从数形结合到数形融合

1、从数形结合到数形融合数形结合思想就是通过数（数量关系）与形（空间形式） 的相互对应、 相互转化来解决数学问题的一种思想方法。 著名数 学家华罗庚先生曾经说过： “数缺形时少直观， 形少数时难入微； 数形结合百般好， 隔离分家万事休。 ”数形结合兼具“数”的严 谨与“形”的直观，可将抽象的数学语言与直观的图形相结合， 是抽象思维与形象思维的结合。当前数学课堂中存在数形貌“合”实“分”的现象 笔者曾听过一节“两位数除以一位数”， 其中部分教学过程 如下：教师出示情境图：师： 52个羽毛球平均分给 2 个班，每班能分到多少个呢？ 学生一时不知道答案师：请同学们先用小棒分一分。 学生用小棒代替羽毛球，

2、动手操作。 师：你是怎么分的？分的结果是多少？ 学生讲述自己分的过程，每班分到 26 个。 师：请同学们收起小棒。 刚才我们通过分小棒知道每班分得26个，那么如果我们用竖式计算 52+2该怎么计算呢？师一步一步讲解、 板书竖式， 教师把用竖式计算的每一步过 程讲得很细致，但是分小棒的过程没有再提及。在上述案例中，教师让学生先用小棒分一分， 再教学竖式计 算，符合先直观再抽象的原则，貌似运用了数形结合的思想。但 是，在这样的教学中，数和形真正结合起来了吗？笔者认为，在 这样的教学中，数与形的存在是孤立的，教师让学生先用小棒代 替羽毛球动手分一分，然后教学竖式计算，当竖式出现后，小棒 图就完全退出

3、了，这两者之间割裂得很明显， 形象的小棒图和竖 式之间没有建立应有的联系，这不是真正意义的数形结合。在周围的教学中，可能如上述案例中的现象时有发生，有的教师以为只要教学中有“形”又有“数”便是数形结合了，对数形结合的目标缺乏清晰的认识。 教师采用数形结合的手段，是为 了帮学生在形象和抽象之间搭一座桥，以形象的方式理解抽象的知识，或是以抽象的方式概括形象的内容， 促进学生的数学学习， 使学生感受到数形结合这一思想方法的价值并能有意识地运用。让数形真正结合甚至融合起来数形结合是一种策略和手段，教师在教学中需要不断思考： 怎样让数形真正结合甚至融合起来，为学生的数学学习服务？建立数与形的对应，为概念

4、的理解服务在小学数学教学中概念教学是难点之一，学生对概念建立的牢固程度直接影响后续 内容的学习。在概念教学中如果运用数形结合的思想，在数与形之间建立一一对应的关系， 那抽象的概念就有了形象的依附。 如 教学“认识小数”时，笔者是这样进行教学的。先引导学生认识几角可以写成零点几元，接着引导学生从米尺上找出小数， 发现几分米可以写成零点几米， 然后让学生观察下面图形：阴影部分可以用什么数表示？生：可以用 表示，也可以用 0.1 表示。师：请在这个正方形中任意涂几份阴影， 然后用分数或小数 表示。展示：师：观察这些图表示的数，你发现了什么？ 生：我发现十分之几的分数都可以写成零点几。 师：是的，零点

5、几的小数就表示十分之几的分数。我们已经 会看图写出小数了，如果反过来，看见一个小数，你能想到相应 的图吗？教师出示 0.6 ，学生回答：我想到一个长方形平均分成 10 份，涂阴影的是其中的 6 份。教师依次出示 0.8 、0.9 、0.5 ， 学生分别说出了头脑中的长方形均分涂色的图样。 经过这样的教 学过程，相信学生对小数的认识是和具体的图形结合在一起的， 学生能做到由“形”思“数”、由“数”想“形” ，数形结合 使枯燥的小数在学生的头脑中变得生动而形象。小学生认识理解事物总离不开具体形象性， 如果在概念的形 成过程中，有意识地让概念和相关意象一一对应， 建立深度结合， 那么在学生的头脑中就

6、会形成牢固的表象。 在提取相关概念时便 会数形互译，正确解题。寻找数与形的联系，为沟通算理和算法服务 计算教学是小 学数学中的重要内容， 通常教材编排有关计算的教学内容时总是 先以直观的操作或图形帮助学生理解算理， 然后过渡到抽象的算 法。笔者曾经听过一节“两位数乘一位数的进位乘法”的教学， 在教学过程中教师较好地沟通了数与形的联系。教师让学生观察主题图，列出算式 48X 2,让学生尝试算出结果，但是学生遇到了进位的困难。 教师引导学生先用小棒摆一 摆算一算。学生先摆出 2个48根（4捆和 8根）， 2个48根摆 在一起究竟多少根呢？有什么方法能一眼看出小棒的根数呢？ 学生发现单根太多了， 可

7、以把其中的 10根捆成一捆。 课件演示：教师问：现在能一下子看出是多少根吗？（ 96 根）我们可 以根据刚才摆小棒的过程来进行竖式计算， 想一想， 先算什么？ 再算什么？结合小棒图，引导学生一步步说出竖式计算的过程： 说明：这个竖式还可以简写成：教师再次让学生观察小棒图和两种竖式回顾： 用竖式计算时， 第一步先算什么？算的是小棒图中的哪一 部分？ 16 根小棒满十后我们把 10 根捆成一捆，竖式中对应的过 程是什么？ 用竖式计算时， 第二步算什么？算的是小棒图中的哪一部 分？ 竖式计算的第三步算什么？你能在小棒图中指一指吗？教师通过让学生尝试计算，出现困难后产生动手操作的需要，在这里，直观操作是为了解决学生计算中遇到的障碍，体现 了以“形”助“数”的必要。 在直观操作的基础上学生抽象出了 竖式计算的过程，不过，教师没有把直观图丢弃一边，而是引导 学生反思整个过程，寻找竖式计算的每一步与直观图中的哪个部 分有联系，沟通了直观图和竖式的内在关系，展现出“数”“形”的融合。因为竖式计算的每一步都有直观图的支撑，所以学生能形象地理解每一步的算理，由算理到算法的过渡也就水到渠成。教师在引导学生学习抽象的数学知识时，只要找准与之对应 的形象化的结合点，并促使两者真正融