届总复习-走向清华北大--40椭圆.ppt

1、第四十讲第四十讲 椭圆椭圆 回归课本回归课本 1.1.椭圆的定义椭圆的定义 (1)(1)定义定义: :平面内两定点为平面内两定点为F F1 1 F F2 2, ,当动点当动点P P满足条件满足条件点点P P到点到点F F1 1 F F2 2的距离之和等于常数的距离之和等于常数( (大于大于|F|F1 1F F2 2|)|)时时,P,P点的轨迹为椭点的轨迹为椭 圆圆;F;F1 1 F F2 2是椭圆的两个是椭圆的两个焦点焦点. . (2)(2)定义的数学表达式为定义的数学表达式为: :|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a(2a|F|=2a(2a|F1 1F F2 2|)|). .

2、 (3)(3)注意注意: :定义中定义中,“,“定值大于定值大于|F|F1 1F F2 2|”(|”(即即2a2c)2a2c)是必要条件是必要条件. . 当当2a=2c2a=2c时时, ,动点轨迹是动点轨迹是两焦点的连线段两焦点的连线段; ;而当而当2a2c2a2c.2a2c. 1212 | 2,2 ,0,0, ,PMMFMFaFFc aca c (3)涉及椭圆定义的问题时涉及椭圆定义的问题时,一定要注意一定要注意“2a2c”这一个前这一个前 提条件提条件.因为当平面内的动点与定点因为当平面内的动点与定点F1 F2的距离之和等的距离之和等 于于|F1F2|时时,其动点轨迹就是线段其动点轨迹就是

3、线段F1F2;当平面内的动点与定当平面内的动点与定 点点F1 F2的距离之和小于的距离之和小于|F1F2|时时,其轨迹不存在其轨迹不存在. 【典例典例1 1】一动圆与已知圆一动圆与已知圆O O1 1:(x+3):(x+3)2 2+y+y2 2=1=1外切外切, ,与圆与圆O O2 2:(x-:(x- 3)3)2 2+y+y2 2=81=81内切内切, ,试求动圆圆心的轨迹方程试求动圆圆心的轨迹方程. . 解解 两定圆的圆心和半径分别是两定圆的圆心和半径分别是O O1 1(-3,0),r(-3,0),r1 1=1,=1, O O2 2(3,0),r(3,0),r2 2=9.=9.设动圆圆心为设动

4、圆圆心为M(x,y),M(x,y),半径为半径为R,R, 则由题设条件则由题设条件, ,可知可知 |MO|MO1 1|=1+R,|MO|=1+R,|MO2 2|=9-R,|=9-R, |MO|MO1 1|+|MO|+|MO2 2|=10,|=10, 由椭圆的定义知由椭圆的定义知:M:M在以在以O O1 1 O O2 2为焦点的椭圆上为焦点的椭圆上, ,且且 a=5,c=3,ba=5,c=3,b2 2=a=a2 2-c-c2 2=25-9=16,=25-9=16, 故动圆圆心的轨迹方程为故动圆圆心的轨迹方程为 22 1. 2516 xy 反思感悟反思感悟先根据定义判断轨迹的类型先根据定义判断轨迹

5、的类型,再用待定系数法求轨再用待定系数法求轨 迹方程的方法叫定义法迹方程的方法叫定义法.用定义法求轨迹方程时用定义法求轨迹方程时,应首先充应首先充 分挖掘图形的几何性质分挖掘图形的几何性质,找出动点满足的几何条件找出动点满足的几何条件,看其是看其是 否符合某种曲线的定义否符合某种曲线的定义,如本例如本例,根据平面几何知识根据平面几何知识,列出内列出内 切切 外切的条件后外切的条件后,可发现利用动圆的半径过渡可发现利用动圆的半径过渡,恰好符合恰好符合 椭圆的定义椭圆的定义,从而用待定系数法求解从而用待定系数法求解,这里充分利用椭圆的这里充分利用椭圆的 定义是解题的关键定义是解题的关键. 类型二类

6、型二求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 解题准备解题准备:(1):(1)定义法定义法; ; (2)(2)待定系数法待定系数法. .若已知焦点的位置可唯一确定标准方程若已知焦点的位置可唯一确定标准方程; ;若若 焦点位置不确定焦点位置不确定, ,可采用分类讨论来确定方程的形式可采用分类讨论来确定方程的形式, ,也可也可 以直接设椭圆的方程为以直接设椭圆的方程为AxAx2 2+By+By2 2=1,=1,其中其中A,BA,B为不相等的正为不相等的正 常数或由已知条件设椭圆系常数或由已知条件设椭圆系 来求解来求解, ,以避免讨论和繁琐的计算以避免讨论和繁琐的计算. . 22 22 ,0 xy ab 如

7、 22 2 3,1 ,3, 2 12,3 2. 13,A 3,0 ; 2 3. ; 3 , 4 PQ xy 【典例 】求满足下列各条件的椭圆的标准方程 长轴是短轴的 倍 且经过点 经过点两点 与椭圆有相同的离心率 且经过点 22 22 2 2 2 1(0). 9 1 1, . x, A ,3 3,0 , 2a3 2b,b. 1 9 . . 1 xy ab ab a a x y 解由条件可知 所求椭圆的位置不能确定 故分两种情 况分别求解 当焦点在 轴上时 可设椭圆的方程为 椭圆经过点 又 所以此时椭圆的方程为 22 22 2 22 222 2 1(0). 9 1,3. 1. 8 y, A 3,

8、0 , 2a3 2b,a9 19 11. . , 9819 yx ab ab b b yx xyx y 当焦点在 轴上时 可设所求椭圆的标准方程为 椭圆经过点 又 所以此时椭圆的方程为 综上所述 所求椭圆的方程为 或 2 22 2 121, 2 3,1 ,3, 2 , 341, 1 , 15 1 , 5 1. 15 2mxny1 m0,n 5 0 , mn PQ mn m n xy 设椭圆的标准方程为因为椭 圆经过点所以有 所以 所以所求椭圆的标准方程为 22 2 2 22 (0). 43 3 2 ( 3 2,3),2, 43 1 ,x, . 86 xy t t t xy 由题意 当焦点在 轴

9、上时 设所求椭圆的方程为 因为椭圆过点所以 故所求的椭圆的标准方程为 22 11 1 2222 2222 (0) 43 3425 2,3 , 4312 2534 ,1 43122525 34 11. 862 y 2 , 5 , 5 yx t t t yxyx xyyx 当焦点在 轴上时 设所求椭圆的方程为 因为椭圆过点所以 故所求的椭圆的方程为即 综上所述 所求椭圆方程为或 2 2 22 2 2 , ,. , AxBy1 A0,B0 , (,23 , ) . 0 xy ab 反思感悟 在求椭圆的标准方程时 会遇到焦点位置不确 定而有两种结果的情况 这时应注意分类讨论由于分类讨 论较复杂 因此在

10、处理椭圆焦点位置不确定的情况时 有 时可直接设椭圆方程为或由已 知条件设椭圆系来求解 如、 两小题 这样可避免讨论和复杂的计算 如 类型三类型三椭圆的几何性质椭圆的几何性质 解题准备解题准备:1.:1.对椭圆几何性质的考查一直是高考命题的一个对椭圆几何性质的考查一直是高考命题的一个 热点热点, ,尤其是对椭圆离心率的求解问题尤其是对椭圆离心率的求解问题, ,更是考查的重点更是考查的重点. . 2.2.对于焦点在对于焦点在x x轴上轴上, ,中心在原点的椭圆中心在原点的椭圆 有以下性质有以下性质: :范围范围:-axa,-byb.:-axa,-byb.椭圆位于直线椭圆位于直线 x=x=a a和和

11、y=y=b b所围成的矩形框里所围成的矩形框里; ;对称性对称性: :椭圆关于椭圆关于x x轴轴 y y轴和原点都是对称的轴和原点都是对称的; ;椭圆有四个顶点椭圆有四个顶点A A1 1(-a,0)(-a,0) A A2 2(a,0)(a,0) B B1 1(0,-b)(0,-b) B B2 2(0,b).(0,b).线段线段A A1 1A A2 2和和B B1 1B B2 2分别叫做椭分别叫做椭 圆的长轴和短轴圆的长轴和短轴, ,它们的长分别等于它们的长分别等于2a2a和和2b;2b;椭圆的离心椭圆的离心 率率 22 22 1(0) xy ab ab ,01. c ee a 22 22 3.

12、 a1(0)xa, byb,0e1, ,. xy ab ab 椭圆的几何性质常涉及一些不等关系例如对椭圆 有等 在求与椭圆 有关的一些量的取值范围或最值时 经常要用到这些不等式 22 22 1 12 12 3 AB,M(x)x, F,. 1e; 2 1(0 Q,FF, FQF ) . xy ab ab ABOM 【典例 】已知椭圆的长短轴端点分 别为 、从此椭圆上一点在 轴上方 向 轴作垂线 恰好通过椭圆的左焦点向量与是共线向量 求椭圆的离心率 设 是椭圆上任意一点、 分别是左右焦点 求 的取值范围 2 2 1 AB 2 , ., 2 ,. 1Fc,0 , , k0,b 2 c,e MM OM

13、AB b xc y a bb kk aca OMAB bb aca 解则 由题意有 又与是共线向量 故 112212 22222 12121 2 1 21 2 22 2 1 2 12 121 2 12 4()2 2FQr , F Qr ,FQF, rr2a,|FF | 2c, rr 4 2 ,cos0, 2 110, 2 0,. 2 rrcrrrrc cos rrrr aa rr rr 设 当且仅当时 反思感悟反思感悟求解与几何性质有关的问题时要结合图形进行分求解与几何性质有关的问题时要结合图形进行分 析析,即使不画出图形即使不画出图形,思考时也要联想到图形思考时也要联想到图形.当涉及到顶点当

14、涉及到顶点 焦点焦点 长轴长轴 短轴等椭圆的基本量时短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间要理清它们之间 的关系的关系,建立基本量之间的联系建立基本量之间的联系. 类型四类型四直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 解题准备解题准备:1.直线方程与椭圆方程联立直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次消元后得到一元二次 方程方程,然后通过判别式然后通过判别式来判断直线和椭圆相交来判断直线和椭圆相交 相切或相相切或相 离离. 2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐 标或纵坐标标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式通常是写成

15、两根之和与两根之积的形式,这是这是 进一步解题的基础进一步解题的基础. 11 2 2 121212 2 2 2 3.ykxb k0A x ,y, B x ,y, 11 |1|1()4.AByyyyy y kk 直线与圆锥曲线相交于 两点 则 【典例典例4 4】已知椭圆已知椭圆C C的中心在坐标原点的中心在坐标原点, ,焦点在焦点在x x轴上轴上, ,椭圆椭圆C C 上的点到焦点距离的最大值为上的点到焦点距离的最大值为3,3,最小值为最小值为1.1. (1)(1)求椭圆求椭圆C C的标准方程的标准方程; ; (2)(2)若直线若直线l:y=kx+ml:y=kx+m与椭圆与椭圆C C相交于相交于A

16、 A B B两点两点(A(A B B不是左右不是左右 顶点顶点),),且以且以ABAB为直径的圆过椭圆为直径的圆过椭圆C C的右顶点的右顶点. .求证求证: :直线直线l l过过 定点定点, ,并求出该定点的坐标并求出该定点的坐标. . 分析分析(1)(1)由由a+c=3,a-c=1,a+c=3,a-c=1,可求可求a a、c.(2)c.(2)直线方程与椭圆直线方程与椭圆 方程联立后得到交点方程联立后得到交点A A B B的坐标关系的坐标关系, ,再根据以再根据以ABAB为直径为直径 的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直, ,从而求得交点从而求得交点A A B

17、B的坐标关系的坐标关系, ,联立后可求联立后可求k k、m m的关系的关系. . 222 1 22 2 122 222 2222 2 22 22 2 2 1 ac3,ac1, a2,c1,bac3. 2:A x ,y,B x ,y, 34kx8mkx4 m30, 64m k16 34km30, 34 1(0), 1. 43 , 1 km , 43 0, xy ab ab xy ykxm xy 解据题意设椭圆的标准方程为 由已知得 椭圆的标准方程为 证明 设联立 得则由题意 得 即 1212 AD 2 1212 22 22 22 1212 2 12 12 222 222 BD 121212 84

18、(3) , 3434 3(4) y ykxmkxm ABD 2,0 , kk1, y y (), 34 1. 22 3(4)4( x x 3)16 34343 2x 4 x40. mkm xxx x kk mk k x xmk xxm k yy xx mkmmk kkk 即 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点 即 22 2 12 2 40. 2 2 7m16mk4k0. 3,m.,4k0 7 k mk m 解得且均满足 2 1 m2k,lyk x2 22 , 77 ,2,0 , ; ,l l 2 ,0 . 7 2 ,0 . 7 , k myk x 当时 的方程为直线过定点 与已知矛盾 当时 的方程

19、为直线过定点 所以直线 过定点 定点坐标为 反思感悟反思感悟(1)(1)直线方程与椭圆方程联立直线方程与椭圆方程联立, ,消元后得到一元二消元后得到一元二 次方程次方程, ,然后通过判别式然后通过判别式来判断直线和椭圆相交来判断直线和椭圆相交 相切相切 或相离的情况或相离的情况. . (2)(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的 横坐标或纵坐标横坐标或纵坐标, ,通常是写成两根之和与两根之积的形式通常是写成两根之和与两根之积的形式, , 这是进一步解题的基础这是进一步解题的基础. . 错源一错源一 定义理解不清致错定义理解不清致错 【

20、典例典例1 1】已知已知A(4,0),B(2,2)A(4,0),B(2,2)是椭圆是椭圆 内的一点内的一点, , 如图所示如图所示,M,M是椭圆上的一动点是椭圆上的一动点, ,求求|MA|+|MB|MA|+|MB|的范围的范围. . 错解错解 欲使欲使|MA|+|MB|MA|+|MB|最大或最小最大或最小, ,考虑动点考虑动点M M在椭圆上的位在椭圆上的位 置置, ,再结合图形再结合图形, ,由于由于A A是椭圆的右焦点是椭圆的右焦点, ,当当M M是左顶点时是左顶点时 ,|MA|,|MA|最大最大, ,当当M M是右顶点时是右顶点时,|MA|,|MA|最小最小. .于是于是|MA|+|MB|

21、MA|+|MB|的最的最 大值为大值为 最小值为最小值为 22 1 259 xy 953, 113. 剖析剖析 当当|MA|MA|最大时最大时,|MA|+|MB|,|MA|+|MB|就一定最大吗就一定最大吗? ?显然显然, ,不一定不一定 . . 正解正解 易知易知A(4,0)A(4,0)为椭圆的右焦点为椭圆的右焦点, ,设左焦点为设左焦点为F F1 1, ,由由a a2 2=25=25知知 |MF|MF1 1|+|MA|=10,|+|MA|=10,因此因此|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF1 1|.|.问题转化问题转化 为为“求椭圆上一点到求

22、椭圆上一点到B,FB,F1 1两点距离之差的最大值与最小值两点距离之差的最大值与最小值 ”; ;连接连接B,FB,F1 1并延长交椭圆于两点并延长交椭圆于两点; ;其一使其一使|MB|-|MF|MB|-|MF1 1| |最大最大 , ,另一个使另一个使|MB|-|MF|MB|-|MF1 1| |最小最小. .则则|MA|+|MB|MA|+|MB|的最大值为的最大值为 最小值为最小值为 102 10,102 10. 错源二错源二 忽视焦点位置致错忽视焦点位置致错 2222 1(0)2 ,m_ 1684 .1 xyxy m m 【典例 】若椭圆的焦距和椭圆 的焦距相等 则 22 2 2 2 2 4

23、. ,a16,bm,2c4, 1 1 84 1( 6m4,m12. 0) 16 xy xy m m 错解 易得椭圆的焦距为 在椭圆中因为所 以所以 22 1(0) 1 , x,. 6 xy m m 剖析 焦距相等 焦点不一定相同 上述错解武断地认为椭 圆的焦点一定在 轴上 故而致错 2 22 22 2 22 22 4. m16,x, a16,bm,2c4,16m4,m12. m16,y, 1 84 am,b16,2c4,m 164,m20. m12m2 1(0) 16 1 0. (0) 16 xy xy m m xy m m 正解 易得椭圆的焦距为 当时 椭圆是焦点在 轴上的椭圆 此时所以所以

24、 当时 椭圆是焦点在 轴上的椭圆 此时所以所以 综上或 答案答案1212或或20 20 错源三错源三 忽视变量的范围致错忽视变量的范围致错 2222 33x2y6xxyk0 ,k. 【典例 】已知椭圆与曲线恒有 交点 求 的取值范围 2 2 2 2 2 326 , 0, 3680, 9 0. 0 y,x6x2k ,2 0. xyx xyk k k k 错解由消去得 由解得 剖析剖析00只能保证方程只能保证方程x x2 2-6x+2k=0-6x+2k=0有解有解, ,而不能保证原方而不能保证原方 程组有解程组有解. .因为原方程组中有隐含条件因为原方程组中有隐含条件0 x2,0 x2,消去消去y y后得到后得到 关于关于x x的一元二次方程看不到这个限制条件的一元二次方程看不到这个限制条件. . 2 22 2 121 2 2 2 22 2 y,x6x2k0. 2y6x3x0,0 x2. x6x2k0 x ,x0 x2 0 x2. f xx6x2k, 326