利普希兹常数。函数f（x,y）称为在R上关于y满足利普希兹条件。4、 形如-的方程，称为欧拉方程，这里ai，a2,是常数。5、 设（t）是xAx的基解矩阵，（t）是x A（t）x f（t）的某一解，则它的任一解可表为-。计算题40%dy 6 xy2的通解。1、求方程dxxdy y xy e2、求方程dx x的通解。2t3、求方程x 6x 5x e的隐式解。dy x y2通过点（0、0）的第三次近似解。4、求方程dx三、证明题30%t21.试验证 t = 2t是方程组 x12t x,x= x2 ，在任何不包含原点的区间Xib上的基解矩阵。2.设t为方程x =Ax（A为n n常数

7、矩阵）的标准基解矩阵（即（0） =E），证明：1(t 0)=(t- t0）其中t 0为某一值.常微分方程期终试卷答卷、填空题(每空 5 分)3、22不是特征根，所以方程有形如 x(t)Ae2t2、解:好 f(x)f(x,yj4、dx5、(t)(y) 2f (x, y2)a1x(t)二、计算题(每题dy、dxLyiP(x)y Q(x)yny2z=n 1 dn1yn 1dx(t)10 分)1、这是n=2时的伯努利不等式,代入原方程得到带回原来的变量此外方程还有解dydxexyxydzdxy,得到y=0.xexyan 1X 字dxany 0dz1z=y ,算得dxx，这是线性方程,x62 dydx求

8、得它的通解为c6z= xy = x62x8或者yc，这就是原方程的解。xdy xdy dxy dxy 評(xexy ydx xy -xe dxy)dx xexydx积分:xdxxy故通解为:2xye c 0解：齐线性方程x 6x 5x 0的特征方程为1 1,25，故通解为x(t)cie5tqe把x（t）代回原方程4Ae2t 12Ae2t 5Ae2te2t于是原方程通解为x(t)tcec2e4、解 0（x）5t1211 2te21i(x)2（X）3(x)三、证明题（每题xx0xx0xx015 分)20 (x)dx21 (x)dx22 (x)dx1、证明：令t的第一列为1 (t)=是一个解。同样如

9、果以 2（t）表示这样2（t）也是一个解。因此2、证明：（1） t(t- t（2）由于而当t= t 0时,理，得t 12x22x2t22t5x205x208x16011x44002t,这时1 (t)=t第二列，我们有t是解矩阵。又因为 det0）是基解矩阵。t为方程x=Ax的解矩阵，所以 t(t 0)(t 0)=i(t)故 i(t)2(t)=-t1(t1(t )=E,(t- t 0)=( 0)(t- t 0)常微分方程期终试卷（3）.解下列方程（10%*8=80%）1. 1.2xyl ny dx+2 2x2 + y2ydy=0史y 22. dx =6 x -x y01_22t2t2(t)是基解

10、矩阵。0）也是x =Ax的解矩阵,=E.故由解的存在唯一性定24. x y= x5.5.tgydx-ctydy=06. 6.2 2y-x( x + y )dx-xdy=0+y7质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比(比例系数为ki) 的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比(比例系数为k2 )。试求此质点的速度与时间的关系。x8. 已知f(x) 0 f (t)dt =1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。二. 证明题(10%*2=20%)19. 试证：在微分方程 Mdx+Ndy=0中，如果M N试同齐次函数，且xM+yN 0,则(xM yN )是

11、该方程的一个积分因子。10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。试题答案：MNMNyx 2xln y11. 解：y=2xIny+2x ,y=2x,则M = 2xy ln y =y,故方111dy程有积分因子y=e y =:y ,原方程两边同乘以y得2 2 -22xy ln yx y1 yydx+ydy=0是恰当方程.d( x lny)+y J1 y dy=0,两边积分得方1 32 2程的解为23 1x lny+ 3y=C12. 解：1) y=0是方程的特解。2)当y 0时，令z= y 得dz 6dx= xz+x.这是线性方程，解得它的通解为c6 z= x代回原来的

12、变量3.解：令y得方程解为y = xx=u+3,y=vdz 2 u 再令z= u，得到z+ u =y=0.dv2,可将原方程变为du =，即dzu -u2z1 z21 zdzduu +l nC分离变量并两端积分得即In+2arctgz= ln+l nC,Inzu2arctgz+l nC代回原变量得v=Ce2arctg-uy 22arctgx 3所以，原方程的解为 y+2=Ce4.解：将方程改写为 y =21 y_yx 一+ X ( *)令u= x ,得到x y =xu + u,则(*)变为xdu .dx = 1 u ,变量分离并两边积分得arcs inu=ln+InC,故方程的解为yarcs

13、in x =l nCx。5.解：变量分离 ctgxdy=tgydx,两边积分得 ln(siny)=In cosx +C或 sinycosx=C (*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k (k=0、1),x=t + 2 (t=0、1)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C 。2 2 2 26. 解：ydx-xdy-x( X + y )dx=O,两边同除以 X + y 得ydx xdyxdx=0,即 d(arctg y )1 22 d x =0,故原方程的解为xarctg y丄22 x =Codv7. 解：因为 F=ma=m

14、dt，又 F=F 1 F 2=klt k?V ,dvdv 即 mdt=k* k2V (v(0)=0)，即 dt =kit k2V(v(0)=0),k2t kijm解得 v= k2 em + k2(tk2).解:1令 f(x)=y ， f (x)=，两边求导得=y，从而17ydyy=y，即=dx，两边求积得12y =2x+C，1、2x C，故 f(x)=1一 2x_C9. 证明：如M N都是n次齐次函数，则因为x M x +y M y =nM x N x +y N y=nN,故有MNy xM yN x xM yN =M y(xM yN) M(xMy N y” y) N yN) N(xM x M

15、yNx)(xM yN)2(xM yN)2m(xNx yN) n(xm x yNy)(xM yN)2M(nN) N( nM)(xM yN )2故命题成立。10. 解：1）先找到一个特解 y= y 。2）令y= y +z,化为n=2的伯努利方程。证明：因为y= y为方程的解,di 所以 dx =p（x）y +R(x)令y= y +z，则有d y dz dx +dx = p(x)2z)+Q(x)(y z)+R(x)dz(1)得 dx = P(x)(2yzz2)+Q(x)zz2dz即 dx =2P(x) y +Q(x)z+P(x)此为n=2的伯努利方程。常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、 （）称为

16、变量分离方程，它有积分因子（）。2、当（）时，方程M（x,y）dx N（x, y）dy 称为恰当方程，或称全微分方程。3、函数f（X，y）称为在矩形域R上关于 y满足利普希兹条件，如果（）。4、对毕卡逼近序列，k（X） k 1 （x）（）。5、解线性方程的常用方法有（）。6、若 Xi(t)(i1,2， ，n）为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。7、方程组xA(t)x(）。8、若（t）和（t）都是x A（t）x的基解矩阵，贝y （t）和（t）具有关系：（）9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。）时，零解是渐近10、

17、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的1奇点称为（1 1、若（t）是 xA（t）x的基解矩阵，则xA(t)x f(t)满足 x(to)的解二、计算题求下列方程的通解。dy1、 dx4e y sin x2、()2dx3、求方程矽xdx2y通过（,）的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。4、 x x x 0。5、试求下列线性方程组的奇点,并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型及稳定性:dx6、dtdydt三、证明题。1、1、设（t）为方程Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即(0) E)1证明(t) (to)（t

18、t。）其中to为某一值。答案:、填空题业1、形如dxf(x)g(x)的方程ug(y)2、3、存在常数L 0 ,对于所有(Xi,yJ,(x2,y2)R都有使得不等式f(xi,yj f(X2,y2)L yi %成立4、k!5、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法6、nx(t) CiXi(t)i 1，其中5,6,cn是任意常数7、n个线性无关的解x1(t)，x2(t),Xn(t)称之为xA(t)x的一个基本解组8、(t) = (t)c (at b) c为非奇异常数矩阵9、等于零稳定中心10、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数不稳定鞍点或不稳定结点1 1、(t)

19、1(t0)t(t)tL0(s)f (s)ds二、计算题1、解：方程可化为deyey 4sin x 1dx4 sin x令z ey，得dxdz由一阶线性方程的求解公式，得(1)dxz e ( 4sin xe(1)dx)dx ce x 2(sin xcosx)ex c2(sin xcosx) ce x所以原方程为:ey = 2(sin x cosx)xce2、解dydxsin ty sect1肩tgtsectdtsec2tdtt tgt程的解为(xc)2 12y，另外y1也是方程的解3、解：o（X）0X1 21(x)xdxX02X14、.1 2152（X）0(Xx )dxXX04220X1 215

20、2X1 41 103（X）X(XX )dxXXX0220044001 21 51111 8XXXX220440016013.2小12Z i ,2解：对应的特征方程为：1 0，解得217一 X20dx5、6、i才/13- U3x e 2 (c1 cost c2sint)所以方程的通解为：22解：齐线性方程x x0的特征方程为故齐线性方程的基本解组为:1et,e 2所以原方程有形如x（t） tAet1A3，所以原方程的通解为x y !解: x y 5解得0,解得11,2,3、3i21)2 1焦占八 、八、：V 3 .cos i, e2Zi2因为1是特征根，代入原方程得,3AetAteAte，所以t

21、c1e1c2e 2V 3 . cos i21C3e 2sin 三 I1tet3dxdtdydt所对应的零解为渐近稳定的。所以奇点为（3,2）经变换,0,所以i, 21 i，故奇点为稳定1、证明：（t）为方程x Ax的基解矩阵（to）为一非奇异常数矩阵，所以三、证明题(t)1(to)也是方程x Ax的基解矩阵，且(t to)也是方程x Ax的基解矩阵,1且都满足初始条件(t) (to) E , (toto)(0) E1所以(t)(to)(tto)常微分方程期终考试试卷(5)填空题 (3O分)dy1 . dxP(x)y Q(x)称为一阶线性方程，它有积分因子P(x)dxe,其通解为2 函数f(x,

22、y)称为在矩形域 R上关于y满足利普希兹条件，如果 。3.若(X)为毕卡逼近序列n(x)的极限，则有(X) n(X) 。dy 224. 方程dx定义在矩形域R: 2 x 2, 2 y 2上，则经过点(o, O)的解的存在区间是 。t t 2t5. 函数组e，e ，e的伏朗斯基行列式为 。6. 若Xj (t)(i1,2，, n)为齐线性方程的一个基本解组，X(t)为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 。7.若(t)是x A(t)x的基解矩阵，则向量函数(t) =是 x A(t)x f(t)的满足初始条件(to) 0的解；向量函数(t) =1是x A(t)xf(t)的满足初始条件

23、(to)的解。8 .若矩阵 A具有n个线性无关的特征向量WM,Vn它们对应的特征值分别为1，2， n，那么矩阵(t)= 是常系数线性方程组 xAx的一个基解矩阵。* *9.满足 的点(x ,y )，称为驻定方程组。计算题 (60 分)110求方程 4x2y2dx 2(x3y pdy 0的通解。11.求方程dx的通解。dy2 2x ydx12.求初值问题y(1) 0R:x 1.dydy edx x 0给出在解的存在区间的误差估计。1, y 1的解的存在区间，并求第二次近似解,13.求方程x 9x tsin 3t的通解。I14试求方程组x Ax f(t)的解(t).112t e(0)AC ,f(t

24、)1431dxdy2x7y 19,15试求线性方程组 dtdt性。三证明题(10分)16 如果(t)是xAx满足初始条件x 2y 5的奇点，并判断奇点的类型及稳定馆)的解，那么(t)e)PA(tto)常微分方程期终考试试卷答案一填空题(30 分)P(x)dxP(x)dxy e ( Q(x)e dx c)2 . f(x, y)在R上连续，存在L 0，使f(x，yJ f(x, y2)L y1 y2，对于任意(x, yj(x,y2) RMLn un 1 h3 . (n 1)!1 1x 4 .44t et et ex(t)t0tetete(t)1tV1,eX(x,y)2tec 2t2e.2t4eCiX

25、i(t)x(t)1 (s) f (s)ds2tntV2,e Vn0,Y(x, y) 0二.计算题 (60 分)8x210.解： yy,N 6x2yx(t)1(t0)(t)t01 (s)f (s)ds丄2y 积分因子(y) e两边同乘以(y)后方程变为恰当方程:4x2y 3dx2y1(x3y 1)dy 04x22y3两边积分得:(y)2x3y(y)N 2x31y2得:(y)14y2因此方程的通解为:1y2(x3y3)dy11 .解：令dxepx得:P ep那么y pdx p(1 eP)dp12pePep因此方程的通解为:2y 与(P 1)ep解：M myaxJE)X X01 a, yyomin(

26、a卫M解的存在区间为o(X)yoXo1(x)XdxX32（X）1)2dx112y6318422(X)(X)MLn(n 1)!hn242解：9013i, 23i3i是方程的特征值，设 x（t）t(At B)e3it得:IIX(2A 9Bt 12Ait 6Bi9At2)e3it则2A12 Ait6Bi t11Ai,B得:1236x(t)c1 cos3t1 2 1C2 sin3tt cos3ttsin3t因此方程的通解为：123613误差估计为:14det(解：E A)1,151E2EA)V1A)V2则基解矩阵1(t)(0)t(t)tt0因此方程的通解为:2x 7y解：x 2y(1,3)(t)V15

27、te2e5t(s) f (s)ds(t)(t)1)(5)19是奇点dXdtV1取5te2e5t23 5te203 5te103e203 5te105tdY2X 7732可得:3i,1(0)1e41 te22Y0，那么由2 3i因此（1, 3）是稳定中心V2取21e41 t e2(t)t0tete1(s) f (s)ds02三证明题(10分)16 证明：由定理8可知(t)1(to)t(t)tLo1(s) f (s)ds又因为(t)珂At,1(to)(exp At。)exp( Ato)所以又因为矩阵所以f (s)(t)ep Atexp( Ato)(At) ( Ato) ( Ato) (At)(t)

28、ep A(t to)常微分方程期终考试试卷(6)三.填空题 (共3o分，9小题，1o个空格，每格3分)。1、当时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=o称为恰当方程，或称全微分方程。2、 称为齐次方程。dydx3、 求 =f(x,y)满足(X。)yo的解等价于求积分方程的连续解。鱼 f (x, y)4、 若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，贝U方程dx的解y= (x，xo，yo)作为x，Xo, yo的函数在它的存在范围内是 。5、 若x1(t)，x2(t)，.x3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是dy x y 121、求解方程：dx = x

29、 y 32、2、解方程:(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0dy3、讨论方程dx313在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点(0,0)的一切解4、求解常系数线性方程:/cx 2x 3x ecost5、试求方程组xAx的一个基解矩阵，并计算1 2eAt,其中A为4 3dx ax6、试讨论方程组dtby,鱼cydt(1)的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac 0。三、证明题(共一题，满分10 分)。试证：如果Ax满足初始条件(t。)的解，那么(t)eA(t to)常微分方程期末考试答案卷一、一、 填空题。(30分)M (x, y) N(x,y)1、yx警 f(y)2、

30、dxxxvf (x, y)dx3、y= y0+ 冷4、连续的5、 wX1(t),X2(t,),.,Xn(t)06、n个线性无关解7、(t)1 (0)8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、 为零稳定中心二、计算题。（60分）1 解：(x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0即2dxdy33-3dy=012-d(xy)+dx-所以13xy x y33y C2、解:dydx2(x y) 1(xy) 2,令 z=x+ydydxdz则dx3、解:dzdx所以即(x设 f(x,y)=故在y2z 1z 2z 12C1-z+3ln|z+1|=x+

31、3y 1)Ce2xz 2 . dz dxz 1In 1 z 1 1 =x+z+ C112y2勺(y 0)0的任何区域上 y存在且连续,因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,显然，y 0是通过点（0，0）的一个解;dy313又由dx2y 解得,|y|= (x C)2所以,通过点(0，0）的一切解为y0及30(x C)|y|=(xc)2(x c), c0是常数4、解:(1)2230,1,212i齐次方程的通解为x=e (Cleos、. 2t CzSin 2t)1 i不是特征根，故取x (Acost Bsint)e 代入方程比较系数得 A=41 ,B=- 4154( cost sin4

32、141t)通解为x= et (c1 cos . 2tc2 sin、一 2t) +41(5cost4sint)e t5、解:det(E A)=所以,1 1,V1取所以,(t) =te v15te v25te2e5teAt(t)1(0)tete5te2e5t1对应的特征向量为 v2 V10可得V1同理取V25tec 5t2e6、解:5tec 5t2e13因为方程组5tec 5t2e2e t2e t(1)是二阶线性驻定方程组，且满足条件ac 0，故奇点为原点(0, 0)又由 det(A- E)=2 (a c)ac 0得i a 2 c所以，方程组的奇点（0, 0）可分为以下类型:c ac0奇点为结点a

33、 0, c 0,稳定结点a 0,c 0,不稳定结点ac 0奇点为鞍点（不稳定）aa, c为实数b 0,奇点为退化结点b 0,奇点为奇结点a 0,c 0,稳定结点a 0, c 0,不稳定结点三、证明题。 （10分）证明：设（t）的形式为（t） = eAtc(1)（C为待定的常向量）则由初始条件得（t0）=eAt0C又（eAt0） 1=e At0所以，c=（eAt0） 1=e At0At At。A（t t。）代入（1）得（t） = e ee即命题得证。常微分方程期终试卷（7）一、选择题(B) n-11. n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个.（A） n（C） n+1（ D） n+22

34、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件.（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分dy.1y2(t,1)3.方程dx过点2共有（）个解.(A) 一（B）无数(C)两(D)三dyyx x4.方程dx(）奇解.（A）有一个（B）有两个(C)无（D）有无数个5.方程dx 的奇解是（).(A) y x ( B) y(C) y i(D) y 0二、计算题 2y= x2y+y=03.（X2y)dx xdy 04.dydx5.Ydxx3(y3 In x)dy 0三、求下列方程的通解或通积分1.x(i y2)2.dydx3.dydx3y2xe四.证明i.设 yi（x）,y2（x）是方程

35、的解，且满足yi(xo) =y2(xo)=o.P(x)y q(x)yyi(x)0，这里P(x), q(x)在(）上连续,X。）.试证明：存在常数c使得 y2（x）=cyi（x）.2 在方程yp(x)y q(x)y 0 中，已知 p(x) , q(x)在(）上连续求证：该方程的任一非零解在 xoy平面上不能与x轴相切.试卷答案、选择题、计算题_y+ x ( *)令u= x ,得到 y =X u +u,则(*)变为 2-解：将方程改写为y = x5.解因为 yx x，所以原方程是全微分方程du xdx= 1u ,变量分离并两边积分得arcs inu=ln+lnC,故方程的解为_yarcs in x

36、 =l nCx 。cosx +C 或解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边 积分得 ln(siny)=-lnsinycosx=C(*)另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k (k=0、1 ),x=t + 2 (t=0、1)也是方程的解。tgy=0 或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3.方程化为dy dx dy令y xu，则dx2上xdux -dx，代入上式，得dux dx 分量变量，积分，通解为u Cx原方程通解为y Cx24.解 齐次方程的通解为y Cx令非齐次方程的特解为y C(x)x代入原方程，确定出C(x)In x

37、C原方程的通解为Cx + xl nx取(X。, y。)(1, 0)，原方程的通积分为x yydx1 x0y3dyC yin x即r4 C三、求下列方程的通解或通积分1解当y1时，分离变量得I等式两端积分得xdx宀dy1 y1 -l n121 y2方程的通积分为Cexdx1 2x22CiC12C, ey2 1Cex22.解令y xu，则dux -dx ,代入原方程,dux -dxdu 2xudx当u 0时,分离变量，再积分，即通积分为:dudx2uxln x Cln x C3.解 齐次方程的通解为3xy Ce令非齐次方程的特解为y c(x)e3x代入原方程，确定出原方程的通解为C(x)ln x

38、C1 2xCe3x+5e四证明1. 证明 设yi(x), y2(x)是方程的两个解，则它们在(，)上有定义，其朗斯基行列式为W(x)由已知条件，得yi (x)y2(x)yi (x)y2(x)W(x。)yi (x。)y2(X0)000yi (x。)y2(X0)yg2(X0)故这两个解是线性相关的.由线性相关定义，存在不全为零的常数i?函数f(x，y)称为在矩形域r上关于y满足利普希兹条件，如果 ，使得iyi(x)2y2(x)0X (,)由于yi(x)0，可知20 .否则，若20，则有iyi(x)0，而yi(x)0，则10，这与yi(X), y2(x)线性相关矛盾.故1y2(x) 一yi(x) C

39、yi(x)22. 证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存 在区间都是(,).显然，该方程有零解y(x) 0.假设该方程的任一非零解yi(x)在x轴上某点X。处与x轴相切，即有yi(x0)yi(Xo)= o ,那么由解的惟一性及该方程有零解y(x) 0可知yi(x) 0, X (,)，这是因为零解也满足初值条件yi(X0) yi(X0) = o ,于是由解的惟一性，有yi(x)y(x) ，x (,).这与yi(x)是非零解矛盾.常微分方程期终试卷(8)一、 填空(每空3分)1、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ,其通解为。3、 若Xl （t），X2 （t）, Xn （t）为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是。4、 形如 的方程称为欧拉方程。5、 若（t）和（t）都是x A（t）x的基解矩阵，则 和（t）具有的关系：则方程组6、若向量函数g（t;y）在域r上dy不 g(t;y)，(to；to，yo)y0的解存在且惟7、当方程组的