高等数学同济大学第六版下册(完整版)详细课件

1、 设设),( 000 yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某 一一正正数数，与与点点),( 000 yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP 的的全全体体，称称为为点点 0 P的的 邻邻域域，记记为为),( 0 PU， （1）邻域）邻域 0 P ),( 0 PU | 0 PPP .)()(| ),( 2 0 2 0 yyxxyx 一、多元函数的概念 （2）区域）区域 . )( 的的内内点点为为则则称称 ，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点 是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设 EP EPUP PE .EE 的的内内点点属属于于

2、E P .为为开开集集则则称称 的的点点都都是是内内点点，如如果果点点集集 E E 41),( 22 1 yxyxE例如，例如， 即为开集即为开集 的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于 ，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于 的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点 EPE EPE EP E P 的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为 EE 是连通的是连通的开集开集 ，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于 连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线 内内是开集如果对于是开集如

3、果对于设设 D D DD 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域 .41| ),( 22 yxyx例如，例如，x y o 开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域. .41| ),( 22 yxyx例如，例如， x y o 0| ),( yxyx 有界闭区域；有界闭区域； 无界开区域无界开区域 x y o 例如，例如，则则称称为为无无界界点点集集 为为有有界界点点集集，否否成成立立，则则称称对对一一切切 即即 ，不不超超过过间间的的距距离离与与某某一一定定点点 ，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集 EEP KAP KAPAEP KE

4、41| ),( 22 yxyx （3）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的 一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限 多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点. 内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点； 10| ),( 22 yxyx 例例 (0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E 10| ),( 22 yxyx例如例如, (0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合

5、 1| ),( 22 yxyx例如例如, 边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合 （4）n维空间维空间 设设n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称n元数组元数组 ),( 21n xxx的全体为的全体为n维空间，而每个维空间，而每个n元数元数 组组),( 21n xxx称为称为n维空间中的一个点，数维空间中的一个点，数 i x称为该点的第称为该点的第i个坐标个坐标. n维空间的记号为维空间的记号为; n R n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 ),( 21n xxxP),( 21n yyyQ .)()()(| 22 22 2 11nn xyxyx

6、yPQ n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 n RPPPPPU ,|),( 00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离空间两点间的距离 3, 2, 1 n 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义 邻域：邻域： 设两点为设两点为 设设D是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点 DyxP ),(，变量，变量z按照一定的法则总有确定的按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称值和它对应，则称z是变量是变量yx,的二元函数，记为的二元函数，记为 ),(yxfz （或记为（或记为)(

7、Pfz ）. . （5）二元函数的定义）二元函数的定义 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、 因因变变量量等等概概念念. 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 例例1 1 求求 的定义域的定义域 2 22 )3arcsin( ),( yx yx yxf 解解 0 13 2 22 yx yx 2 22 42 yx yx 所求定义域为所求定义域为 ., 42| ),( 222 yxyxyxD （6） 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定

8、定义义域域为为D，对对于于任任意意 取取定定的的DyxP ),(，对对应应的的函函数数值值为为 ),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐 标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM， 当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一一个个空空间间点点集集 ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称 为为二二元元函函数数的的图图形形. （如下页图）（如下页图） 二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面. x y z o xyzsin 例如例如, 图形如右图图形如右图. 2222 azyx 例如例如, 左图球

9、面左图球面. .),( 222 ayxyxD 222 yxaz . 222 yxaz 单值分支单值分支: 定 义定 义 1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为 ),(, 000 yxPD是其聚点，如果对于任意给定的是其聚点，如果对于任意给定的 正数正数 ，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 2 0 2 00 )()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切 点，都有点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函数为函数 ),(yxfz 当当 0 xx ， 0 yy 时的极限，时的极限， 记为记为 Ayxf yy

10、 xx ),(lim 0 0 （或（或 )0(),( Ayxf 这里这里| 0 PP ）. 二、多元函数的极限 说明：说明： （1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的； 0 PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim 0 0 yxf yy xx （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似 例例2 2 求证求证 证证 0 1 sin)(lim 22 22 0 0 yx yx y x 0 1 sin)( 22 22 yx yx 22 22 1 sin yx yx 22 yx , 0 , 当当 时，时， 22 )

11、0()0(0yx 0 1 sin)( 22 22 yx yx原结论成立原结论成立 例例3 3 求极限求极限 . )sin( lim 22 2 0 0 yx yx y x 解解 22 2 0 0 )sin( lim yx yx y x , )sin( lim 22 2 2 2 0 0 yx yx yx yx y x 其中其中 yx yx y x 2 2 0 0 )sin( lim u u u sin lim 0 , 1 22 2 yx yx x 2 1 , 0 0 x . 0 )sin( lim 22 2 0 0 yx yx y x yxu 2 例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证 26 3

12、 0 0 lim yx yx y x 取取, 3 kxy 26 3 0 0 lim yx yx y x 626 33 0 3 lim xkx kxx kxy x , 1 2 k k 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 故极限不存在故极限不存在 不存在不存在.观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 播放播放 （1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),( 000 yxP，若若 极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在； （2） 找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim 0 0 yxf y

13、y xx 存存在在， 但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点 ),( 000 yxP处处极极限限不不存存在在 确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法： 定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集 0 , PD是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ， 总 存 在 正 数总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 |0 0 PP的 一 切 点的 一 切 点DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，则称成立，则称 A A 为为n元函数元函数)(Pf

14、 当当 0 PP 时的极限，记为时的极限，记为 APf PP )(lim 0 . . n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集 0 , PD 是其聚点且是其聚点且DP 0 ，如果，如果)()(lim 0 0 PfPf PP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点 0 P处连续处连续. . 设设 0 P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果 )(Pf在在点点 0 P处处不不连连续续，则则称称 0 P是是函函数数)(Pf的的 间间断断点点. 三、多元函数的连续性 定义定义3 3 例例5 5 讨论函数讨

15、论函数 )0 , 0(),(, 0 )0 , 0(),(, ),( 22 33 yx yx yx yx yxf 在在(0,0)处的连续性处的连续性 解解 取取,cos x sin y )0 , 0(),(fyxf )cos(sin 33 2 2)0 , 0(),(fyxf 故函数在故函数在(0,0)处连续处连续. ),0 , 0(),(lim )0,0(),( fyxf yx , 0 , 2 当当 时时 22 0yx 例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 在在(0,0)的连续性的连续性 解解取取kxy 22 0 0 lim yx

16、 xy y x 222 2 0 lim xkx kx kxy x 2 1k k 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在 故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D 上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如 果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上 取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值

17、至少一次 （1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 （2）介值定理）介值定理 （3）一致连续性定理）一致连续性定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数必定上的多元连续函数必定 在在D D上一致连续上一致连续 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指

18、包含在定义域内的区域或闭区域 例例. 11 lim 0 0 xy xy y x 求求 解解 )11( 11 lim 0 0 xyxy xy y x 原原式式 11 1 lim 0 0 xy y x . 2 1 ).()(lim )()( )()(lim 00 0 0 0 PfPfP PfPfP PfPf PP PP 处处连连续续，于于是是点点 在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且 是是初初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求 多元函数极限的概念多元函数极限的概念 多元函数连续的概念多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 （注意趋近方式的（注意趋近方

19、式的任意性任意性） 四、小结 多元函数的定义多元函数的定义 若若点点),(yx沿沿着着无无数数多多条条平平面面曲曲线线趋趋向向于于 点点),( 00 yx时时，函函数数),(yxf都都趋趋向向于于 A，能能否否 断断定定Ayxf yxyx ),(lim ),(),( 00 ？ 思考题思考题 思考题解答思考题解答 不能不能. 例例, )( ),( 242 23 yx yx yxf )0 , 0(),(yx 取取,kxy 2442 223 )( ),( xkx xkx kxxf 0 0 x 但是但是 不存在不存在.),(lim )0,0(),( yxf yx 原因为若取原因为若取, 2 yx 24

20、4 26 2 )( ),( yy yy yyf . 4 1 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 若若 y x xyyxyxftan),( 22 , ,则则),(tytxf= =_. . 2 2、 若若 xy yx yxf 2 ),( 22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1( x y f_. . 3 3、 若若)0()( 22 y y yx x y f, ,则则 )(xf_. . 4 4、 若若 22 ),(yx x y yxf , , 则则 ),(yxf_. . 函数函数 )1ln( 4 22 2 yx yx z 的定义域是的定义域是_. . 练练 习习 题题 6 6、函函数数

21、yxz 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、函函数数 x y zarcsin 的的定定义义域域是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 8 8、函函数数 xy xy z 2 2 2 2 的的间间断断点点是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二、二、 求下列各极限求下列各极限: : 1 1、 xy xy y x 42 lim 0 0 ； 2 2、 x xy y x sin lim 0 0 ； 3 3、 2222 22 0 0 )( )cos(1 lim yxyx yx

22、 y x . . 三三、 证证明明：0lim 22 0 0 yx xy y x . . 四四、 证证明明极极限限 yx xy y x 11 lim 0 0 不不存存在在 . . 一一、 1 1、 ),( 2 yxft； 2 2、 12 13 , , ),(yxf； 3 3、 x x 2 1 ； 4 4、 y y x 1 1 2 ； 5 5、 xyyxyx4, 10),( 222 ； 6 6、 yxyxyx 2 , 0, 0),(； 7 7、 xyxxyx , 0),( xyxxyx , 0),(； 8 8、 02),( 2 xyyx. . 二二、1 1、 4 1 ； 2 2、0 0； 3 3、

23、 . . 练习题答案练习题答案 不存在不存在.观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 不存在不存在. 观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 不存在不存在. 观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 不存在不存在. 观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 不存在不存在. 观察观察

24、26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 不存在不存在. 观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 不存在不存在. 观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 不存在不存在. 观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 不存在不存在. 观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 不存在不存在. 观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y

25、 x , 26 3 图形图形 yx yx z 不存在不存在. 观察观察 26 3 0 0 lim yx yx y x , 26 3 图形图形 yx yx z 不存在不存在. 定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx的某一邻的某一邻 域内有定义，当域内有定义，当y固定在固定在 0 y而而x在在 0 x处有增量处有增量 x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),( 0000 yxfyxxf ， 如果如果 x yxfyxxf x ),(),( lim 0000 0 存在，则称存在，则称 此极限为函数此极限为函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx处对处对x

26、的的 偏导数，记为偏导数，记为 一、偏导数的定义及其计算法 同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx处对处对y 的偏导数，的偏导数， 为为 y yxfyyxf y ),(),( lim 0000 0 记为记为 0 0 yy xx y z ， 0 0 yy xx y f ， 0 0 yy xx y z 或或),( 00 yxf y . . 0 0 yy xx x z ， 0 0 yy xx x f ， 0 0 yy xx x z 或或),( 00 yxf x . 如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点 ),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都

27、存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数 就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对 自自变变量量x的的偏偏导导数数， 记记作作 x z ， x f ， x z或或),(yxf x . 同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导 数，记作数，记作 y z ， y f ， y z或或),(yxf y . 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx , ),(),( lim),( 0 x zyxfzyxxf zyxf x x , ),(),( lim),( 0

28、 y zyxfzyyxf zyxf y y . ),(),( lim),( 0 z zyxfzzyxf zyxf z z 例例 1 1 求求 22 3yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数 解解 x z ;32yx y z .23yx 2 1 y x x z ,82312 2 1 y x y z .72213 例例 2 2 设设 y xz )1, 0( xx， 求证求证 z y z xx z y x 2 ln 1 . 证证 x z , 1 y yx y z ,ln xx y y z xx z y x ln 1 xx x yx y x yy ln ln 1 1 yy xx .2z

29、 原结论成立原结论成立 例例 3 3 设设 22 arcsin yx x z ，求求 x z ， y z . 解解 x z x yx x yx x 22 22 2 1 1 322 222 )(|yx y y yx . | 22 yx y |)|( 2 yy y z y yx x yx x 22 22 2 1 1 322 22 )( )( |yx xy y yx yyx x1 sgn 22 )0( y 0 0 y xy z 不存在不存在 例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 p T T V V p . 证证 V RT p;

30、 2 V RT V p p RT V; p R T V R pV T; R V p T p T T V V p 2 V RT p R R V . 1 pV RT 偏偏导导数数 x u 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分; ).0, 0(),0, 0(,),(, yx ffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明： 、 、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；定义求； 解解 x x f x x 0|0| lim)0 , 0( 0 0 ).0 , 0( y f 、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系 例例如

31、如,函函数数 0, 0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf, 依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yx ff. 但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续. 一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续， 多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续， 4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义 ,),(),(,( 00000 上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图 偏偏导导数数),( 00 yxf x 就就是是曲曲面面被被平平面面 0 yy 所所截截

32、得得的的曲曲线线在在点点 0 M处处的的切切线线 x TM 0 对对x轴轴的的 斜斜率率. 偏偏导导数数),( 00 yxf y 就就是是曲曲面面被被平平面面 0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点 0 M处处的的切切线线 y TM 0 对对y轴轴的的 斜斜率率. 几何意义几何意义: : ),( 2 2 yxf x z x z x xx ),( 2 2 yxf y z y z y yy ),( 2 yxf yx z x z y xy ),( 2 yxf xy z y z x yx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为 纯偏导纯偏导 混合偏导混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏

33、导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数偏导数. 二、高阶偏导数 例例 5设设13 323 xyxyyxz， 求求 2 2 x z 、 xy z 2 、 yx z 2 、 2 2 y z 及 3 3 x z . 解解 x z ,33 322 yyyx y z ;92 23 xxyyx 2 2 x z ,6 2 xy 2 2 y z ;182 3 xyx 3 3 x z ,6 2 y xy z 2 . 196 22 yyx yx z 2 , 196 22 yyx 原函数图形原函数图形 偏导函数图形偏导函数图形 偏导函数图形偏导函数图形 二阶混合偏二阶混合偏 导函数图形导函数图

34、形 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：函数图象间的关系： 例例 6 6 设设byeu ax cos ，求求二二阶阶偏偏导导数数. 解解 ,cosbyae x u ax ;sinbybe y u ax ,cos 2 2 2 byea x u ax ,cos 2 2 2 byeb y u ax ,sin 2 byabe yx u ax .sin 2 byabe xy u ax 定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数 xy z 2 及及 yx z 2 在在区区域域 D D 内内连连续续，那那

35、末末在在该该区区域域内内这这 两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数必必相相等等 问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才 相等？相等？ 例例 6 6 验验证证函函数数 22 ln),(yxyxu 满满足足拉拉普普拉拉 斯斯方方程程. 0 2 2 2 2 y u x u 解解),ln( 2 1 ln 2222 yxyx , 22 yx x x u , 22 yx y y u , )()( 2)( 222 22 222 22 2 2 yx xy yx xxyx x u . )()( 2)( 222 22 222 22 2 2 yx yx yx yyyx

36、y u 222 22 222 22 2 2 2 2 )()(yx yx yx xy y u x u . 0 偏导数的定义偏导数的定义 偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数高阶偏导数 （偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导 混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件） 三、小结 若函数若函数),(yxf在 点在 点),( 000 yxP连连 续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),( 000 yxP 的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？ 思考题思考题 思考题解答思考题解答 不能不能. ,),( 22 yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续

37、续, 但但 )0 , 0()0 , 0( yx ff 不不存存在在. 例如例如, 一一、 填填空空题题: : 1 1、 设设 y x ztanln , ,则则 x z _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; y z _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、 设设 x z yxez xy 则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; y z _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 设设 , z y xu 则则 x u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; y u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; z u _ _ _ _ _ _ _ _ _

38、 _ _ _ _. . 4 4、 设设 ,arctan x y z 则则 2 2 x z _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 2 2 y z _ _ _ _ _ _ _ _; ; yx z 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 练练 习习 题题 5 5、设、设 z y x u)( , ,则则 yz u 2 _. . 二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、 y xyz)1( ； 2 2、 z yxu)arctan( . . 三、三、 曲线曲线 4 4 22 y yx z , ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x

39、 轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少? ? 四、四、 设设 x yz , ,求求., 2 2 2 2 2 yx z y z x z 和和 五、设五、设 )ln(xyxz , ,求求 yx z 2 3 和和 2 3 yx z . . 六、六、 验证验证: : 1 1、 ) 11 ( yx ez , ,满足满足z y z y x z x2 22 ； 2 2、 222 zyxr 满足满足 r z z r y r x r 2 2 2 2 2 2 . . 七、设七、设 0, 0 0,arctanarctan ),( 22 xy xy y x y x y x yxf 求求 xyx ff , . . 一、

40、一、1 1、 y x y x y x y 2 csc 2 , 2 csc 2 2 ； 2 2、)1( 2 yxye xy , ,)1( 2 xxye xy ； 3 3、xx z x z y z y z y ln 1 , 1 , , xx z y z y ln 2 ； 4 4、 222 22 222222 )( , )( 2 , )( 2 yx xy yx xy yx xy ； 5 5、)ln 1 ()( y x y z yy x z . . 二、二、1 1、 xy xy xyxy y z xyy x z yy 1 )1ln()1(,)1( 12 ; ; 练习题答案练习题答案 2 2、 z z

41、yx yxz x u 2 1 )(1 )( , , , )(1 )( 2 1 z z yx yxz y u z yx yxyx z u 2 )(1 )ln()( . . 三、三、 4 . . 四、四、,)1(,ln 2 2 2 2 2 2 xx yxx y z yy x z )1ln( 1 2 yxy yx z x . . 五、五、 22 3 2 3 1 , 0 yyx z yx z . . 七、七、 0, 0; 0, 0 0, 0, 0,arctan2 yxyx yxy xyy x y x f x , , 0, 0, 1 0, 0, 1 22 22 yx xy yx yx x f xy .

42、. ),(),(yxfyxxf xyxf x ),( ),(),(yxfyyxf yyxf y ),( 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏增增量量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内 有有定定义义，并并设设),(yyxxP 为为这这邻邻域域内内的的 任任意意一一点点，则则称称这这两两点点的的函函数数值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 为为函函数数在在点点 P对对应应于于自自变变量量增增量量yx ,的的

43、全全增增 量量，记记为为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量 ),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为 )( oyBxAz ，其中，其中BA,不依赖于不依赖于 yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关， 22 )()(yx ， 则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分， yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的 全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz= =yBxA . . 全微分的定义全微分的定义 函函数数若若在在某某区区域域 D

44、 内内各各点点处处处处可可微微分分， 则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则 函数在该点连续函数在该点连续. 事实上事实上),( oyBxAz , 0lim 0 z ),(lim 0 0 yyxxf y x ),(lim 0 zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续. 二、可微的条件 定定理理 1 1（必必要要条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点 ),(yx可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数 x z 、 y z 必必存存在在，且

45、且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分 为为 y y z x x z dz 证证 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域 )( oyBxAz 总成立总成立, 当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此时此时|x , ),(),(yxfyxxf |),(|xoxA A x yxfyxxf x ),(),( lim 0 , x z 同理可得同理可得 . y z B 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在 多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在 例如，例如，

46、. 00 0 ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 在点在点)0 , 0(处有处有 0)0 , 0()0 , 0( yx ff )0 , 0()0 , 0(yfxfz yx , )()( 22 yx yx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(， 则则 22 )()(yx yx 22 )()(xx xx , 2 1 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时， ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfz yx 函函数数在在点点)0 , 0(处处不不可可微微. 说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证

47、全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在， 定定理理（充充分分条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏 导导数数 x z 、 y z 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx 可可微微分分 证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxf x ),( 1 )10( 1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理 xxyxf x 1 ),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性） 且且当当0, 0 yx时时，0 1 .

48、其其中中 1 为为yx ,的的函函数数, xxyxf x 1 ),( yyyxf y 2 ),( z 21 21 yx , 0 0 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处可可微微. 同理同理),(),(yxfyyxf ,),( 2 yyyxf y 当当0 y时时，0 2 , 习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dy y z dx x z dz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 .dz z u dy y u dx x u du 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分

49、符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况 例例 1 1 计计算算函函数数 xy ez 在在点点)1 , 2(处处的的全全微微分分. 解解 , xy ye x z , xy xe y z , 2 )1 ,2( e x z ,2 2 )1 ,2( e y z .2 22 dyedxedz 所求全微分所求全微分 例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当 4 x， y， 4 dx， dy时的全微分时的全微分. 解解),2sin(yxy x z ),2sin(2)2cos(yxyyx y z dy y z dx x

50、z dz ), 4 ( ), 4 ( ), 4 ( ).74( 8 2 例例 3 3 计计算算函函数数 yz e y xu 2 sin的的全全微微分分. 解解 , 1 x u , 2 cos 2 1 yz ze y y u , yz ye z u 所求全微分所求全微分 .) 2 cos 2 1 (dzyedyze y dxdu yzyz 例例 4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0 )0 , 0(),(, 1 sin ),( 22 yx yx yx xy yxf在在 点点)0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0( 不连续，而不连续，而

51、f在点在点 )0 , 0( 可微可微. 思思路路：按按有有关关定定义义讨讨论论；对对于于偏偏导导数数需需分分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨讨论论. 证证 令令,cos x,sin y 则则 22 )0,0(),( 1 sinlim yx xy yx 1 sincossinlim 2 0 0 ),0 , 0(f 故故函函数数在在点点)0 , 0(连连续续, )0 , 0( x f x fxf x )0 , 0()0 ,( lim 0 , 0 00 lim 0 x x 同理同理. 0)0 , 0( y f 当当)0 , 0(),( yx时时， ),(yxf x , 1

52、cos )( 1 sin 22322 2 22 yxyx yx yx y 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时, ),(lim )0,0(),( yxf x xx , |2 1 cos |22|2 1 sinlim 3 3 0 xx x x x x 不存在不存在. 所所以以),(yxf x 在在)0 , 0(不不连连续续. 同理可证同理可证),(yxf y 在在)0 , 0(不连续不连续. )0 , 0(),(fyxff 22 )()( 1 sin yx yx )()( 22 yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0 )0,0( df 多元函数连

53、续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微函数可微 函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续 函数可导函数可导 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用 都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式 连续，且连续，且个偏导数个偏导数 的两的两在点在点当二元函数当二元函数 yxyxfyxf yxPyxfz yx ,),(),( ),(),( .),(),(yyxfxyxfdzz yx 也可写成也可写成 .),(),(),( ),( yyxfxyxfyxf yyxxf yx 例例 5 5 计算计算 02. 2 )04. 1(的近似值的近似值. 解解 .),( y xyxf 设函

54、数设函数 .02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取 , 1)2 , 1( f ,),( 1 y x yxyxf,ln),(xxyxf y y , 2)2 , 1( x f , 0)2 , 1( y f 由公式得由公式得 02. 0004. 021)04. 1( 02. 2 .08. 1 、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念； 、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法； 、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系 （注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别） 三、小结 函数函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx处可微的充分条

55、件是处可微的充分条件是: （1）),(yxf在点在点),( 00 yx处连续；处连续； （2）),(yxf x 、),(yxf y 在点在点),( 00 yx的的 某邻域存在；某邻域存在； （3）yyxfxyxfz yx ),(),(， 当当0)()( 22 yx时是无穷小量；时是无穷小量； （4） 22 )()( ),(),( yx yyxfxyxfz yx , 当当0)()( 22 yx时是无穷小量时是无穷小量. 思考题思考题 一、一、 填空题填空题: : 1 1、 设设 x y ez , ,则则 x z _； y z _； dz_._. 2 2、 若若)ln( 222 zyxu , ,则

56、则 du _._. 3 3、 若函数若函数 x y z , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, , 函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._. 4 4、 若 函 数若 函 数 y x xyz , , 则则xz对对的 偏 增 量的 偏 增 量 z x_;_; x z x x0 lim _. _. 练练 习习 题题 二、二、 求函数求函数)1ln( 22 yxz 当当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. . 三、三、 计算计算 33 )97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. . 四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器

57、的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为 cm1 . 0，内高为，内高为cm20, ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体 积的近似值积的近似值. . 五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为 m1 . 063 和和 m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为 0 160 . .试求三角形面积试求三角形面积 的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. . 六六、利利用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相 对对误误差差之之和和; ;商商的的相相对对误误差差

58、等等于于被被除除数数及及除除数数的的相相 对对误误差差之之和和. . 七、求函数七、求函数 ),(yxf 0,0 0, 1 sin)( 22 22 22 22 yx yx yx yx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yxf的可微性的可微性. . 一、一、1 1、)( 1 , 1 , 2 dydx x y e x e x e x y x y x y x y ； 2 2、 222 )(2 zyx zdzydyxdx ； 3 3、-0.119,-0.125-0.119,-0.125； 4 4、 y yx y y 1 ,) 1

59、 ( . . 二、二、dydx 3 2 3 1 . . 三、三、2.95. 2.95. 四、四、 3 cm3 .55 . . 五、五、 %.30. 1 ,m6 .27,m2128 22 七、七、 ),(),(yxfyxf yx 在在 )0 , 0( 处均不连续处均不连续, , ),(yxf 在点在点(0,0)(0,0)处可微处可微. . 练习题答案练习题答案 证证 ),()(tttu 则则);()(tttv 一、链式法则 定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可 导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏 导数，则复合函数导数，则复

60、合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可 导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz ，获得增量获得增量设设tt 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数 , 21 vuv v z u u z z 当当0 u，0 v时时，0 1 ，0 2 t v t u t v v z t u u z t z 21 当当0 t时时， 0 u，0 v , dt du t u , dt dv t v .lim 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t 上定理的结论可推广到中间变