均值不等式与其证明

1、1 平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明 中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了 部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论， 其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章 节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等， 这些也是证明不等式的常用方法和技巧。1.1 平均值不等式一般地，假设 ai , a 2 ,., a n为n个非负实数，它们的算术平均值记为A n 二 aia2.,n几何平均值记为in . rG n ( ai a 2 . a n ) -、naia 2

2、. a n。算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。ai +a 2 + .+a n.n ai a2 . an， n即A nG n ，当且仅当 ai a 2. a n时，等号成立。上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵 活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其 中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。i.2平均值不等式的证明证法一、（归纳法）（i）当n二2时，已知结论成立。（2）假设对n k-（正整数kJ-2 )时命题成立，即对ai0, i _ i, 2,., k ,有+ +iaia 2一a k(aia

3、 2.a n ) k 0k那么，当n 一 k i时，由于关于ai , a 2，,a k 1是对称的，任意对调H.和ai 与 a j (i j ) , A k 1 G k 1 的值不改变，因此不妨设aiminai , a 2，a k 1-.= , aki= max ai , a 2，,a显然 ai 江 Aki _ a k 1，以及(ai = A k 1 )( ak 1=心.1 )：:： 0 可得A k 1 ( a 1 a k 為1 Ak )i a a ki所以A kA k 1 -(-k1) Akk 1 kka -.一 a -：(a a2k1kA-+蟄十即 Akk 1 a 2 . a k ( ai

4、I_)7a2. . .aA i)+ a k 1 A k 1 7两边乘以A k1，得k 1a 2 . a k ( aiak 1 )Ak 1 a 2 . a k A k从而，有 A证法二（归纳法）（1）（2）当n - 2时，已知结论成立。 假设对n k（正整数k-2）时命题成立，即对ai 0, i-1,2,., k ,有a点ia. a 虑 k k a a .a。2k1 2k那么，当n k 1时，由于+ +aia2-ai a2. a叭 a k i G k i . G k . i ( k 1) G k ik kaia 2.akk k a kiki( ki) Gkiki郃 G _iki( ki)Gki+

5、VVV !2k k ai a2 ak k a kI k +-g 辛 G_2k 2 k k i k i (k i)G k i ( k i) G 从而，有A k i ：Eg k i证法三（归纳法）（i） 当n = 2时，已知结论成立。（2） 假设对n =k （正整数k盔2 ）时命题成立，即对ai 常0, i - i, 2,., k ,有ai a2十 a k 二 ky ai a 2 .a k。那么，当n -k i时，由于* * 亠 + *aia 2. a k ak i证法四（归纳法和变换）证法五（利用排序不等式）设两个实数组 ai , a2，an和bi , b2，bn满足ai - a 2 .n b;

6、 i_ b 2_.一 b.n ,则a bb 导a b （同序乘积之和）1122n na b2 j2十a bn jn（乱序乘积之和）M 朴佥（反序乘积之和）aib n a 2bn i .an b i其中ji , j 2，j n是i, 2,., n的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是 ai a 2 -. - a n 或 bi -b2:- bn 成立。证明：杨森不等式(Young )设 Mk 0,滾/0,晴2孔贝鮒X1 , X 20有Xd *咗姿義X X軌等号成立的充分必要条件是1X1 1 X22 1 12 2X1X 2琴生不等式(Jensen )设y rf ( x ), x (a , b

7、)为上凸(或下凹)函数，则对任意Xj岀(a, b)(i 1,2,n )，我们都有1f ( X1 )咋食 2f ( X 2 ).n f ( X n )f ( 1 X12X2嗨 n X n)或珂+弐阴龍上氟x 滋苛X )1f(X1 )2 f ( X 2 ).n f ( X n )f ( 1 12X2n nn其中 j 0( j T, 2,n )?疾參耳1习题一1.设 a, b R11。求证：对一切正整数a bn(a b )2.设 a, b, cb c(1 )(1 )(1 -) . 2(1bc aa鼎b c壬)3 abc3.设X1 , X 2 , X3为正实数，证明:x2X1X3x x 2 x1 ； g(1 )+( 2 )X2X3X2x32 x32()X14.设 a, b, c R , a b c 1,求证:(1 a )(1 b )(1 c )8(1 - a )(1 b )(1 c)5.设 x , y, z,求证:My 2z2匸 -6.设a, b, c R ，满足2c = 1，求证:ab7.设a, b, c, d是非负实数，满足abb