复变函数积分方法总结

1、精品文档你我共享复变函数积分方法总结键入文档副标题acer选取日期复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新 形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型， 也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z) 。 arg z = 0? B?称为主值 -nV 0?n ,Arg=argz+2k n。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcos 0 , y=rsin 0故 z= rcos 0+i rsin 0;利用欧拉公式 ei 0=cos 0+isin 0z=re

2、 i 0 1定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终 点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线 C任意分成n个弧段，设分 点为 A=Zo , Z1, ，zk-1 , zk,，zn = B,在每个弧段 zk-1 Zk(k=1,2 n)上任取一点k并作和式Sn=(Zk-Zk-1)=? zk记?zk= Zk- Zk-1，弧段 Zk-1 Zk 的长度 =?Sk(k=1,2 ,n),当0时，不论对c的分发即k的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极 限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：= f? Zk设C负方向(即B到A的积分记作)当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方

3、向为逆时针方向)例题：计算积分，其中C表示a到b的任一曲线。=0.(1)解：当C为闭合曲线时，T f(Z)=1 Sn =(z k-z k-i )=b-a=b-a,即=b-a.当C为闭曲线时,=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分在，设k=Zk-i,则)(z k-z k-1)有可设k=zk，则()(Zk-Zk-1)因为Sn的极限存在，且应与刀i及刀2极限相等。所以Sn=(刀 l+刀 2)=b2-a2=b2-a21.2定义衍生1:参数法:f(z)=u(x,y)+iv(x,y).z=x+iy带入得:-vdy + i+ udy再设 z(t)=x(t)+iy(t)参数方程书写：z二z+(z1-zo)t

4、 (0t 1);i gz=zo+re (0n例题1:积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z= (3+i) t=(3+i)3=6+i例题2 : 沿曲线y=x2计算解： 参数方程或z=t+it (OW wi)=( )=(1+i)+ 2i 二i1.3定义衍生2重要积分结果：z=z 0+ rei 0 ，(0 w 02 兀)由参数法可得：d 0二d 0例题1：例题2 :解：=0解=2 n2.柯西积分定理法：2.1柯西-古萨特定理:若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有:=02.2定理2 :当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关， 仅 由积分路线的起点z0与终点z1来确

5、定。2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与 Ci是d内两条正向简单闭曲线，Ci在C的内部，且以复合闭路r二c+c精品文档你我共享=0所围成的多连通区域G全含于D则有:r=+即=推论：=例题：c为包含o和1的正向简单曲线。解：被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲 线c1和c2。= + 一 + + 一=0+2 n+2 n+o=4 n2.4原函数法（牛顿-莱布尼茨公式）：定理2.2可知，解析函数在单连通域 B内沿简单曲线C的积分只与起点Zo与终点Zi有关，即-=-这里的z1和z0积分的上下限。当下限zo固定，让上限zi在B内变动，则积分在B内确定精品文档

6、你我共享了一个单值函数F(z),即F(z)=所以有若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且二f(z).根据定理 2.2 和 2.4 可得二 F(z 1) - F(z 0).例题：求解： 函数zcosz在全平面内解析III=zs inz -=isin i+cosz =isin i+cos i-1=i+-仁 e-1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注 意复变适合此方法的条件。2.5柯西积分公式法：设B为以单连通区域，Zo位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数 在zo不解析，所以在B内沿围绕zo的闭曲线C的积分 一一般 不为零。取zo位中心，

7、以0为半径的正向圆周二位积分曲线，由于f(z)的连续性，所以=2 f o)2.5.1定理：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单 闭曲线，它的内部完全含于 D, Zo为C内的任一点，有：例题：1)f(z 0)=2)解：=2 nisin z|z=o=o 解:=2 ni |z=-i =2.6解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数，它的 n阶导数为f(n)(zo)= dz(n=1,2 )其中C为f(z)的解析区域D内围绕zo的任一条正向简单闭曲线，而 它的内部全含于D.例题：一 C: =1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2 n -(ez) |z=-=-3.解析函数与调和函数：

8、定义：(1)调和函数：如果二元实函数(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：+ 0，则称(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u+iv为解析 函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确(2)共轭调和函数:u(x , y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函 数。若v是u的共轭调和函数，则-u是v的共轭调和函数 关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是 D内的调 和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。3.1求解方法：(1)偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数,

9、两边对y积分得v=再由从而v=dx + Cdx + C 同理可由 v(x,y)求 u(x,y).3.2不定积分法：因为二Ux+i Vx= Ux-iU y= Vy+iVx所以 f(z)=+c f(z)=+c3.3线积分法：若已知实部 u=u(x,y),利用 C-R 方程可得的dv二一dx+dy=-dx+ 故虚部为(，)v=() +C该积分与路径无关，可自选路径，同理已知 v(x,y)也可求u(x,y).例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解：利用C-R条件2x+y -2y+x=2=-2所以满足拉普拉斯方程，有=2y-

10、x=2x+y所以v=2x+=2x+y=2xy-+=y二+cv(x,y)=2xy-+cf(z)=u(x,y)+iv(x,y)二(2-i) +iC4.留数求积分：留数定义：设z0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、0，我们把f(z)在Zo处的洛朗展开式中负一次幕项系数C-1称为 f(z)在 Zo处的留数，记为 Resf(z),z o即 Resf(z),z o=c-i或者 Resf(z),z o=C 为 04.1留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点Z1Z2Zn,=2 ni其中Zk表示函数的孤立奇点4.2孤立奇点：定义：如果函数在Zo不解析，但在Zo某个去心邻域0内解析，

11、则称Zo为 的孤立奇点。例如、 都是以z=0为孤立奇点函数( 以z=-1、z=2为孤立奇点 在孤立奇点z=zo的去心邻域内，函数可展开为洛朗级数= ( )洛朗级数中负幕项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z) 在Zo处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点 Zo的类型： 4.2.1可去奇点：若函数f(z)在孤立奇点zo的去心邻域内的洛朗 展开式中不含负幕项，即对一切n0有Cn=o，则称Z0是f(z)的可去奇点因为没有负幂项，即c-n=0,(n=1,2.)故 C-1=0。遇到函数f(z)的奇点类型是可去奇点，一般对函数求积分一般为零=2 ni=0。判断可去奇点方法：函数 在某个去心邻

12、域0内解析，则zo是 的可去奇点的充要条件是存在极限()二Co，其中Co是一复常数；在的假设下，Z。是f(z)可去奇点的充要条件是： 存在r ，使得f(z)在0 r内有界422极点：若函数f(z)在孤立奇点zo的去心邻域内洛朗级数展 开式中只有有限个负幕项，即有正整数m,c-m 0，而当*-m时c-n=o 则称Zo是f(z)的m级极点。其洛朗展开式是 ：f(z)= + +() ()n+mn+Co+Ci(z-z o) + +Co(z-z o) + 这里C-m o,于是在 o 有f(z)=+( ) ( ),、n+m,、n“*+co+ci(z-z o) + +Co(z-z o) +=一个在o 解析，

13、同时，则Zo是f(z)的m级极点。判断定理：(1) f(z)在Zo的去心邻域o解析，Zo是f(z)的m级极点的充要条件是可以表示成*的形式。(2) zo是f(z)的m级极 点的充要条件是=.4.2.3本性奇点：若函数f(z)在孤立奇点zo的去心邻域内洛朗级 数展开式中只有无限个负幕项，则称Zo是f(z)的本性奇点判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极4.3函数在极点的留数：准则一：若Zo为一级极点，则Resf(z),z o=准则二：做Zo为m级极点，则Resf(z),z o= (z-z o)mf(z)准则三：设f(z)=,P(z)以及Q都在zo解析，如果P(Zo) o，Q

14、(z o)，则zo是f(z)的一级极点，而且：Resf(z),z o=4.4无穷远处的留数：定义：扩充z平面上设z=为f(z)上的孤立奇点，即f(z)在R +内 解析，C为圆环绕原点z=o的任一条正向简单闭曲线，则积分值称为f(z)在z=处的留数，记作Resf(z),=一如果f(z),在R +内的洛朗展开式为f(z),=则有 Resf(z), =-c -i4.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远处在内)设为zi, z2，zn, 则f(z)在各奇点的留数总和为零，即+Resf(z), =o；4.4.2 Resf(z), =-Resf( ),o例题：求下列Resf(z),

15、的值(1) f(z)二 (2)f(z)二 解：(1)在扩充复平面上有奇点：1,，而1为f(z)的一级极点且 Resf(z),1= heResf(z),-1=-v Resf(z), + Resf(z),1 + Resf(z),-1=0得 Resf(z),=- Resf(z),1+ Resf(z),-1=()=-sh1(2) 由公式 Resf(z), =-Resf( -)一 ,0，而一f(-)二以z=0为可去奇点，所以Resf(z), = -Resf( -) -,0=04.5用留数定理计算积分：4.5.1形如d的定积分计算；其中为cos与的有理函数。故解这类题是就会联想到复变函数与三角变换的相关知识-欧拉公式，令 z= ,dz=izd =i d d =sin=()= cos贝 Sd =其中f(z)=- 然后又留数定理求的积分值为2 n其中zk (k=1,2，n)为f(z)在单位圆周内的所有孤立奇点。4.5.2形如的积分计算。其中R(x)为x的有理函数，且分母的次数至少比分子的高二次，R(x)在实轴上无孤立奇点。则=2 nR(z),z k,z k为上半平面的所有奇点4.5.3形如平面的所有奇点=2 n , 其中k为上半5.总结：以上只是粗略的列举了计算复变积分的方法，还有许多 细节性的问题没有列举。复变积分的