导数基本概念

1、时需Sr彳第一节导数的概念与运算一、思维导图二、知识模块【知识点1】导数的定义1. 导数的概念设函数y f(x)在x xo附近有定义，如果x 0时，y与x的比一y (也叫函数x的平均变化率)有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数xy f(x)在x Xo处的导数，记作f (xo)或y x x0.即 f(xo)= limlim 恨 x) f(xo)f(x) f(xo).x 0 x x 0xx xox xo2. 导数的物理意义：瞬时速度设t 0时刻一车从某点出发，在t时刻车走了一定的距离 S S t .在t0h时刻，车走了 S(ti) S(to)，这一段时间里车的平均速度为S(tl)

2、 S(to)，当X与to很接近时，该平t1 toS(t ) S(t )均速度近似于to时刻的瞬时速度.若令tito，则可以认为lim 10，即S(to)就tl toti to是t0时刻的瞬时速度.3. 思路提示：利用导数的定义，经过合理的添项、拆项与调配系数，凑成导数的极限定义的等价形式.例1：设f(Xo)存在，求下列各式极限.广 f xo 3 x f xf xo h f xo lim: limx 0xh 0hf x2 x f x0例 2：右 lim -1，则 f (Xo)等于()x 03 x2A.B.3C.3 D.例3:f(x)在X。处可导，则00f x0 x f x03 x等于()A.2f

3、(x。)B.f(X。)C.例4:y f (x)既是周期函数，又是偶函数,A.既是周期函数，又是偶函数B. 既是周期函数，又是奇函数C. 不是周期函数，但是偶函数D. 不是周期函数，但是奇函数例5:已知函数y f(x)x,x0，那么0A.B.C.例6:已知limx2x2x 1axA.B.C.7:已知mN ,a,b R，若A.B. m C.8:呵沽等于。A. 1 B. 02C.9:已知 f (3)4, f (3)1,3f(X。)则其导函数yx 0的值为D.2，其中a,b2 D.m1 x lim0limx 3D. 1D.4f(X0)y f(x)()不存在则a b的值为()b，则ab等于()D. 不存

4、在4x 3f (x)10:已知定义在 R 上的函数 f(x),g(x)，若 f(x) 1 xg(x),lim g(x)0处的导数f(0)-,则f (x)在2例11:如图15 7，函数f (x)的图象是折线段 ABC，其中A,B,C的坐标分别为 0,4 ，2,0，6,4，则f f 0f 1xf 1；limx 0x4的前n项和为Sn,若a1S312,则 lim例12:设等差数列nSn2n时磊论呎例13:x 1lim x 例4:设函数f(x) Sin2x sinx，导函数为f(x)，则下列关于导函数f(x)的说法正 x 3x 4例14:2x3x0an确的是()A.仅有最小值的奇函数 1已知函数f(x

5、)，在点x 0处连续，则lim 3 2a, x 0n a n n例15:x2 x 1设f (x)，试求a,b的值，使f (x)在x 1处可导.ax b, x 1【知识点2】求函数的导数1. 导数的运算的法则(和、差、积、商)设u u(x), v v(x)均可导，则(u v) u v:(uv) uv uv:(u) uv 2uv(v0)vv2. 基本导数表 C 0(C 为常数)：(xn) nxn 1(n Q):(ax) ax lna :(ex) ex ；1 1(log a x):(In x)，(sin x) cosx :(cos x) sin x ；x In ax3思路提示：对于简单函数的求导，关

6、键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基 本函数的形式，以免求导过程中出现指数或系数的失误 例1:求下列函数的导数5y x :y5 x3 : y 10x ；5) y log2X : y sin x1:yx例 2: y x sin In xcosln x，则y等于()A. 2cos In xB.2cosC. 2sin ln x D. sin ln xln x例 3: f (L)2的导数f(L)为()A. 2：gLB.-gL 2、gL时磊忖呎c.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数例5：记shxxxe e,chx2，则shx()A.shx B. shx C.chx D.chx例6:二次函数f(x

7、)2ax bxc导函数为f (x)，已知f (0)0 ,且对任意实数 x，有f (x)0,则丄的最小值为f(0)例7:已知函数f (x)f(才)cos x sinx，贝V f ()的值为【知识点3】复合函数求导1.复合函数的导数复合函数y fg(x)的导数与函数y f (u) , y f(u)的导数之间具有关系yx yu ux，该关系用语言表述就是 “ y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”，也就是先把g (x)当做一个整体，把y fg(x)对g(x)求导，再把g (x)对x求导,这二者的乘积就是复合函数y f g(x)对x的导数例1:求下列函数的导数.sin 2x : y3 y

8、e3x 2 : y log2 2x 1 : y例2:函数y cos2x sin、一 x的导数为()A.2sin 2xB.2sin 2xC. 2sin2xsin2 , xD.2si n 2x2、x例3:函数y sin sinx +cos cosx 的导数是(A. y cosxcos sinx sinxsin cosxB. y cosxcos sinx sinxsin cosxC. y sin cosx cos sinxD. y cos2x例4：函数y sin In x cos In x的导数为()B.D.cosIn x sin In xxcos In x sin In xAcosln x sin

9、 In xA.xC. cos In x sin In x例5：求函数y COSX s%的导数例6：求函数y1的导数【知识点4】导数的几何意义1.导数的几何意义：函数在定点处的切线斜率函数y f(x)在X。处的导数f(X。)，表示曲线y f(x)在点P冷(怡)处的切线PT的斜率，即tanf (xo)，如图3-1所示，过点P的切线方程为y yof (Xo)(XXo)同样可以定义曲线 yf (x)在Xo的法线为过点PXo, f (xo)与曲线yf (x)在 XXo的切线垂直的直线.过点P的法线方程为 y y1(7vW f、o).口 J法线方程为yyo(xxo)( T (xo)f (Xo)yj.1 =

10、 f -V(O%歹图 3】例1:设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y f (x)在x 5处的切线斜率为()11A. - B. 0 C. - D. 5 55例2:下列各函数在点x 0处没有切线的是()A. y x3 sin x B. y x2 cosxC. y 坂 1 d. y x cosx例3:若y 0是曲线yx3bx c的一条切线，则A. 1 B.0 c.1 D. 2例4:已知曲线2X3ln4X的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A. 3 B.C. 1D.例5:若在曲线sin x(0）上取一点M，使过M点的切线与直线y即平行，则点M坐标为()A.（打B.(鳥）D.例6：如

11、果一直线过原点且与曲线()1相切于点P，那么切点P的坐标为x 111 21A.( -,2) B. (C. ( 2, 1) D. (2,-)2 2 33例7：已知函数f （x） x3 x.（I）求曲线y f （x）在点M （t, f （t）处的切线方程；（II ）设a 0，如果过点（a,b）可作曲线y f （x）的三条切线，证明： a b f （a）例8：曲线y x 3lnx 1在点1,1处的切线方程为 例10：曲线ysin xsin x cosx1A.B. 2例9：曲线y x3 x 3在点1在点M I,0）处的-切线的斜率为24C.二2 D.221,3处的切线方程例11：曲线y ex在点1,0

12、处的切线斜率为 4例12：已知点P在曲线y= 上, 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范e 1围是3 3A. (Q ：)B. ( ,)C. ( ， )D.(,)4 4 2244例13:若曲线f xax例15：已知曲线y x21在x Xo点处的切线与曲线 y 1 x3在x Xo点处的切线互相平行，贝y x0的值为.2 例 16：已知函数 f(x) x ax In x(a 0)(I)若曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线斜率为2，求a的值以及切线方程；(II )若f(x)是单调函数，求a的取值范围。x 2例 17：已知函数 f(x) ln(1 x) x x (k 0) (i )当 k=

13、2时，求曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线方程;(n )求f(x)的单调区间.例 18:已知函数 f (x) (x a)2(a b) (a, b R,a b)。(l)当a 1,b2时，求曲线y f (x)在点(2, f(x)处的切线方程。 Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是1例14 :设直线y x b是曲线y In x x 0的一条切线，则实数b的值为 2(I)当t 1时，求曲线y f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；(n)当t 0时，求f (x)的单调区间;(川)证明：对任意的 t (0,),f (x)在区间(0,1)内均存在零点.例 20：设函数 f (Xx

14、3 2ax2 bx a, gX ) x2 3x 2，其中 x R, a,b为常数，已知曲线y f(x)与y g(x)在点(2,0)处有相同的切线|.(I) 求a,b的值，并写出切线l的方程；(II) 若方程f ()x g()xmx有三个互不相同的实根 0、x、x，其中 x2，且对任意的xx-!,x2 , fX)g(x m(x 1)恒成立，求实数 m的取值范围。【知识点5】综合例1：求下列函数的导数51 y x ； y4 ；3) yx5 x3 : y 10x : ylog 2 x ；(6) y sin x例2:已知x 1时，x x2 +n 1+xn x,利用求导法求1 2x 3x21 xnxn 1的和例3:设函数f(x)满足af (x)bf( C,a,b,c为常数，a b，求 f(x)x x2例4：已知双曲线xy a，通过其上任意一点 P做切线与x,y轴分别交于点 Q,R，试证:(I) 点P平分Q